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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 文德训练学问框架数列的分类na1n n1d求和公式及性质, 把握了典型题型的解法和数学思想法的应用,就有可数列能在高考中顺当地解决数列问题；一、典型题的技巧解法数列的通项公式函数角度懂得的概念1、求通项公式数列的递推关系（ 1）观看法；（2）由递推公式求通项；等差数列的定义anan1d n2对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等等差数列的通项公式ana1n1d差数列或等比数列问题；等差数列等差数列的求和公式S nna 1an1 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d, q 为常数）22例 1、已知
2、an 满意 an+1=an+2,而且 a1=1；求 an；np等差数列的性质anamapaqmq例 1、解an+1-a n=2 为常数a n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列两个基等比数列的定义an1q n2qn q1an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1 本数列an例 2、已知 a n满意an11a ,而 na 12,求a =？等比数列的通项公式ana qn12数列等比数列a 1a qa 11等比数列的求和公式S n1q1qna1q1等比数列的性质a ama aqmnpq公式法分组求和数列 求和错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和（ 2）递推式为 an+1=an+f （n）121 1
3、例 3、已知 an中a 11,an1a n411,求a .22 n累加累积归纳猜想证明解： 由已知可知an1an2n12n1 121数列的应用分期付款 其他1 2nn令 n=1,2, ,（n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（a2-a 1）+（a3-a 2）+（an-an-1）把握了数列的基本学问, 特殊是等差、等比数列的定义、 通项公式、1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 文德训练a na 11121 14n3a nbn3 1n21 3nn222n4n2说明 只要和 f （1）+f （2）+ +f （n
4、-1 ）是可求的,就可以由an+1=an+f （n）以 n=1,2, ,（n-1 ）代入,可得 n-1 个等式累加而求 an；3 递推式为 an+1=pan+q（p,q 为常数）例 4、a n中,a 11,对于 n1（nN）有an3an12,求a . 想 5 递推式为a n2pa n1qanan2an1an1an,解法一：由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2；两式相减： an+1-a n=3（an-a n-1）因此数列 an+1-an 是公比为 3 的等比数列,其首项为a2-a1=（3 1+2）-1=4 an+1-an=43n-1 an+1=3an+2 3an+2-an=4
5、 3n-1 即 an=2 3 n-1-1 思路：设a n2pan1qa , 可以变形为：解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列, 于是有：a2-a 1=4,a3-a 2=4 3,a4-a 3=432, , an-a n-1=43 n-2,把n-1个等式累加得：an=23n-1-1 于是 a n+1- an 是公比为 的等比数列,就转化为前面的类型；4 递推式为 an+1=p a n+q n（p, q 为常数）求a ；b n1b n2b nbn1由 上 题 的 解 法 , 得 ：b n322n332 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资
6、料 - - - - - - - - - 文德训练数列求和的常用方法：1、拆项分组法 ：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和；6 递推式为 Sn与 an的关系式2、错项相减法 ：适用于差比数列（假如a n等差,b n等比,那么a b n n叫做差比数列）即把每一项都乘以 nb 的公比 q ,向后错一项,再对应同次关系；项相减,转化为等比数列求和；（2）试用 n 表示 an；a na n1ana n1S n1S nanan121211可裂项为：an1n11111,n2nan11an12adana nan1anan1211a n1a n11 da n1a nnn+1 得 2n+1
7、an+1=2 nan+2 就2nan 是公差为 2 的等差数列；22n上式两边同乘以等差数列前 n 项和的最值问题 ：2nan= 2+ （n-1 ） 2=2n 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 文德训练1、如等差数列a n的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最大值；a na nan1an1an2La2a 1La2a 1n2；a n2；（）如已知通项a ,就S 最大a n10；已知an1f n 求a ,用累乘法 ：anan1an1a n0ana nan2a 1（）如已知S npn2qn ,就当 n 取最靠
8、近q的非零自然数时S 最已知递推关系求a ,用构造法 （构造等差、等比数列）；2p特殊地 ,（1）形如ankan1b 、a nka n1n b （k b 为常数）的递大；2、如等差数列a n的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最小值推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后,再求a ；形 n（）如已知通项a ,就S 最小a n10；如a nkan1kn的递推数列都可以除以n k 得到一个等差数列后,再求a n0a ；n（）如已知S npn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时S 最（2）形如a nan1b的递推数列都可以用倒数法求通项；2pkan1小；数列通项的求法
9、：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式；（3）形如a n1ank的递推数列都可以用对数法求通项；（7）（理科） 数学归纳法 ； 已 知S n（ 即a 1a 2Lanf n ） 求a n, 用 作 差 法 ：（8）当遇到an1an1d或an1q时,分奇数项偶数项争论,结果可a nS 1S n,n S n1 1 ,n2；an1能是分段形式 ；已知a a g gL g a nf n 求a ,用作商法：a nf1, nf n 12；数列求和的常用方法：,n（1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式；f n1（2）分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时,常将“ 和式”中“ 同类项”已
