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1、精品_精品资料_高考易错题举例解析高考数学中有很多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特别情形的争论,却很简单被忽略. 也就是在转化过程中,没有留意转化的等价性,会常常显现错误. 本文通过几个例子,剖析致错缘由,期望能对同学们的学习有所帮忙, 加强思维的严密性训练 . 无视等价性变形,导致错误可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0xy0x,但y 0xy0y1 x与2 xyy3不等价2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】已知f xxax,假设3 bf 10, 3f 26, 求f 3 的范畴 .可编辑资料 -
2、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误会法由条件得3 ab032ab62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 2得6a158b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ + 得33103a 33b43 ,33即103f 343 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误分析采纳这种解法,无视了这样一个事实：作为满意条件的函数f xxax,其值是同b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时受 a和b a 取最大小值时,b 不肯定取最大小值,因而整个解题思路
3、是错误的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正确解法由题意有f 1f 2abb ,解得：2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1 2 f32f 1,bb 162 2 f351f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 33a3f 29f 19把 f 1 和f 2 的范畴代入得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16f 337 .33在此题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法, 就表达了思维具有反思性. 只有坚固的把握基础学问,才能反思性的看问题. 无视隐含条件,导致结果错误可编辑资料
4、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】1设、 是方程 x 22kxk60 的两个实根,就 121 2的最小值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 494 B8C18D 不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路分析本例只有一个答案正确,设了3 个陷阱,很简单上当 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_专心爱心专心1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121 2221 2222122可编辑
5、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4k3 24944可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有的同学一看到49,常受挑选答案 A的诱惑,盲从附和 , 这正是思维缺乏反思性的表达,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如能以反思性的态度考察各个挑选答案的来源和它们之间的区分,就能从中选出正确答案.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原方程有两个实根、 ,4k 24 k60k2或 k3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k3 时, 121) 2 的最小值是 8.可编辑资料 - - - 欢迎下
6、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222当 k2 时, 1 212的最小值是 18,这时就可以作出正确挑选,只有B正确 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 已知 x2 2y1 ,求4xy 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误会法由已知得 y 24x216x12 , 因此 x2y 23x 216x123 x8 228 ,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x8 时, x2y 2 有最大值 2833,即
7、x2y 2 的取值范畴是 ,28 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3错误分析没有留意 x 的取值范畴要受已知条件的限制,丢掉了最小值.事实上,由于 x22y 21 x221y 2 1 3 x 1,44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而当 x = 1 时 x 2y 2 有最小值 1,x2y 2 的取值范畴是 1,28 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 无视不等式中等号成立的条件,导致结果错误可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】已知： a 0, b 0 , ab1 , 求 a1 2ab1 2 的最小值 .b可编辑资料 -
8、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误会法a1 2ba1 2ba 2b 21a 214 2ab b 224 4abab1 ab48 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1 2ba1 2 的最小值是 8.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误分析上面的解答中,两次用到了基本不等式a 2b2 2ab,第一次等号成立的条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1ab,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次次等号成立的条件是正确解法ab1 ,明显,这两个条件是不能同时成立的, 因此, 8 不是
9、最小值 .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 2aa 2b2b1 2b11a 2b 24a 2b 2 1a 21 4b 2ab 22ab 11 224abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 ab11a 2 b 2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 ab ab 21 得： 1 2 ab 1 1 = 1 ,且1 16,1+1 17,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2422a 2b 2a 2 b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式 1 17+4= 25
10、当且仅当 ab1时,等号成立 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222 a1 2b1 2 的最小值是 25 .ab2 不进行分类争论,导致错误可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】1 已知数列an 的前 n 项和 Sn2n1 ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误会法anSnSn 12n12 n 112n2n 12 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误分析明显,当 n1时, a1S1321 11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此在运用
11、 anSnSn1 时,必需检验 n1 时的情形,即：an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn n2, nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 实数 a 为何值时,圆2x2y222axa2210 与抛物线 y 221 x 有两个公共点 .21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误会法将圆 xy2axa10与抛物线yx 联立,消去y ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 x 22 a1) x2a 210 x0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于有两个公共点,所以方程有两个相等正根,得2a102a 210.17,
12、解之得 a.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误分析如图 22 1. 2 2 2明显,当 a0 时,圆与抛物线有两个公共点.yyOxOx要 使 圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根.或有两个相等正根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当方程有一图 2 2正根、一负根时,得图 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a21解之,得01a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,当 a17 或 1a81 时,圆 x2y 22axa 210 与抛物线 y 21 x 有两
13、个公共点 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 以偏概全,导致错误以偏概全是指摸索不全面,遗漏特别情形,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而表现出思维的不严密性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 5】1 设等比数列an 的全 n 项和为Sn . 假设 S3S62S9 ,求数列的公比 q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误会法S3S62S9,a1 11q 3 qa1 11q6 q2 a1 11q9 ,q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
14、_精品资料_整理得q 3 2q6q 31）0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由q0得方程2q6q 310.2q 31 q 310,q3 4或 q12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误分析在错解中,由a111q 3 qa1 11q 6 q2 a1 11q9 ,q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得q3 2q 6q31）0 时,应有 a0 和 q1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可
15、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1在等比数列中,a10 是明显的,但公比q 完全可能为 1,因此,在解题时应先争论公比q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的情形,再在 q1 的情形下,对式子进行整理变形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正确解法假设 q1 ,就有 S33a1,S66a1, S99a1 ,但 a10 ,即得 S3S62S9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与题设冲突,故 q1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又依题意S3S62S9a111q3 qa1 11q6 q2 a1 11q9 qq3 2q 6q
16、 31）0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 2q 31q 310, 由于 q1,所以 q 310, 所以2q310 解得q.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 求过点0,1的直线,使它与抛物线y 22x 仅有一个交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错误会法设所求的过点0,1 的直线为 ykx1,就它与抛物线的交点为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykx1222可编辑资料
17、- - - 欢迎下载精品_精品资料_,消去 y 得 kx1y 22x2x0 整理得k x12k2 x101可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与抛物线仅有一个交点,错误分析此处解法共有三处错误：0, 解得k所求直线为 yx1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一,设所求直线为ykx1 时,没有考虑 k0 与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严密的.其次,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含相交和相切两种情形,而上述解法没有考虑相切的情形,只考虑相交的情形.缘由是对于直线
18、与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系懂得不透.第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零,即k0 ,而上述解法没作考虑,表现出思维不严密.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正确解法当所求直线斜率不存在时,即直线垂直 x 轴,由于过点0,1 ,所以 x0 即 y 轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它正好与抛物线 y 22x 相切 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当所求直线斜率为零时,直线为y
19、= 1平行 x 轴,它正好与抛物线y22x 只有一个交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,设所求的过点0,1 的直线为 ykx1 k0 , 就ykx1,y 22x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2 x22k2 x10.令0, 解得 k =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,满意条件的直线为：y1,x0, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 , 所求直线为yx2111 x21 .专心5专心爱心可编辑资料 - - - 欢迎下载