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1、学问框架数列的分类一、典型题的技巧解法1、求通项公式精品资料数列数列的通项公式函数角度懂得的概念数列的递推关系（ 1）观看法；（2）由递推公式求通项；对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题；等差数列的定义anan 1d n21 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d, q 为常数）等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式ana1Snn n a1a1) dn na1nn1) d例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2,而且 a1=1；求 an；例 1、解an+1-a n =2 为常数 a n 是首项为 1,公差为 2 的
2、等差数列22 an=1+2（ n-1 ） 即 an=2n-1两个基本数列等差数列的性质anan等比数列的定义an 1ama pq n2aq mnpq例 2、已知 an 满意an 11 a ,而n2a12 ,求an =？数列等比数列等比数列的通项公式ana1qna11an qa1 1nq q1等比数列的求和公式Sn1q1qna1 q1等比数列的性质an amap aq mnpq公式法分组求和（ 2） 递推式为 an+1=an+f （n）错位相减求和例 3、已知 a 中 a1 , aa1,求 a .数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明n解： 由已知可知1n 12an 1an2nn4 n
3、21n11 111 2n122n12n1数列的应用分期付款其他令 n=1, 2,（ n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（a2-a 1） +（ a3-a 2） +（ an-a n-1 ）把握了数列的基本学问, 特殊是等差、等比数列的定义、 通项公式、求和公式及性质, 把握了典型题型的解法和数学思想法的应用, 就有可能在高考中顺当地解决数列问题；ana11 1212n14n34n2 说明只要和f （ 1） +f （ 2） + +f （ n-1 ）是可求的,就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1,2,（ n-1 ）代入,可得 n-1 个等式累加而求 an；3 递推式为 an+1=
4、pan+q（ p, q 为常数）例 4、 an 中,a11 ,对于 n 1（ n N）有 an3an 12 ,求an .5 递推式为an 2pan 1qan解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2,an=3an-1 +2；两式相减： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）思路：设apaqa , 可以变形为： aaaa ,n-1因此数列 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列,其首项为a2-a 1=（ 3 1+2）-1=4n 2n 1nn 2n 1n 1nan+1-a n =4 3n-1 an+1=3an+2 3an+2-a n=43n-1即 a n=23-1解法二： 上法得
5、a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列, 于是有： a2-a 1=4,a3-a 2=43,2n-2a4-a 3 =4 3 , an-a n-1 =4 3,把n-1个等式累加得： an=2 3n-1-1(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （ p, q 为常数）想于是 a n+1- an 是公比为的等比数列,就转化为前面的类型；求an ；bn 1bn2 bn3bn 1由 上 题 的 解 法 , 得 ： bn2 n323abnn2 n1 n321 n236 递推式为 Sn 与 an 的关系式2、错项相减法 ：适用于差比数列（假如叫做差比数列）an等差,bn 等比,那么anbn即把每
6、一项都乘以bn 的公比 q ,向后错一项,再对应同次（ 2）试用 n 表示 an；关系；项相减,转化为等比数列求和；3、 裂项相消法 ：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和；适用于数列1和anan 11anan 1（其中an等差）1111SSaa11可 裂 项 为 ：aa,an 1nnn 12 n 2a2n 1aa111nn 1dann 111an 1annn 1nn 12 n 1anan 1an 1dan 22n+1n+1nn等差数列前 n 项和的最值问题 ：上式两边同乘以 2得 2an+1=2 an+2 就2 an 是公差为 2 的等差数列；n 2 an= 2+ （
7、 n-1 ）2=2n1、如等差数列an 的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最大值；（）如已知通项an ,就Sn 最大an0；an 10数列求和的常用方法：（）如已知 Sn大；pn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最1、拆项分组法 ：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和；2、如等差数列an 的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最小值（）如已知通项an ,就2Sn 最小an0；an 10qan ；（ 2）形如 anan 1kan 1的递推数列都可以用倒数法求通项；b（）如已知 Snpnqn ,就当 n 取最靠近的非零自然数
8、时2 pSn 最（ 3）形如an 1kan 的递推数列都可以用对数法求通项；小；数列通项的求法：（ 7）（理科） 数学归纳法 ；公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式；（ 8）当遇到an 1an 1d或 an 1q 时, 分奇数项偶数项争论 ,结果可 已 知aS1 , nSn（ 即 a11) ；a2Lanfn ） 求an, 用 作 差 法 ：能是分段形式 ；an 1nSnSn 1, n2f 1,n1数列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式；已知 a1ga2gL ganf n 求 an,用作商法： anf n, n f n12) ；（ 2）分组求和法 ：在直
9、接运用公式法求和有困难时,常将“和式” 中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和；求an用累加法：La2a1 已知条件中既有Sn 仍有an ,有时先求Sn ,再求an ；有时也可直接求an ；（ 3）倒序相加法 ：如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是如an 1anf n等差数列前 n 和公式的推导方法） .an an a1 nan 1 an 12 ；an 2 （ 4）错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法 （这也是等比数列前n和公式的推导方法）
