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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆离散型随机变量的分布列一、学问梳理1.随机变量的概念假如随机试验的结果可以用一个变量表示 ,那么这样的变量叫做随机变量 ,它常用希腊字母 , 等表示 . 1离散型随机变量 .假如对于随机变量可能取的值 ,可以按肯定次序一一列出 ,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量 . 2如是随机变量 ,ab,其中a,b是常数 ,就也是随机变量 . 2.离散型随机变量的分布列率1概率分布 分布列 .设离散型随机变量 可能取的值为x 1,x 2,ix,取每一个值xii,1 2 ,的概P x ip i,就称表ix1xx2Pp 1p2ip为
2、随机变量 的概率分布 ,简称 的分布列 . 2二项分布 .假如在一次试验中某大事发生的概率是P 那么在 n 次独立重复试验中这个大事恰好发生n ,k 次的概率是P k Ckpkqnk. p . n 的概率分布如下: 其中k01, 2,n,q1p,于是得到随机变量01knPC0np 0q nC1np 1qn-1C knpkqn-kC nnpnq0我们称这样的随机变量 听从二项分布 ,记作Bn,p,其中n,p为参数 ,并记CkpkqnkB k,n二、点击双基1.抛掷两颗骰子,所得点数之和为 ,那么 =4 表示的随机试验结果是（D ）第 1 页,共 7 页A. 一颗是 3 点,一颗是1 点B.两颗都
3、是 2 点C.两颗都是 4 点D.一颗是 3 点,一颗是1 点或两颗都是2 点2.设 是一个离散型随机变量,其分布列为 : -101P0.51-2qq2就 q D A.1 B.12C.1+2D.1-22223.已知随机变量 的分布列为Pk1,k,12,就P24D.A 2kA.3B.111C.1641654.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5 件 ,其中次品数 的分布列为 _. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆二项分布,即 B5,0.1, 的分布列如下 : 012345,就耗用子弹数 P0.
4、954 0.5 0.90.1 0.930.01 0.924.5 0.140.155.某射手有 5 发子弹 ,射击一次命中目标的概率为0.9,假如命中就停止射击,否就始终到子弹用完的分布列为 _. 解析： 可以取 1,2,3,4,5, P =1=0.9,P =2=0.1 0.9=0.09,P =3=0.12 0.9=0.009,P =4=0.13 0.9=0.000 9,P =5=0.14=0.000 1. 分布列为12345P0.90.090.0090.000 90.000 1 例题分析：【例 1】 一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3, 4,5,在袋中同时取 3 只,以 表示取出的三只球
5、中的最小号码,写出随机变量 的分布列 . 解:随机变量 的可能取值为 1, 2,3. 当 =1 时,即取出的三只球中最小号码为 1,就其他两只球只能在编号为 2,3,4,5 的四只球中任取两2只,故有 P（ =1）= C 43 = 6= 3; C 5 10 5当 =2 时,即取出的三只球中最小号码为 2,就其他两只球只能在编号为 3, 4,5 的三只球中任取两只,2故有 P（ =2）= C 33 = 3; C 5 10当 =3 时,即取出的三只球中最小号码为 3,就其他两只球只能在编号为 4,5 的两只球中任取两只,故2有 P（ =3）= C 23 = 1. C 5 10因此, 的分布列如下表
6、所示： 1 2 33 3 1P5 10 10讲评 :求随机变量的分布列 ,重要的基础是概率的运算 ,如古典概率、互斥大事的概率、相互独立大事同时发生的概率、n 次独立重复试验有 k 次发生的概率等 .此题中基本领件总数 ,即 n=C 35,取每一个球的概率都属古典概率 等可能性大事的概率 . 【例 2】甲、乙两人各进行 3 次射击 ,甲每次击中目标的概率为 1,乙每次击中目标的概率为 2. 2 31记甲击中目标的次数为 ,求 的概率分布及数学期望 E ; 2求乙至多击中目标 2 次的概率 ; 3求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率 . 1剖析 :1甲射击有击中目标与击不中目标两个结果 ,且 3
7、 次射击是 3 次独立重复试验 . B3, .2 “ 乙至多2击中目标 2 次” 的对立大事是“ 乙击中目标 3 次” .3“ 甲恰好比乙多击中目标 2 次” 即“ 甲击中 2 次乙没击中目标或甲击中目标 3 次乙击中 1 次”. 解:1P =0=C 03 1 3= 1; P =1=C 13 1 3= 3; P =2=C 23 1 3= 3; P =3=C 33 1 3= 1. 2 8 2 8 2 8 2 8 的概率分布如下表 : 名师归纳总结 第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆01231 3 3 1P8
