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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载函数与基本初等函数函数的概念（1）函数的概念 设 A、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A中任何一个数x ,在集合 B 中都有唯独确定的数f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合A,B以及A到B的对应法就f ）叫做集合A到B的一个函数,记作f:AB 函数的三要素: 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 a b 是两个实数,且 a b,满意a x b的实数x的集合叫做闭区间,记做 , a b ；满意 a x b的实数x的集合叫做开区间
2、,记做 , a b ；满意 a x b,或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做 , a b , , a b ；满意 x a x a x b x b 的实数 x 的集合分别记做 , , a , , , , , b 留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a 可以大于或等于 b,而后者必需 a b（3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等
3、于 1 y tan x中,x k k Z 2零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知 f x 的定义域为 , a b ,其复合函数 f g x 的定义域应由不等式 a g x b 解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函
4、数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数y f x 可以化成一个系数含有,x y为实数,故必需有 b 2 y的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y 0,就在a y 0时,由于4 c y 0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,问题三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角
5、函数的最值反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法： 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 A、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就 f ,对于集合 A中任何一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合 A, B 以及 A到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A到
6、 B 的映射,记作 f : A B 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A b B 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象函数的基本性质一、单调性与最大（小）值名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（1）函数的单调性 定义及判定方法函数的定义y图象xx判定方法性 质函数的假如对于属于定义域I 内y=fXfx （1）利用定义某个区间上的任意两个自（2 ）利用已知函数变量的值x1、x2, 当 x1 x2的单调性（3 ）利用函数图象
7、fx 时,都有fx1fx2,那o（在某个区间图么就说fx在这个区间上象上升为增）x 1x2是增函数（ 4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I 内yy=fX（1）利用定义（2 ）利用已知函数某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当 x1fx2,那fx （在某个区间图么就说fx在这个区间上象下降为减）是减函数x1x2（ 4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数 减去一个增函数为减函数对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增,ug x 为增,就yf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就
8、yf g x 为增； 如yf u 为增,ug x 为减,就yf g x 为减；如yf u 为减,ug x 为增,就yf g x 为减yox（2）打“ ” 函数f x xaa0的图象与性质xf x 分别在 ,a 、 a,上为增函数,分别在a,0、 0,a 上为减函数（3）最大（小）值定义一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数M 满意：（1）对于任意的xI ,都有f x M ；（2）存在0xI ,使得f x m；（2）f x 0M 那么,我们称M 是函数f x 的最大值,记作fmax M yf x 的定义域为I ,假如存在实数m 满意：（1）对于任意的xI ,都有一般地,设函数存在
9、0xI ,使得f x 0m 那么,我们称m 是函数f x 的最小值,记作fmax m 二、奇偶性（4）函数的奇偶性 定义及判定方法名师归纳总结 函数的定义图象判定方法第 2 页,共 20 页性 质函数的假如对于函数fx定义域（1 ）利用定义（要内任意一个x,都有 fx=先判定定义域是否关于原点对称）fx,那么函数fx叫奇偶性（2 ）利用图象（图做奇函数象关于原点对称）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载假如对于函数 fx 定义域（1 ）利用定义（要内任意一个 x,都有 f先判定 定义域是否fx,那么函数 fx 叫 关于原点对称）（2
