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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考易错题举例解析高考数学中有很多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特别情形的争论,却很简单被忽略. 也就是在转化过程中,没有留意转化的等价性,会常常显现错误. 本文通过几个例子,剖析致错缘由,期望能对同学们的学习有所帮忙, 加强思维的严密性训练. x b,其值是同1 无视等价性变形,导致错误x0xy0,但x1与xy3不等价y0xy0y2xy2【例 1】已知fxaxx,假设3f 10,3f2,6求f3 的范畴 . b3ab0错误会法由条件得32ab62 26a15 2得8b2333 + 得103 ab43,即10f343.33333错误分析
2、采纳这种解法,无视了这样一个事实：作为满意条件的函数fxax时受a和ba 取最大小值时,b 不肯定取最大小值,因而整个解题思路是错误的. f1 ab正确解法由题意有f 2 2 ab, 解得：2a12f2f1 ,b22f1 f233f 33 ab16f2 5f1 把f1 和f2的范畴代入得399. 只有坚固地掌16f3 37. 33在此题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法, 就表达了思维具有反思性握基础学问,才能反思性地看问题. 12的最小值是无视隐含条件,导致结果错误【例 2】1 设、是方程x22kxk60的两个实根,就12A49B8C18D不存在4思路分析本例只有一个答案正确,设了3
3、个陷阱,很简单上当. 利用一元二次方程根与系数的关系易得：2k,k6,专心爱心专心名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2 2 2 1 1 2 1 2 12 2 2 24 k 3 2 494 4有的同学一看到 49,常受挑选答案A的诱惑,盲从附和 , 这正是思维缺乏反思性的表达 ,4假如能以反思性的态度考察各个挑选答案的来源和它们之间的区分,就能从中选出正确答案 . 原方程有两个实根、,4 k 2 4 k 6 0 k 2 或 k 3 .当 k 3 时, 1 2 1 2的最小值是 8；当 k 2 时, 1 2 1 2的
4、最小值是 18,这时就可以作出正确挑选,只有B正确 . 22 已知 x 2 2 y 1,求 x 2y 2的取值范畴 . 4错误会法 由已知得 y 2 4 x 2 16 x 12 , 因此 x 2y 23 x 216 x 12 3 x 8 2 28, 3 3当 x 83 时,x 2y 2有最大值 283,即 x 2y 2的取值范畴是 , 283 . 错误分析 没有留意 x 的取值范畴要受已知条件的限制,丢掉了最小值 . 2 2事实上,由于 x 2 2 y 1 x 2 21 y1 3 x 1,4 4从而当 x =1 时 x 2y 2有最小值 1,x 2y 2的取值范畴是 1, 283 . 无视不等
5、式中等号成立的条件,导致结果错误【例 3】已知： a 0, b 0 ,a b 1 , 求 a 1 2 b 1 2的最小值 . a b错误会法 a 1 2 b 1 2a 2b 2 12 12 42 ab 244 ab 1 4 8 , a b a b ab ab a 1 2 b 1 2的最小值是 8. a b2 2错误分析 上面的解答中,两次用到了基本不等式 a b2 ab,第一次等号成立的条件是1a b , 2其次次等号成立的条件是 ab 1,明显,这两个条件是不能同时成立的 , 因此, 8 不是最小值 . ab正确解法专心爱心专心2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5
6、页精选学习资料 - - - - - - - - - a12b12aba2b2114a2b2114ab22ab112. 24a2b2a2b2abab 12ab 1a1242b由 ab a2b21得： 12ab 11 = 21 , 且 2a1216,1+a1217,42b2b原式1 17+4= 225 当且仅当 2ab1时,等号成立 ,2a12b12的最小值是25 2 . ab不进行分类争论,导致错误【例 4】1 已知数列an的前 n 项和S n2 n1,求a . 错误会法anS nS n1 2n1 2n112n2n12n1错误分析明显,当n1时,a 1S 131 211. 因此在运用a nS n
7、S n1时,必需检验n1时的情形,即：a nS 1 n1nNS nn,22 实数 a 为何值时,圆x2y22 axa210与抛物线y21x有两个公共点 . 2错误会法将圆x2y22 axa210 与抛物线y21x联立,消去y ,2得x22a1xa210x020由于有两个公共点,所以方程有两个相等正根,得2a10, 解之得a17. . x 82错误分析如图 221；222明显,当a210 .0a时,圆与抛物线有两个公共点y y O x O 要 使 圆图 22与抛物线有两个交点的充要条件是方图 22程有一3 正根、一负根；或有两个相等正根. 当方程有一正根、一负根时,得专心爱心专心名师归纳总结 -
8、 - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - a200解之,得1aa11. x2y22axa210与抛物线y21x有两个公共点 . 1因此,当a17或1时,圆82以偏概全,导致错误以偏概全是指摸索不全面,遗漏特别情形,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而名师归纳总结 表现出思维的不严密性. q1【例 5】1 设等比数列a n的全 n 项和为S . 假设S 3S 62S 9,求数列的公比q . 错误会法S 3S 62S 9,a 11q3a 1 1q62a 11q9,1q1q1q整理得q32 q6q31）0. 由q0得方程2q6q310.2
9、q31 q31 0 ,q34或q12错误分析在错解中,由a 1 1q3a 1 1q62a 11q9,1q1q1q整理得q32 q6q31）0时,应有a10和q1. 在等比数列中,a 10是明显的,但公比q 完全可能为1,因此,在解题时应先争论公比的情形,再在q1的情形下,对式子进行整理变形. 2S 9,正确解法假设q1,就有S 33 a 1,S 66 a 1,S 99a 1,但a 10,即得S 3S 6与题设冲突,故q1. 1） ,又依题意S 3S 62 S 9a 11q3a 1 1q62a 119 qq3 2 q6q31q1q1q即2 q31 q31 0 ,由于q1,所以q31,0所以23
10、q10解得q34. 22 求过点 , 的直线,使它与抛物线y22x仅有一个交点 .错误会法设所求的过点01, 的直线为ykx1,就它与抛物线的交点为y2kxx1,消去 y 得kx122 x0整理得k2x22k2 x10y24 直线与抛物线仅有一个交点,0 解得k1所求直线为y1 x 212错误分析此处解法共有三处错误：专心爱心专心第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第一,设所求直线为ykx1时,没有考虑k0与斜率不存在的情形,实际上就是承认了该直线的斜率是存在的,且不为零,这是不严密的；其次,题中要求直线与抛物线只有一个交点,它包含
11、相交和相切两种情形,而上述解法没有考 虑相切的情形,只考虑相交的情形；缘由是对于直线与抛物线“ 相切” 和“ 只有一个交点” 的关系 懂得不透；第三,将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程,要考虑它的判别式,所以它的二次项系数不能为零,即k0,而上述解法没作考虑,表现出思维不严密. , ,所以x0即 y 轴,正确解法当所求直线斜率不存在时,即直线垂直 x 轴,由于过点y22x只有一个交点 . 它正好与抛物线y22x相切 . 当所求直线斜率为零时,直线为y = 1平行 x 轴,它正好与抛物线一般地,设所求的过点0 1, 的直线为ykx1k0, 就y2kxx1,y2k2x22 k2 x10 .令0 解得 k = 1 2 , 所求直线为y1 x 21综上,满意条件的直线为：y1,x0,y1x1 . 5 2专心爱心专心名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页