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1、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问框架数列的分类求和公式及性质, 把握了典型题型的解法和数学思想法的应用, 就有可能在高考中顺当的解决数列问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列数列的通项公式函数角度懂得的概念数列的递推关系一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观看法。（2）由递推公式求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列的定义anan 1d n2对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式ana1
2、Snn n a1a1) dn na1nn1) d差数列或等比数列问题。(1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d, q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2,而且 a1=1。求 an。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等差数列的性质an两个基ann1本数列等比数列的定义aama pq n2aq mnpq例 1、解an+1-a n =2 为常数 a n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列 an=1+2（ n-1 ） 即 an=2n-11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列
3、的通项公式aa qn 1例 2、已知 an 满意an 1an ,而2a12 ,求an =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等比数列n1aa qn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列等比数列的求和公式Sn1na1 11q1q q1 q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结na1 q1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式法 分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和等比数列的性质an amap aq mnpq （ 2） 递推式为 an+1=an+f （n）11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结累加累积例 3、已知 an中
4、 a1, an 1an24 n2,求 an .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结归纳猜想证明分期付款解： 由已知可知an 1an2n11 2 n11 122n112n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列的应用其他令 n=1, 2,（ n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（a2-a 1） +（ a3-a 2） +（ an-a n-1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把握了数列的基本学问, 特殊是等差、等比数列的定义、 通项公式、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana11
5、 1212n14n34n2abnn2 n1 n321 n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 说明只要和f （ 1） +f （ 2） + +f （ n-1 ）是可求的,就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1,2,（ n-1 ）代入,可得 n-1 个等式累加而求 an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p, q 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4、 an 中,a11,对于 n 1（ n N）有 an3an 12 ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一： 由已知递
6、推式得 an+1=3an+2,an=3an-1 +2。两式相减： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）因此数列 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列,其首项为a2-a 1=（ 3 1+2）-1=45 递推式为an 2pan 1qan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an+1-a n =4 3n-1 an+1=3an+2 3an+2-a n=43n-1n-1即 a n=23-1思路：设apaqa , 可以变形为： aaaa ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列, 于是有： a2-a 1=4,
7、a3-a 2=43,n 2n 1nn 2n 1n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n-2a4-a 3 =4 3 , an-a n-1 =4 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把n-1个等式累加得： an=2 3n-1-1(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （ p, q 为常数）想于是 a n+1- an 是公比为 的等比数列,就转化为前面的类型。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bn 1bn2 bn3bn 1由 上 题 的 解 法 , 得 ： bn32 2 n3可编辑资料
8、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列求和的常用方法：1、拆项分组法 ：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 递推式为 Sn 与 an 的关系式2、错项相减法 ：适用于差比数列（假如叫做差比数列）an等差,bn等比,那么anbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即把每一项都乘以bn 的公比 q ,向后错一项,再对应同次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
9、总结（ 2）试用 n 表示 an。关系。项相减,转化为等比数列求和。3、 裂项相消法 ：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11可 裂 项 为 ：11 11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sn 1Snanan 1 2 n 2a2n 1 aa111anan 1danan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
10、名师归纳总结n 1na11n 12 n 1anan 1an 1dan 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 12n2nn+1n+1nn等差数列前 n 项和的最值问题 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式两边同乘以 2得 2an+1=2 an+2 就2 an 是公差为 2 的等差数列。n1、如等差数列an 的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 an= 2+ （ n-1 ）2=2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项
11、an ,就Sn 最大an0。an 10已知an 1anf n 求 an , 用累乘法 ： ananan 1an 1an 2a2a1 na12) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知Spn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时 S 最已知递推关系求an , 用构造法 （构造等差、等比数列） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2 pn特殊的 ,（1）形如akabakabnk ,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn 1大。、 nn 1（为常数）的递可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如等差数列an的首项a10 ,公差
12、d0 ,就前 n 项和Sn 有最小值推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后,再求an 。 形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 akakn 的递推数列都可以除以kn 得到一个等差数列后,再求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知通项an ,就Sn 最小an0。an 10nn 1an 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2q（ 2）形如 aan 1的递推数列都可以用倒数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如已知 Snpnqn ,就当 n 取最靠近的非零自然数
13、时Sn 最nkab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 p小。（ 3）形如n 1n1nkaa的递推数列都可以用对数法求通项。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式。等比数列通项公式。（ 7）（理科） 数学归纳法 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 已 知aS1, nSn （ 即 a1a21) 。anfn ） 求an, 用 作 差 法 ：（ 8）当遇到an 1an 1d或 an 1an 1q 时, 分奇数项偶数项争论 ,结果可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nSnSn 1, n2f 1,n1能是分段
14、形式 。数列求和的常用方法 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a1 a2anfn 求 an,用作商法： anf n, nf n12) 。（ 1）公式法 ：等差数列求和公式。等比数列求和公式。（ 2）分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式” 中“同类项”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知条件中既有Sn 仍有an ,有时先求Sn ,再求an 。有时也可直接求an 。先合并在一起,再运用公式法求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n求a用累加法：an2 a2a1 如an 1annan anan 1 an 1a1 n2 。（