10、）利用图象（图做偶函数象关于 y 轴对称）如函数 f x 为奇函数,且在 x 0 处有定义,就 f 0 0奇函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图
11、象平移变换yf h0, 左移 个单位 h0, 右移 | h | 个单位yf xh yf x k0, 上移 个单位 k0, 下移 | k | 个单位yf x khk伸缩变换yf 01, 伸1, 缩yfxyf 0A A1, 缩1, 伸yAf 对称变换yf x x轴yf x yf x y 轴yfx 1 yf x 原点yfxyf x 直线yxyfyf 去掉 轴左边图象 y保留 轴右边图象,并作其关于 yy轴对称图象yf|x|yf 保留 轴上方图象 x将 轴下方图象翻折上去 xy|f x |（2）识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性
12、、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“ 形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法求值域的几种常用方法（ 1 ）配方法：对于（可化为）“ 二次函数型” 的函数常用配方法,如求函数ysin2x2cosx4,可变为ysin2x2cosx4cosx1 22解决y2x3 就是log1x2如函数（2）基本函数法： 一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,2利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求；2（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域；如求函数yx22x12的
13、值域；2x（4）分别常数法：常用来求“ 分式型 ” 函数的值域；如求函数y2cosx3的值域,cosx1（5）利用基本不等式求值域：如求函数yx3x4的值域2（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22 x,12 的值域（7）图象法：假如函数的图象比较简洁作出,就可依据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）函数与映射的概念名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点一：判定两函数是否为同一个函数学习好资料欢迎下载.函数的定义域、值域和对应法就都相同,所以它们是同一函数 例 1 试判定以下各组函
14、数是否表示同一函数？（1）fx x2,gx3x3；,0n1（ n N*）；（2）xx,gx 1fx x1x;0（3）fx 2n1x2n1,gx 2n1x2（4）gx t2x2x；fxxx1,x22x1,（5）fx gt2t1考点二：求函数的定义域、值域题型 1：求有解析式的函数的定义域 例 2. 函数f x 1 lnx ;B.x20 3x2；C. x243x4的定义域为 01, A.,4 2,0 1, 0 1,;D. ,4 ,0 4 ,0,题型 2：求抽象函数的定义域 例 3 设fx,0 4lg2 2x x,就f,1x；C. f2的定义域为（）2,2 42xA. 4 , 0；B. ,4142
15、,1,1 2；D. ,4题型 3；求函数的值域例 4 已知函数yx24ax2a6 aR,如y0恒成立,求fa2aa3的值域考点三：映射的概念例 5为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文3 ,4密文（加密） ,接收方由密文明文（解密） ,已知加密规章为：明文a b c d 对应密文a2 ,2bc,2cd 例如,明文1,2,3, 4 对应密文5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28 时,就解密得到的明文为（）A 7,6,1, 4 ；B 6, 4,1,7 ；C 4,6,1,7 ；D 1,6, 4,7 函数的表示方法考点 1：用图像法表示函数例 1 一水池有 2个进水口 , 1
16、个出水口 , 一个口的进、出水的速度如图甲、丙所示给出以下 3 个论断：进水量 出水量 蓄水量甲 乙 丙乙所示 . 某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图（1） 0 点到 3点只进水不出水； （2） 3点到 4 点不进水只出水； （3） 4 点到 6点不进水不出水就肯定不正确的论断是 把你认为是符合题意的论断序号都填上 . 考点 2：用列表法表示函数例 2 已知函数f x ,g x 分别由下表给出62 3 1x1 2 23 5x1 0f x 11 3 01 1时间 f g x g x 3 0 3 4 6 时间g f x 的 x 的值是2 1 时间就f g1的值为；满意考点 3：用解析法表
17、示函数题型 1：由复合函数的解析式求原先函数的解析式 例 3 已知f1x=1x2,就fx的解析式可取为第 4 页,共 20 页1x21x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 题型 2：求二次函数的解析式例 4次函数fx满意ffx1 fx 2x,且f01；m 的范畴；求f x的解析式；2xx的图象恒在ym的图象上方,试确定实数在区间1,1 上,y考点 4：分段函数 由分段函数的解析式画出它的图象例 6设函数fxx24x5,在区间,26上画出函数fx的图像； 思路点拨 需将来肯定值符号0,打开,即先解x24x5然后依分界点将
18、函数分段表示,再画出图象；函数的单调性与最值考点 1 函数的单调性yfx,f00,当 x0 时,fx1,且对任意的a、b R,有 f（a+b）=f（a）f 例 2 定义在 R 上的函数（b）. （1）求证： f（ 0）=1；（2）求证：对任意的 xR,恒有 f（x） 0；（3）求证： f（ x）是 R 上的增函数；（4）如 f （x） f（2xx2） 1,求 x 的取值范畴 . 考点 2 函数的值域（最值）的求法题型 1：求分式函数的最值例 3 已知函数fx x22xa, x1 ,.当a1时,求函数fx的最小值；x2函数的奇偶性和周期性 考点 1 判定函数的奇偶性及其应用题型 1：判定有解析式