8、 8 8 81 B3, , 21E =3=1.5. 22乙至多击中目标 2 次的概率为 1-C 33 2 3= 19. 3 273设甲恰好比乙多击中目标 2 次为大事 A,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 0 次为大事 B1,甲恰好击中目标 3 次且乙恰好击中目标 1 次为大事 B 2,就 A=B 1+B 2,B1、B 2 为互斥大事 ,PA=PB 1+PB 2= 3 1+ 1 8 27 82 1= . 9 241甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 . 24讲评 :求离散型随机变量的概率分布的步骤为 :1找出随机变量 的全部可能的值 x ii=1,2, ;2求出各值的概率P =x i=
9、p i;3 列成表格 . 【例 3】2005 广东高考 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球 ,黄、白乒乓球的数量比为 st.现从箱中每次任意取出一个球 ,如取出的是黄球就终止 ,如取出的是白球 ,就将其放回箱中 ,并连续从箱中任意取出一个球 ,但取球的次数最多不超过 n 次.以 表示取球终止时已取到白球的次数 . 1求 的分布列 ; 2求 的数学期望 . 解:1 的可能取值为 0,1,2, ,n. 的分布列为s0ts12223n-1nsnnPsstststn1tntt stts2 的数学期望为E =0sst+1sst2+2st23+ +n-1 stn1n+nstnn. tststtstt
10、E =sst3+2st24+ +ns2 stn1+n1stn+ntn11. tsttnstn1stn-,得 E =t+n1 tn1-n1 tn-ntn1n. ss stnstns st,留意运算的严谨性. 讲评 :此题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减法求和习题精练：1.袋中有大小相同的 5个球 ,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码 ,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球 ,设两个球号码之和为随机变量 ,就 全部可能取值的个数是 A.5 B.9 C.10 D.25 解析 :号码之和可能为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,共 9 种. 答案 :B 名师归纳总结 - - - - -
11、 - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2.一袋中有 5 个白球 ,3 个红球, 现从袋中往外取球,每次任取一个登记颜色后放回,直到红球显现10 次时停止,设停止时共取了 次球,就 P（ =12）等于（）5 ）89 （3 ）82 11D.C911（3 ）89 （5 ）82A.C1012（3 ）810 （5 ）82 B.C911（3 ）89（5 ）823C.C911（8解析 :P =12表示第 12 次为红球,前11 次中有 9 次为红球,从而P（ =12）=C93 895 823 . 8答案 :B 3.现有一大批种子,其中优质良
12、种占30%,从中任取5 粒,记 为 5 粒中的优质良种粒数,就 的分布列是_. 解析 : B5,0.3, 的分布列是 P（ =k=C k50.3 k0.7 5-k,k=0,1, ,5. 答案 :P（ =k）=C k50.3 k0.7 5-k,k=0,1, ,5 4.2005 全国高考卷 ,理设 l 为平面上过点 0,1 的直线 ,l 的斜率等可能地取-2 2 ,-3 ,-5,0, 5, 3 ,2 2 ,2 2用 表示坐标原点到 l 的距离 ,就随机变量 的数学期望 E =_. 解析：当 l 的斜率为2 2 时 ,直线方程为2 2 x-y+1=0, 此时 d1= 1;k= 3 时 ,d2=5;k
13、= 53 2 22时,d3= ;k=0 时,d4=1,由等可能大事的概率可得分布列如下 : 31 1 2 13 2 32 2 2 1P7 7 7 7E = 1 2+ 1 2+ 2 2+ 1 1= 4. 3 7 2 7 3 7 7 74答案：75.某射手对目标进行射击 ,直到第一次命中或将子弹打光为止 ,每次命中率为 0.6,现共有子弹 4 颗,命中后尚剩余子弹数目 的数学期望是 _. 解析： P =0=0.43,P =1=0.42 0.6=0.096,P =2=0.4 0.6=0.24,P =3=0.6, E =0.096+0.24 2+0.6 3=2.376. 6.2004 天津 ,理从 4
14、 名男生和 2 名女生中任选3 人参与演讲竞赛.设随机变量 表示所选 3 人中女生的人数.求1 的分布列；2 的数学期望；3“ 所选 3 人中女生人数 1” 的概率 . 解： 1 的可能取值为 0,1,2. k 3 kC 2 C 4P（ =k）= 3 ,k=0,1,2. C 6 的分布列为012P131555（2）由（ 1）,可知名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆E =01+13+21=1. 5553“ 所选 3 人中女生人数 1” 的概率为4P（ 1） =P（ =0） +P =1= . 5
