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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 基础梳理1根式1根式的概念假如存在实数 x,使得 xnaa R,n1,n N*,就 x 叫做 a 的 n 次方根式子n a叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数2根式的性质当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a的 n 次方根用符号 n a表示当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根用符号n a表示,负的 n 次方根用符号n a表示正负两个 n 次方根可以合写为n aa0 n ana. aa0. 当 n 为奇数时,na na；当 n 为偶数
2、时,n a n |a|aa0负数没有偶次方根2有理数指数幂1幂的有关概念正整数指数幂：a naa a n个nN *；零指数幂： a 0 1a 0；负整数指数幂：ap 1 a pa 0,pN *；正分数指数幂：am n n a ma 0,m、n N *,且 n1；负分数指数幂：am n 1a mnn a 1m a0,m、nN *且 n10 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义2有理数指数幂的性质a ra s a rsa 0,r、sQ a r sa rsa0,r、sQ ab ra rb ra0,b0,rQa10a1 3指数函数的图象与性质 x ya图象定义域 R值域 0, 性质过定点
3、0,1 当 x0 时, y1；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - x0 时, 0y1 当 x0 时, 0 y1；x0 时, y1. 在, 上是增函数 一个关系 分数指数幂与根式的关系在, 上是减函数根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算两个防范1指数函数的单调性是由底数a 的大小打算的,因此解题时通常对底数a 按： 0a1和 a1 进行分类争论2换元时留意换元后“ 新元 ” 的范畴三个关键点画指数函数ya xa0,且 a 1的图象,应抓住三个关键点：1,a
4、,0,1, 1,1 a . 双基自测12022 山东 如点 a,9在函数 y3 x 的图象上,就tan a 6的值为 A0 B.3C1 D.3 3解析由题意有3 a9,就 a2,tan a 6tan 33. 答案D 22022 郴州五校联考 函数 fx2 |x1|的图象是 2x 1, x1,解析fx1x1,x1,应选 B. 2答案B 3如函数 fx1 2 x1,就该函数在 , 上是 A单调递减无最小值B单调递减有最小值C单调递增无最大值D单调递增有最大值解析设 yfx,t2x1,就 y1 t,t2 x1, x, t2x1 在 , 上递增,值域为1, 因此 y1 t在 1, 上递减,值域为0,1
5、答案A 42022 天津 已知 a5log 23.4,b5log 43.6,c1 5 log 30.3,就 AabcBbac2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - Cacb Dcab解析 c1 5 log 30.35log 30.35log 310 3,log 23.4 log221,log 43.6log 441,log310log 331,10 10又 log23.4log 2 3 log3 3,log2 3.4log3又y5 x 是增函数, acb. 10 3log 4 3.6 2a2_. 答案C 52022 天
6、津一中月考 已知 a1 2a1 23,就 aa1 _；a解析由已知条件 a1 2a1 229.整理得： aa 17 又aa12 49,因此 a2a 247. 答案747考向一指数幂的化简与求值【例 1】.化简以下各式 其中各字母均为正数1a2 3b 1 1 2a1 12 b 3；6 ab525 6a1 3b2 3a1 2b 1 4a2 3b31 2. 审题视点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键1 1 1 1解 1原式a3b 2 a2b 31 5a 6b 6a31 21 6b 21 35 61 a. 2原式5 2a1 6b34a2 3b31 254a16b3 a 13b325 4a1 2b
7、35 4ab 1 3 5 4ab ab2 . 化简结果要求1如题目以根式形式给出,就结果用根式表示；2如题目以分数指数幂的形式给出,就结果用分数指数幂表示；3结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂【训练 1】 运算：10.0271 3 12 27 91 32 1 4 1 20.12 a 4ab3b3 12 . 1 2210；1 21 解1原式1 0001 3 12 1 7 2 25 93 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 104951 45. 3 31 32原式4100a3 2 42a3 2b3
8、 2b3 2 4 25a 0b 0 4 25. 考向二 指数函数的性质【例 2】.已知函数 fx1求函数 fx的定义域；a x 11 2x 3a0 且 a 12争论函数 fx的奇偶性；3求 a 的取值范畴,使 fx0 在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复杂的函数判定其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解 1由于 a x1 0,且 a x 1,所以 x 0. 函数 fx的定义域为 x|xR,且 x 0 2对于定义域内任意x,有3a x1,fxax 11 2 x3x1a a x1 2 x 3 1a x 11 2 xa x11 2 x3fx,fx是偶函数3当 a1 时,对 x0,由指数函
9、数的性质知a x1 0,ax11 20. 又 x0 时, x 30, x 3ax11 20,即当 x0 时, fx0. 又由 2知 fx为偶函数,即 fxfx,就当 x0 时, x0,有 fxfx0 成立综上可知,当 a1 时, fx0 在定义域上恒成立当 0a1 时, fxa2 a x1 xx1 . 3当 x0 时, 1a x 0,a x10,a x10,x 30,此时 fx0,不满意题意；当 x0 时, x0,fxfx0,也不满意题意综上可知,所求 a 的取值范畴是 a1. 1判定此类函数的奇偶性,常需要对所给式子变形,以达到所需要的形式,另外,仍可利用 fx fx,f x 来判定f x2
10、将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法x【训练 2】 设 fxe a ax是定义在 R 上的函数1fx可能是奇函数吗？2如 fx是偶函数,试争论其在 0, 的单调性解 1假设 fx是奇函数,由于定义域为 R,fx fx,即 e a a xxe a axx ,4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 整理得 a1 a e xex0,即 a1 a0,即 a 210 明显无解fx不行能是奇函数2由于 fx是偶函数,所以 fxfx,xx即e a a xe a ax,整理得 a1a e xex0,又对任
11、意 xR 都成立,有 a1 a0,得 a1. 当 a1 时, fxe xe x,以下争论其单调性,任取 x1,x20, 且 x1 x2,就 fx1fx2ex1ex1 ex2 ex2ex1ex2 ex1 x2 1ex1x2,x1,x20, 且 x1x2,ex1x21,ex1 ex20, ex1 x2 10,fx1fx20,即 fx1fx2,x函数 fxe a ax,当 a1 时在 0, 为增函数,同理,当 a 1 时, fx在0, 为减函数考向三 指数函数图象的应用【例 3】.2022山东 函数 yee xexe xx的图象大致为 审题视点 函数图象的判定要充分利用函数的性质,如奇偶性、单调性解
12、析 ye 2x112,当 x0 时, e 2x10 且随着 x 的增大而增大,故 y1e 2x1 e 2x12 1 且随着 x 的增大而减小,即函数 y 在0, 上恒大于 1 且单调递减,又函数e 2x1y 是奇函数,应选 A. 答案 A 利用指数函数的图象和性质可争论复合函数的图象和性质,比如：函数 ya x1 e xexa x1,y2, ylg10 x1等【训练 3】 已知方程 10 x10x,lg xx10 的实数解分别为 和 ,就 的值是_5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析作函数 yfx10x,ygxlg x,yhx10x 的图象如下列图,由于yfx与 ygx互为反函数,它们的图象是关于直线 yx 对称的又直线 yhx与 yx 垂直,yfx与 y hx的交点 A 和 ygx与 yhx的交点 B 是关于直线 yx 对称的而 yx 与 yhx的交点为 5,5又方程 10 x 10x 的解 为 A 点横坐标,同理, 为 B 点横坐标25,即 10. 答案 10 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页