15、3）倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法） .（ 4）错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法 （这也是等比数列前n和公式的推导方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法） .（ 5）裂项相消法 ：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：12得： 1 a22 nn可编辑资料 - -
16、- 欢迎下载精品名师归纳总结11111 11a2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n n1。 nn1nnkk nnk 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k11k 1k1k111114 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 2k 2121,an2n 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11111。练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk1 k1kk2 k1k数列 a满意 SS5 a, a4,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 11。n11。nnn 13n 11n可编辑资料 - -
17、 - 欢迎下载精品名师归纳总结n n1n22 nn1 n1n2 n1.n. n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212（留意到aSS代入得：Sn 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2n1n 2nn1n 1n 1nS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn1二、解题方法：nnn1n又S4 , S是等比数列, S4 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求数列通项公式的常用方法：n2时, anSnSn 13 4 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、公式法2、 由
18、Sn 求an4 、叠乘法例如：数列an中, a13, an 1ann,求 a n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（n1时, a1S1,n2时, anSnSn 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、求差（商）法111解： a 2a1 a3 a 2anan 11 2 23n1 , an1na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： a n满意a12 a 2221n an22 n513又a 13, a nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： n1时,a12215, a1145 、等差型递推公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
19、名师归纳总结n2 时, 1 a1 a1a2 n152可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212222 n 1n 1由anan 1f n,a1a0 ,求an ,用迭加法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2 时, a 2a1f 2aadc n 1d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 3a2f 3两边相加,得：n1c1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anan 1f n数列 an满意 a19 , 3an 1an4 ,求an可编辑资料 - -
20、 - 欢迎下载精品名师归纳总结ana1f 2f 3f nn 1（a841）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ana0f 2练习f 3f nn37、倒数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数列 a, a1, a3n 1an2 ,求 a2 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ann1nn 1n1 3 n1 ）2例如： a11, an 1an2,求 a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、等比型递推公式由已知得：1an 1an22 an112an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
21、纳总结ancan 1d c、d为常数, c0, c1, d0111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可转化为等比数列,设anxc an 1xan 1an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ancan 1c1 xd1为等差数列,an11,公差为 1 a12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令c1 xd, xc111n1 11 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aan1d是首项为c1d, c为公比的等比数列c1an222ann1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nadc1d c n 1a1c1可编辑资料 - - - 欢迎下载
22、精品名师归纳总结2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 35 2n-1=n 2（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,实行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10、求和： S3C16C 23nCn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10、解S0C03C16C23nCn可编辑资料 - - -
23、 欢迎下载精品名师归纳总结【例 8】 求数列 1,（ 3+5）,（ 7+9+10）,（ 13+15+17+19）,前 n 项的和。解此题实际是求各奇数的和, 在数列的前 n 项中,共有 1+2+ +n= 1 nn12nnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个奇数,最终一个奇数为： 1+1 nn+1-12=n2+n-12n-1 S n=3n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此所求数列的前n 项的和为（ 4）、错位相减法2假如一个数列是由 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和可编辑资料 - -
24、- 欢迎下载精品名师归纳总结例 11、 求数列 1,3x, 5x, ,2n-1xn-1前 n 项的和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n-1解设 Sn=1+3+5x + +2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。2x=0时, Sn=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222222223n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 9】求和 S=1（ n -1 ） + 2 （ n -2）+3（ n -3） + +n（n -n ）3 当 x 0 且 x 1 时,在式两
25、边同乘以x 得 xS n=x+3x+5x+2n-1x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23333解S=n （ 1+2+3+ +n） - （ 1 +2 +3 + +n ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32 - ,得 1-xSn=1+2x+2x+2x + +2xn-1-2n-1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 裂项法：把通项公式整理成两项 式多项 差的形式,然后前后相消。常见裂项方法：例 12、求和1111注：在消项时肯定留意消去了哪些项,仍剩下哪些
26、项,一般的剩下的正项与负项一样多。在把握常见题型的解法的同时, 也要留意数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1. 函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【 例 13】等差数列 a n 的首项 a1 0,前 n 项的和为 Sn,如 Sl =Sk（ l k）问 n为何值时 Sn 最大？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1 537592 n12n3此函数以 n 为自变量的二次函数。a1 0S l =Sk（ l k）, d 0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ） =f （k）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
27、- - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 方程思想【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q。分析此题考查等比数列的基础学问及推理才能。解依题意可知q 1。假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q 1x=1ogak, y=log bk, z=log ck2b =ac a, b, c 成等比数列（ a, b,c 均不为 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结363可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得q（ 2q -q-1 ） =0q 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题仍可以作如下摸索：33336S6=S3+q S3=（ 1+q ） S3。S9=S3+q S6=S3（ 1+q +q ）,33663由 S3+S6 =2S9 可得 2+q =2（ 1+q +q ）, 2q +q =03. 换元思想【例 15】已知 a,b, c 是不为 1 的正数, x, y, z R+,且求证： a, b,c 顺次成等比数列。xyz证明依题意令 a =b =c =k可编辑资料 - - - 欢迎下载