15、7.2005 湖南高考 某城市有甲、乙、丙 3 个旅行景点 ,一位客人游玩这 3 个景点的概率分别是 0.4、0.5、 0.6,且客人是否游玩哪个景点互不影响 .设 表示客人离开该城市时游玩的景点数与没有游玩的景点数之差的肯定值 . 1求 的分布列及数学期望 ; 2记“ 函数 fx=x 2-3 x+1 在区间 2,+上单调递增” 为大事A ,求大事 A 的概率 . 1解：分别设“ 客人游玩甲景点”“ 客人游玩乙景点”“ 客人游玩丙景点” 为大事A 1、A2、A3.由已知 A 1、A2、A 3相互独立 ,PA1=0.4,PA 2=0.5,PA 3=0.6. 客人游玩的景点数的可能取值为 0、1、
16、2、3,相应地 ,客人没有游玩的景点数的可能取值为 3、2、1、0,所以 的可能取值为 1、3. P =3=PA 1 A2A 3+P A A A =PA 1PA 2PA 3+P 3 1A P A P A =2 0.4 0.5 0.6=0.24, 3P =1=1-0.24=0.76. 所以 的分布列为13P0.760.24 E =1 0.76+3 0.24=1.48. 2解: 的可能取值为1、3. . 当 =1 时 ,函数 fx=x2-3x+1 在区间 2,+上单调递增; 当 =3 时 ,函数 fx=x2-9x+1 在区间 2,+上不单调递增所以 PA=P =1=0.76. 8.甲与乙两人掷硬币
17、,甲用一枚硬币掷3 次,记正面朝上的次数为m;乙用一枚硬币掷2 次,记正面朝上的次数为n. 1填表 : m3210Pm n210Pn 2现规定 :如 mn,就甲胜 ;如 nm,就乙胜 .你认为这种规定合理吗 .为什么 . 解： 1 m3210Pnm=1. Pm13318888n210Pn1114242mn 时,甲胜的概率为Pmn=1+31+1+3 81=1.同理 ,nm 时 ,乙胜的概率为8824422故 Pmn=Pn m,即甲胜与乙胜的机会是均等的,从而此种规定公正合理. ,从 B 中摸出一个第 5 页,共 7 页9.全新创编题 袋子 A 和 B 中装有如干个匀称的红球和白球,从 A 中摸出
18、一个红球的概率是13红球的概率为p. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个 ,有 3 次摸到红球即停止.求恰好摸5 次停止的的概率;记 5 次内 含 5次摸到红球的次数为 ,求随机变量 的分布列及数学期望E . 2,求 p 的值 . 2如 A、B 两个袋子中的球数之比为12,将 A 、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是5解： 1C2 412 2 231=8. 3381随机变量 的取值为 0,1,2,3.由 n 次独立重复试验概率公式得P =0=C051-1 5=32
19、. 3243P =1=C151 32 4=380,P =2=C251 22 33=80,P =3=1-32802=17. 243324324381 的分布列为0123,P3280801724324324381E =032+180+280+317=131. 24324324381812设 A 袋中有 m 个球 ,就 B 袋中有 2m 个球 ,由1m2mp=2,得 p=13. 33 m53010.盒中装有一打 12 个乒乓球 ,其中 9 个新的 ,3 个旧的 用过的球即为旧的,从盒中任取3 个使用 ,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数 是一个随机变量,求 的分布列 . 剖析 :从盒中任取3 个,这
20、3 个可能全是旧的,2 个旧的 1 个新的 ,1 个旧的 2 个新的或全是新的,所以用完放回盒中盒中旧球个数可能是3 个,4 个,5 个 ,6 个,即 可以取 3,4,5,6. 解: 的全部可能取值为3,4,5,6. P =3=3 C 3=1; P =4=1 2C 9 C 3=27; P =5=2 C 91 C 3=27; P =6=3 C 9=21. 3 C 122203 C 122203 C 12553 C 1255所以 的分布列为3456第 6 页,共 7 页P12727212202205555讲评 :此题的关键是正确地求出 取某个值时对应的大事个数. 11.设随机变量 的概率分布为:
21、12nP1112222n求随机变量 =sin2 的分布列 . . 剖析 : 取不同的值时 , 不肯定是不同的值,故需先看 取哪些不同的值及对应的概率解:由于 sinn=,1当n4k1 时,k=0,1,2, ,1当n4k3 时,20,当n2 k时,所以 =sin2 的取值为 -1,0,1. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆P =-1=1+1+1+ =8 11=2, 2327211115P =0=161+1+ =11=1, 222434 1. 4P =1=1 2+1+1+ =2 111 16=8252915于是 的分布列为名师归纳总结 -101第 7 页,共 7 页P21815315- - - - - - -