10、.已知an 1f n 求a ,用累乘法 ： aanan 1La2a n2 ；（ 5）裂项相消法 ：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂ann1aaa后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：nn 1n 21已知递推关系求a ,用构造法 （构造等差、等比数列） ；111； 11 11 ；nnn1nnn1nnk111 k nnk11,特殊地 ,（ 1）形如 ankan 1b 、 ankan 1b （ k, b 为常数）的递k 2k 212k1k11111111推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后,再求an ； 形；kk1k1kk2k1k111k1kn如
11、 akakk n1n11；nn 1的递推数列都可以除以得到一个等差数列后,再求nn1n22nn1n1n2n1.n. n1. 2n1n2122nn1又S4 , S是等比数列, S4 nnn1nnn11nn二、解题方法：n2时, a nSnSn 13 4 n 1求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、 由Sn求an4 、叠乘法例如：数列an中, a13, an 1ann,求 a n1n（ n1时, a1S1, n2时, anSnSn 1）解： a 2a1 a3 a 2anan 11 2 23n1 , an1na1n3、求差（商）法111又a133, ann如： a n满意a1 22 a 22n a
12、n22 n515 、等差型递推公式解： n1时, 1 a215, a14由aafn , aa,求a,用迭加法11nn2110nn2 时, 1 a1 a1a2 n152n2时, a 2a1f 22122212 n 1n 1a 3a2f 3两边相加,得：12得： n an22an2 n 1anan 1f n14n1ana1f 2f 3f nan2n 1 n2ana 0f 2f 3f n练习数列 a满意 SS5 a, a4,求 a练习数列 a, a1, a3 n 1an2 ,求 annn 1n 11n3Sn 1n（ a11nn 1n3 n1 ）（留意到an 1Sn 1Sn 代入得：4n2Sn6、等比
13、型递推公式ancan 1d c、d为常数, c0, c1, d0111可转化为等比数列,设anxc an 1xan 1an2a ncan 1c1 x1为等差数列,an11,公差为 1 a12令c1 xd, xdc111n an1 121 n12 ad是首项为 ad, c为公比的等比数列n12c1c1ann1nadc1ad cn 11c1aadcn 1d2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法n1c1c1练习等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的；数列 an满意 a19 , 3a n 1an4,求an（an2n 1841）31 3 5 2n
14、-1=n7、倒数法例如： a1由已知得：1, a n 11an 12anan2an22an,求 an112a n【例 8】 求数列 1,（3+5）,（7+9+10）,（ 13+15+17+19）,前 n 项的和； 解此题实际是求各奇数的和, 在数列的前 n 项中,共有 1+2+ +n= 1 nn12个奇数,最终一个奇数为： 1+1 nn+1-12=n2+n-12（ 4）、错位相减法假如一个数列是由 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和2因此所求数列的前n 项的和为式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和例 11、 求数列 1,3x, 5x, ,2n-1xn-1前 n
15、项的和2n-1解设 Sn=1+3+5x + +2n-1x（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和；2x=0时, Sn=1233 当 x 0 且 x 1 时,在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x+5x+2n-1x,n222222223n-1n【例 9】求和 S=1（ n -1 ） + 2 （ n -2）+3（ n -3） + +n（n -n ） - ,得 1-xSn=1+2x+2x +2x+2x-2n-1x23333解S=n （ 1+2+3+ +n） - （ 1 +2 +3 + +n ）（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,实
16、行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和；(5) 裂项法：把通项公式整理成两项 式多项 差的形式,然后前后相消；常见裂项方法：12n例 10、求和： Sn3Cn6C nL3nCn012n例 10、解Sn0 . Cn3Cn6CnL3nCn例 12、求和111L11. 53 . 75 . 92 n12n3n-1 S n=3n 2精品资料2方程思想【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q；分析此题考查等比数列的基础学问及推理才能；解依题意可知 q1；假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1；由此应推出 a1=0 与等比数列不符
17、；q 1精品资料注：在消项时肯定留意消去了哪些项,仍剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多；在把握常见题型的解法的同时, 也要留意数学思想在解决数列问题时的应用；二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决；【例 13】等差数列 a n 的首项 a1 0,前 n 项的和为 Sn,如 Sl =Sk（ l k）问 n整理得q63（2q -q3-1 ） =0 q 0为何值时 Sn 最大？此题仍可以作如下摸索：33336S6=S3 +q S3=（ 1+q ） S3；S9=S3+q S6=S3（ 1+q +q ）,33663由 S3+S6=2S9 可得 2+q =2（ 1+q +q ）, 2q +q =0此函数以 n 为自变量的二次函数；a1 0Sl =Sk（ l k）, d 0 故此二次函数的图像开口向下 f （ l ）=f （ k）3换元思想【例 15】已知 a, b, c 是不为 1 的正数, x, y, z R+,且求证： a,b, c 顺次成等比数列；xyz证明依题意令 a =b =c =kx=1ogak, y=log bk, z=log ck2 b =ac a, b,c 成等比数列（ a, b, c 均不为 0）