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1、学而不思则惘，思而不学则殆离散型随机变量的分布列一、知识梳理1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量,它常用希腊字母,等表示 . (1)离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么这样的随机变量叫做离散型随机变量 . (2)若是随机变量 ,ba其中ba,是常数 ,则也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列(1)概率分布 (分布列 ).设离散型随机变量可能取的值为,21ixxx取每一个值),2, 1(ixi的概率,)(iipxP则称表1x2xixP1p2pip为随机变量 的概率分布 ,简称 的分布列 . (2)二项分布 .如
2、果在一次试验中某事件发生的概率是,P那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是knkknqpCkP)(. 其中,1,2 ,1 ,0pqnk于是得到随机变量的概率分布如下: 01knPC0np0qnC1np1qn-1Cknpkqn-kCnnpnq0我们称这样的随机变量服从二项分布 ,记作),(pnB其中pn,为参数 ,并记),(pnkBqpCknkkn. 二、点击双基1.抛掷两颗骰子，所得点数之和为 ，那么 =4 表示的随机试验结果是（D ）A.一颗是 3 点，一颗是1 点B.两颗都是2 点C.两颗都是4 点D.一颗是 3 点，一颗是1 点或两颗都是2 点2.设 是一个离散型随机变量,
3、其分布列为 : -101P0.51-2qq2则q( D ) A.1 B.122C.1+22D.1-223.已知随机变量的分布列为,2, 1,21)(kkPk则)42(P(A ) A.163B.41C.161D.514.某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件 ,其中次品数 的分布列为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆二项分布，即 B(5,0.1),的分布列如下: 012345P0.950.50.940.10.930.010.924.50.140.155.某射手有5发
4、子弹 ,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数的分布列为 _. 解析： 可以取 1,2,3,4,5, P(=1)=0.9,P( =2)=0.1 0.9=0.09,P(=3)=0.12 0.9=0.009,P(=4)=0.130.9=0.000 9,P(=5)=0.14=0.000 1. 分布列为12345P0.90.090.0090.000 90.000 1 例题分析：【例 1】 一袋中装有5 只球，编号为1，2，3， 4，5，在袋中同时取3 只，以 表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列 . 解:随机变量 的可能取值为1， 2，3.
5、当=1 时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5 的四只球中任取两只，故有P（=1）=3524CC=106=53; 当=2 时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3， 4，5 的三只球中任取两只，故有 P（=2）=3523CC=103; 当=3 时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5 的两只球中任取两只，故有 P（ =3）=3522CC=101. 因此， 的分布列如下表所示：123P53103101讲评 :求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重
6、复试验有k 次发生的概率等.本题中基本事件总数,即 n=C35,取每一个球的概率都属古典概率(等可能性事件的概率). 【例 2】甲、乙两人各进行3 次射击 ,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率为32. (1)记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望E; (2)求乙至多击中目标2 次的概率 ; (3)求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率 . 剖析 :(1)甲射击有击中目标与击不中目标两个结果,且 3 次射击是3 次独立重复试验. B(3,21).(2)“乙至多击中目标2 次”的对立事件是“乙击中目标3 次”.(3)“甲恰好比乙多击中目标2 次”即“甲击中2 次乙没击中目标或甲击中
7、目标3 次乙击中1次” . 解:(1)P(=0)=C03(21)3=81; P(=1)=C13(21)3=83; P(=2)=C23(21)3=83; P(=3)=C33(21)3=81. 的概率分布如下表: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆0123P81838381B(3,21), E=321=1.5. (2)乙至多击中目标2 次的概率为1-C33(32)3=2719. (3)设甲恰好比乙多击中目标2 次为事件A,甲恰好击中目标2 次且乙恰好击中目标0 次为事件B1,甲恰好击中目标 3
8、次且乙恰好击中目标1次为事件 B2,则 A=B1+B2,B1、 B2为互斥事件 ,P(A)=P(B1)+P(B2)=83271+8192=241. 甲恰好比乙多击中目标2次的概率为241. 讲评 :求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1)找出随机变量的所有可能的值xi(i=1,2, );(2)求出各值的概率P(=xi)=pi;(3)列成表格 . 【例 3】(2005 广东高考 )箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒乓球的数量比为st.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过n 次.以表示
9、取球结束时已取到白球的次数. (1)求的分布列 ; (2)求的数学期望 . 解:(1)的可能取值为0,1,2,n. 的分布列为012n-1nPtss2)(tsst32)(tsstnntsst)(1nntst)(2)的数学期望为E=0tss+12)(tsst+232)(tsst+(n-1)nntsst)(1+nnntst)(. tstE=3)(tsst+42)(2tsst+nntsstn)()2(1+1)() 1(nntsstn+11)(nntsnt. -,得 E=st+1)()1(nntsstn-nntstn)()1(-nntssnt)(1. 讲评 :本题是几何分布问题,其中用到数列的错位相减
10、法求和,注意运算的严谨性. 习题精练：1.袋中有大小相同的5个球 ,分别标有 1,2,3,4,5五个号码 ,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量,则所有可能取值的个数是( ) A.5 B.9 C.10 D.25 解析 :号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共 9 种. 答案 :B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆2.一袋中有5 个白球 ,3 个红球， 现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次时停止，设停止时共取了 次球
11、，则 P（=12）等于（）A.C1012（83）10 （85）2 B.C911（83）9（85）283C.C911（85）9 （83）2 D.C911（83）9 （85）2解析 :P(=12)表示第 12 次为红球，前11 次中有 9 次为红球，从而P（=12）=C911 (83)9(85)283. 答案 :B 3.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5 粒，记 为 5 粒中的优质良种粒数，则的分布列是_. 解析 :B(5,0.3), 的分布列是P（=k)=Ck50.3k0.75-k,k=0,1,5. 答案 :P（=k）=Ck50.3k0.75-k,k=0,1,5 4.(2005 全
12、国高考卷 ,理)设 l 为平面上过点 (0,1) 的直线 ,l 的斜率等可能地取-22,-3,-25,0,25,3,22,用表示坐标原点到l 的距离 ,则随机变量 的数学期望E=_. 解析：当l 的斜率为22时 ,直线方程为22x-y+1=0, 此时d1=31;k= 3时 ,d2=25;k= 25时,d3=32;k=0 时,d4=1,由等可能事件的概率可得分布列如下: 3121321P72727271E=3172+2172+3272+711=74. 答案：745.某射手对目标进行射击,直到第一次命中或将子弹打光为止,每次命中率为0.6,现共有子弹4 颗,命中后尚剩余子弹数目 的数学期望是 _.
