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1、学习必备欢迎下载数学选修 21 第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、 “若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q” ，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题，另一个称为原
2、命题的否命题.若原命题为“若p，则q” ，则它的否命题为“若p，则q”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q” ，则它的否命题为“若q，则p” 。6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）8、用
3、联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个x，有p x成立” ，记作“x，p x” 短语“存在一个”
4、、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个x，使p x成立” ，记作“x，p x” 10、全称命题p：x，p x，它的否定p：x，p x。全称命题的否定是特称命题。特称命题p：x，p x，它的否定p：x，p x。特称命题的否定是全称命题。第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点,Mx y及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
5、-第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载2、平面内与两个定点1F，2F的距离之 和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。12222MFMFaac3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210 xyabab222210yxabab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a、10, b、20,b10, a、20,a、1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122F Fc cab，a 最大对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
6、离心率22101cbeeaa准线方程2axc2ayc4、设是椭圆上任一点，点到1F对应 准线的距离为1d，点到2F对应 准线的距离为2d，则1212FFedd。5、平面内与两个定点1F，2F的距离之 差的绝对值 等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。12222MFMFaac6、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点1,0a、2,0a10, a、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc
7、10,Fc、20,Fc焦距222122F Fc cab，c 最大对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载离心率2211cbeeaa准线方程2axc2ayc渐近线方程byxaayxb7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。8、设是双曲线上任一点，点到1F对应 准线的距离为1d，点到2F对应 准线的距离为2d，则1212FFedd。9、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线10、过抛物线的焦点作
8、垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径” ，即2 p11、焦半径公式：若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为F，则02pFx； 、若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为F，则02pFy；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为F，则02pFy12、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点, 02pF, 02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py离心率1e范围0 x0 x0y0y第三章：空间
9、向量知识点：1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向（3）向量的大小称为向量的模（或长度），记作（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量（5）与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空
10、间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2） 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则 即： 在空间任取一点， 作a，b，则ab3、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a的长度是a的长度的倍4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：abab；结合律：aa5、 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何
11、向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有xyC；或若四点，C共面，则1xyzC xyz9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b10、对于两个非零向量a和b，若,2a b，则向量a，b互相垂直，记作ab11、已知两个非零向量a和b，则cos,a ba b称为a，b的数量积，记作a b即cos,a ba ba b
12、零向量与任何向量的数量积为012、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,ba b的乘积13 若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,e aa eaa e；20aba b；3a baba ba bab与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b；5a ba b14 量数乘积的运算律：1 a bb a；2aba bab；3abca cb c15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组, ,x y z，使得pxaybzc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页
13、，共 11 页学习必备欢迎下载16、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是, ,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，, ,a b c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底17、设1e，2e，3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p存在有序实数组, ,x y z，使得123pxeye
14、ze把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e下的坐标，记作, ,px y z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标, ,x y z18、设111,ax yz，222,bxyz，则（1）121212,abxxyyzz（2）121212,abxxyyzz（3）111,axyz（4）121212a bx xy yz z（5）若a、b为非零向量，则12121200aba bxxy yzz（6）若0b，则121212/,ababxxyyzz（7）222111aa axyz（8）121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz（9）11
15、1,x y z，222,xyz，则222212121dxxyyzz19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量， 则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置， 还可以具体表示出直线l上的任意一点21、 空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点， 它们的方向向量分别为a，b为平面上任意一点，存在有序实数对, x y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置22、直线l垂
16、直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载则/abababR，0ababa b24、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa0ana n，/aaanan25、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/abab，0aba b26、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有coscosa ba b27、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的
17、夹角为，则有sincoslnln28、设1n，2n是二面角l的两个面，的法向量， 则向量1n，2n的夹角（或其补角） 就是二面角的平面角的大小若二面角l的平面角为，则1212cosnnnn29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算30、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为cos,ndnn31 、 点是 平 面外 一 点 ，是 平 面内 的 一 定 点 ，n为 平 面的 一 个 法 向 量 ， 则 点到 平 面的 距 离 为c os,ndnn数学选修 2-2导数及其应用一 .导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数( )yf x在0
18、xx处的瞬时变化率是000()()limxf xxf xx，我们称它为函数( )yf x在0 xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即0()fx=000()()limxf xxf xx2.导数的几何意义：曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点nP趋近于P时， 直线PT与曲线相切。 容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnf xf xkxx，当点nP趋近于P时，函数( )yfx在0 xx处的导数就是切线PT 的斜率 k，即0000()()lim()nxnf xf xkfxxx3.导函数：当x 变化时，( )fx便是 x 的一个函数，我们称它为( )f x的导函数 . ( )yf x