10、知条件中既有S 仍有a ,有时先求S ,再求a ；有时也可直接求a ；先合并在一起,再运用公式法求和；（3）倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与 组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是如an1anf n 求an用累加法：4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 文德训练等差数列前 n 和公式的推导方法）. 5 n2时,1a 11a2 211an12n1n512第 5 页,共 9 页（ 4）错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的22n2
11、通项相乘构成, 那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方12得：1an2法） . 2n（ 5）裂项相消法 ：假如数列的通项可“ 分裂成两项差” 的形式,且相邻项分裂a n2n1后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：1 n n11 nn11； 1 n nk1 1 k n n1k；an141n1 1k111k11k1 1,2nn2 k222练习1k11k11k1k111；k1 kk21 kk数列an满意S nSn15an1,a14,求ann3n n1n2111n1n2；nn1.1n11.；12n n1n .（留意到an1S n1Sn代入得：Sn142n1nn2n11n
12、2n12nn1Snn又S 14,Sn是等比数列,S n4n二、解题方法：n2时,anSnS n1 34n1求数列通项公式的常用方法： 4 、叠乘法1、公式法例如：数列an中,a 13,ann1nn1,求a2、由S 求ana（n1 时,a1S 1,n2时,anS nSn1）解：a a2a 3 an112 nn1,a3、求差（商）法1a2an23a1n如：an满意1a11a2 1an2n51又a13,an32222nn解： n1 时,1a1215,a114 5 、等差型递推公式2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 文德训练由anan1f n ,
13、a1a0,求an,用迭加法ancd1a1cd1cn1ann2时,a2a 1f a3a2f 两边相加,得：ana 1cd1cn1cd 1anan1f n 练习1an4,求ana1f f f n 数列an满意a 19,3 anana0f f f n （an84n11）2,求an3练习 7、倒数法数列an,a11,ann 31an1n2,求an例如：a11,an12an（a n13n1）an26、等比型递推公式由已知得：a11anan211ancan 1d c、 为常数,c0,c1,d022ann可转化为等比数列,设anxc an 1xa1111ancan 1c1xnan21,公差为1 21为等差数
14、列,1令c1 xd,xcd1a na 1ancd1是首项为a1cd1, 为公比的等比数列 c11n111n1an226 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 文德训练ann21（ 2）、分解转化法2）对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和；【例 9】求和 S=1 （n2-1 ） + 2 （n2-22） +3 （n2-32）+ +n（n 2-n解 S=n2（1+2+3+ +n）- （1 3+2 3+3 3+ +n 3）2数列求和问题的方法（1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n 项和
15、公式求和,另外记住以 下公式对求和来说是有益的；135 2n-1=n2（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,实行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和；【例 8】 求数列 1,（3+5）,（7+9+10）,（13+15+17+19）, 前 n 项的和；1 例 10、求和：S n03 C1 n6 C2 nL23 nCn3 nCnn例 10、解S n.C03 C1 n6 CLnnn解此题实际是求各奇数的和,在数列的前n 项中,共有 1+2+ +n=1nn2个奇数,最终一个奇数为：1+1 nn+1-1 2 2=n2+n-1 S n=3nn-1 2,可把和因此所求数
16、列的前n 项的和为（ 4）、错位相减法假如一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和例 11、 求数列 1,3x,5x 2, ,2n-1x n-1 前 n 项的和解 设 Sn=1+3+5x 2+ +2n-1x n-1 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 文德训练2x=0 时, Sn=13 当 x 0 且 x 1 时,在式两边同乘以x 得 xSn=x+3x2+5x3+ +2n-1xn,- ,得 1-xSn=1+2x+2x2+2x 3+ +2xn-1-2n
17、-1xn注：在消项时肯定留意消去了哪些项,仍剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多；在把握常见题型的解法的同时, 也要留意数学思想在解决数列问题 时的应用；5 裂项法： 式多项 差的形式,然后前后相消；二、常用数学思想方法把通项公式整理成两项1函数思想常见裂项方法：运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决；【 例 13】等差数列 an 的首项 a10,前 n 项的和为 Sn,如 Sl =Sk（l k）问 n为何值时 Sn最大？例 12、求和13171L2n1n3此函数以 n 为自变量的二次函数；a10 S l=Sk（l k）,d0 故此二1 5.5 912次函数的图像开口向下
18、f （l ）=f （k）8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 文德训练x=1ogak,y=logbk,z=logck 2方程思想符；【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比q；b2=ac a,b,c 成等比数列（ a,b,c 均不为 0）分析此题考查等比数列的基础学问及推理才能；解依题意可知q 1；假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1；由此应推出a1=0 与等比数列不q 1 整理得 q3（ 2q6-q3-1 ）=0 q 0 此题仍可以作如下摸索：S6=S3+q 3S3=（1+q 3）S3；S9=S3+q 3S6=S3（ 1+q 3+q 6）,由 S3+S6=2S9 可得 2+q3=2（1+q 3+q 6）, 2q6+q 3=03换元思想【例 15】已知 a,b, c 是不为 1 的正数, x,y,zR+,且求证： a,b,c 顺次成等比数列；证明 依题意令 a x=b y=c z=k 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页