13、 解析： P(=0)=0.43,P( =1)=0.420.6=0.096,P(=2)=0.4 0.6=0.24,P(=3)=0.6, E=0.096+0.242+0.6 3=2.376. 6.(2004 天津 ,理)从 4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛.设随机变量 表示所选 3 人中女生的人数.求(1)的分布列；(2)的数学期望；(3)“所选 3 人中女生人数 1”的概率 . 解： (1)的可能取值为0，1，2. P（ =k）=36342CCCkk,k=0,1,2. 的分布列为012P515351（2）由（ 1） ，可知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
14、结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆E=051+153+251=1. (3)“所选 3 人中女生人数 1”的概率为P（ 1） =P（=0） +P(=1)=54. 7.(2005 湖南高考 )某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点 ,一位客人游览这3 个景点的概率分别是0.4、0.5、 0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响.设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1)求的分布列及数学期望; (2)记“函数f(x)=x2-3x+1 在区间 2,+)上单调递增”为事件A，求事件A 的概率 . (1)解：分别设“客人游览甲景点”“客人
15、游览乙景点” “客人游览丙景点”为事件A1、A2、A3.由已知 A1、A2、A3相互独立 ,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3,相应地 ,客人没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0,所以的可能取值为1、3. P(=3)=P(A1A2A3)+P(1A2A3A)=P(A1)P(A2)P(A3)+P(1A)P(2A)P(3A) =20.40.50.6=0.24, P(=1)=1-0.24=0.76. 所以 的分布列为13P0.760.24 E=10.76+30.24=1.48. (2)解:的可能取值为1、3. 当=1 时 ,函
16、数 f(x)=x2-3x+1 在区间 2,+上单调递增; 当=3 时 ,函数 f(x)=x2-9x+1 在区间 2,+上不单调递增. 所以 P(A)=P( =1)=0.76. 8.甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷3 次,记正面朝上的次数为m;乙用一枚硬币掷2次,记正面朝上的次数为n. (1)填表 : m3210P(m) n210P(n) (2)现规定 :若 mn,则甲胜 ;若 nm,则乙胜 .你认为这种规定合理吗?为什么 ? 解： (1) m3210P(m)81838381n210P(n)412141(2)mn 时,甲胜的概率为P(mn)=81+83(21+41)+8341=21.同理 ,nm
17、 时 ,乙胜的概率为P(nm)=21. 故 P(mn)=P(n m),即甲胜与乙胜的机会是均等的,从而此种规定公平合理. 9.(全新创编题 )袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是31,从 B 中摸出一个红球的概率为p. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆(1)从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球即停止.求恰好摸5 次停止的的概率;记 5 次内 (含 5次)摸到红球的次数为,求随机变量 的分布列及数学期望E. (2)若 A、B 两个
18、袋子中的球数之比为12,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是52,求 p 的值 . 解： (1)C24(31)2(32)231=818. 随机变量 的取值为0,1,2,3.由 n 次独立重复试验概率公式得P(=0)=C05(1-31)5=24332. P(=1)=C1531(32)4=24380,P(=2)=C25(31)2(32)3=24380,P(=3)=1-24328032=8117. 的分布列为0123P2433224380243808117E=024332+124380+224380+38117=81131. (2)设 A 袋中有 m 个球 ,则 B 袋中有 2m
19、个球 ,由mmpm3231=52,得 p=3013. 10.盒中装有一打(12 个)乒乓球 ,其中 9 个新的 ,3 个旧的 (用过的球即为旧的),从盒中任取3 个使用 ,用完后放回盒中,此时盒中旧球个数是一个随机变量,求 的分布列 . 剖析 :从盒中任取3 个,这 3 个可能全是旧的,2 个旧的 1 个新的 ,1 个旧的 2 个新的或全是新的,所以用完放回盒中,盒中旧球个数可能是3 个,4 个,5 个 ,6 个,即 可以取 3,4,5,6. 解:的所有可能取值为3,4,5,6. P(=3)=31233CC=2201; P( =4)=3122319CCC=22027; P(=5)=312132
20、9CCC=5527; P(=6)=31239CC=5521. 所以 的分布列为3456P22012202755275521讲评 :本题的关键是正确地求出取某个值时对应的事件个数. 11.设随机变量 的概率分布为: 12nP21221n21求随机变量 =sin(2)的分布列 . 剖析 :取不同的值时 , 不一定是不同的值,故需先看 取哪些不同的值及对应的概率. 解:因为 sin(2n)=,2,0,34, 1,14, 1时当时当时当knknkn(k=0,1,2,) 所以 =sin(2)的取值为 -1,0,1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学而不思则惘，思而不学则殆P(=-1)=321+721+1121+ =)1611 (81=152, P(=0)=221+421+=)411(41=31, P(=1)=21+521+921+=)1611(21=158. 于是 的分布列为-101P15231158精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页