19、的导函数有时也记作y,即0()( )( )limxf xxf xfxx二 .导数的计算基本初等函数的导数公式: 1 若( )f xc(c 为常数 )，则( )0fx；2 若( )f xx,则1( )fxx; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载3 若( )sinf xx,则( )cosfxx4 若( )cosf xx,则( )sinfxx; 5 若( )xf xa,则( )lnxfxaa6 若( )xf xe,则( )xfxe7 若( )logxaf x,则1( )lnfxxa8 若( )lnf xx
20、,则1( )fxx导数的运算法则1. ( )( )( )( )fxg xfxgx2. ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xg x3. 2( )( )( )( )( )( ) ( )fxfxg xfxg xg xg x复合函数求导( )yf u和( )ug x,称则y可以表示成为x的函数 ,即( ( )yfg x为一个复合函数( )( )yfg xg x三 .导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数: 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间( , )a b内(1)如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递增；(2)如果( )0fx
21、，那么函数( )yf x在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( )yf x的极值的方法是 : （1）如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极大值 ; （2）如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()fx是极小值 ; 4.函数的最大 (小)值与导数求函数( )yf x在, a b上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数( )yf x在( , )a b内的极值；（2）将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值( )f a，( )f b比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 推理与证
22、明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理 ,归纳是从特殊到一般的过程 ,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致 )性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理 . 类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想 ); (3)一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4)一般情
23、况下 ,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二演绎推理 (俗称三段论 ) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法. 2.步骤 :A. 命题在 n=1（或0n）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立；C.证明 n=k+1 时命题也成立 , 完成这两步 ,就可以断定对任何自然数(或 n=0n,且nN)结论都成立。考点三证明1.反证法 : 2、分析法 : 3、综合法 : 2.数系的扩充和复数的概念复数的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
24、 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载(1)复数 :形如(,)abi aR bR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2)分类 :复数(,)abi aR bR中,当0b,就是实数 ; 0b,叫做虚数 ;当0,0ab时,叫做纯虚数 .(3)复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数 :当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。复数的运
25、算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,( , , ,)zabi zcdi a b c dR则（1）12()()zzacbd i（2）12()()zzacbdadbc i（3）12222()()(0)zacbdadbc izzcd2,几个重要的结论(1) 2222121212|2(| )zzzzzz(2) 22|zzzz(3)若z为虚数 ,则22|zz3.运算律(1) mnm nzzz;(2) ()mnmnzz;(3)1212()(,)nnnzzzzm nR4.关于虚数单位i 的一些固定结论：（1）21i（2）3ii（3）41i（2）2340nnnniiii数学选修 23 第一章 计数
26、原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法， ，在第 N 类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+ +MN种不同的方法。2、分步乘法计数原理：做一件事， 完成它需要分成N 个步骤， 做第一步有 m1 种不同的方法， 做第二步有M2不同的方法， ，做第 N 步有 MN不同的方法 .那么完成这件事共有N=M1M2.MN种不同的方法。3、排列 ：从 n 个不同的元素中任取m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数 ：),()!(!)1(
27、)1(NmnnmmnnmnnnAm5、组合 ：从n个不同的元素中任取m(m n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。6、组合数：)!( !)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn)!( !) 1() 1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn;mnnmnCCmnmnmnCCC117、二项式定理：()abC aC abC abC abC bnnnnnnnnrn rrnnn0112228、二项式通项公式展 开 式 的 通 项 公 式 ：， TC abrnrnrnrr101()第二章 随机变量及其分布1、随机变量 ：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量
28、X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母、 等表示。2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载随机变量叫做离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列：一般的 ,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,. ,xi ,.,xnX 取每一个值xi(i=1,2,. ）的概率 P(=xi） Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分
29、布，简称分布列4、分布列性质 pi0, i =1，2， ； p1 + p2 +pn= 15、二点分布： 如果随机变量X 的分布列为：其中 0p3.841 时， X 与 Y 有 95%可能性有关； K26.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关回归分析回归直线方程bxay ?其中xSSSPxxyyxxxnxyxnxyb222)()()(11, xbya数学选修 4-4 极坐标1伸缩变换： 设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0( ,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称 伸缩变换 。2. 极坐标系的概念
30、：在平面内取一个定点O，叫做 极点 ；自极点O引一条射线Ox叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个角度单位( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载3点M的极坐标： 设 M 是平面内一点，极点O与点M的距离| OM叫做点M的极径 ，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角 ，记为。有序数对),(叫做 点M的极坐标 ，记为),(M. 极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,
31、0(. 4. 若0, 则0, 规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；在极坐标系中，以)0,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是cos2a；在极坐标系中，以)2,(aC)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a；7. 在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(aaA，
32、且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是acos. 参数方程1参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系变数yx,的变数t叫做 参变数 ，简称 参数 。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 。2圆222)()(rbyax的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数rbyrax. 椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数byax. 抛物线pxy22的参数方程可表示为)(.2,22为参数tptypxx. 经过点),(ooOyxM，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为.sin,cosootyytxx（t为参数） . 3在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.)0(nt,sin,cos,222xxyayxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页