19、的函数的奇偶性 例 1 判定以下函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x 1|；（2）f（x）=（x1）1x x；0 ,1（3）fx|x12x22；（4）fx x 1x x|x 1x x0 .考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 3 已知奇函数fx 是定义在,22 上的减函数,如fm1 f2m1 0,求实数 m 的取值范畴；f119考点 3 函数奇偶性、周期性的综合应用 例5 已 知 定 义在 R 上 的偶 函数f x 满 足f x2f 1对 于 xR 恒 成立, 且f x 0, 就_ 第 5 页,共 20 页；1.函数yx e1xR 的反函数是 Ay1lnx x0By1lnx x0Cy
20、1lnx x0Dy1lnx x02.已知f x 3 a1 x4 , a x1是 , 上的减函数,那么a 的取值范畴是logax x1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 0,1 B0,1学习好资料x x 2欢迎下载|f x 1f x2 | |x 2x 1|恒成立” 的 C1 1 ,7 3 D1 7,133.在以下四个函数中,满意性质：“ 对于区间 1,2 上的任意x 1x 2,只有 Af 1 Bfx|x Cf x 2x Df x x2f3,cf5 ,2就x1时,f x lgx 设af6,b4.已知f x 是周期为 2 的奇函数,当 0x5
21、2A abcBbacC cbaD cab5.函数f x 3x2xlg3x1的定义域是,1 311 1 , 3 3D. A.1,B. 1,1C. 336、以下函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.yx3 ,xRB. ysin , x xRC. yx xRD. yy1x ,xR第 6 页,共 20 页27、函数yf x 的反函数yf1 x 的图像与 y 轴交于点4 2yf1 P0,2如右图所示 ,就方程f x 0在 1,4 上的根是 xA.4 B.3 C. 2 D.1 8、设f x 是 R 上的任意函数,就以下表达正确选项1O3xAf x fx 是奇函数Bf x fx 是奇函数C f x
22、 fx 是偶函数D f x fx 是偶函数9、已知函数yx e 的图象与函数yfx 的图象关于直线yx 对称,就Af2x2 exxR Bf2xln 2 ln x x0Cf2xx 2 e xR Df2xlnxln 2x010、设f x 2ex1,x ,2x2.就ff2的值为log x21,A0 B1 C2 D3 11、对 a,bR,记 maxa, ba ,ab,函数 fxmax| x1| ,| x2| xR的最小值是b ,abA0 B1 2C 3 2D3 12、关于 x 的方程x22 1x21k0,给出以下四个命题：存在实数 k ,使得方程恰有2 个不同的实根；存在实数 k ,使得方程恰有4 个
23、不同的实根；存在实数 k ,使得方程恰有5 个不同的实根；存在实数 k ,使得方程恰有8 个不同的实根；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载其中假命题的个数是A0 B1 C 2 D3 函数3 x m, x 2 1、已知实数 m 0 , 函数 f x , 如 f 2 m f 2 m , 就实数 m 的值为 _ x 2 m, x 2 2、函数 f x x 1 x a 为奇函数 , 就 f x 的减区间为 _. 3、如函数 f x x 1 m在区间 a b 上的值域为 a b2 2 , b a 1 , 就实数 m 的取值范畴为
24、 _. 4、已知函数 f x 的值域为 0,4 x 2,2 , 函数 g x ax 1, x 2,2 , x 1 2,2 , 总 x 0 2,2 , 使得g x 0 f x 1 成立 , 就实数 a 的取值范畴为 _. 2 a5、如 f x x 2 ax 与 g x 在区间 1,2 上都是减函数 , 就实数 a 的值范畴是 _.x 16 、 已 知 函 数 f x 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 0 , 上 是 单 调 递 增 , 如2f lg 2 lg 50 lg 5 f lg x 2 0 , 就 x 的取值范畴为 _.x7、已知函数 f x a x
25、0 , 满意对任意 x 1 x , 都有 f x 1 f x 2 0 成立 , 就 a 的取值范畴是 a 3 x 4 a x 0 x 1 x 2_8、函数f x |x2xt|在区间 -1,2上最大值为,4, 就实数 t=_1, 当0x1时,fx4x, 就f11 4=_.9、已知定义在R上的奇函数f x 满意f x1f x 210、设函数y3 x 与y1x2的图象的交点为x 0y 0, 且x 0m m1 ,mZ , 就 m =_.211、定义在 R 上的奇函数f x , 当x0时,f x log 2x10xx1, 就函数g x f x 1的全部零点|x3|112之和为 _.12、已知定义在 R上
26、的偶函数fx在0,上是增函数 , 且f2 1, 如fxa1对x1 ,1恒成立 ,就实数 a 的取值范畴是 _. 13 、已 知 函 数f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 对 任 意 的 xR都 有f x4f f2成 立 , 如f13,第 7 页,共 20 页就f2022=_. 14、如关于 x 的方程xe3 xkx 有四个实数根 , 就实数 k 的取值范畴是 _. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料fy. f欢迎下载15、 fx 是定义在0,上的减函数 , 满意 fxxy . 121 求证 :fxfyfx y;
27、2 如f44, 解不等式fxfx1 1216、已知定义域为R的函数f x bx2x是奇函数 . 2a1 求a b的值 ; 2 f 2 t2k0恒成立 , 求 k 的取值范畴 . 2 用定义证明f x 在 R上为减函数 ; 3 如对于任意t2,2, 不等式f t217、“ 地沟油” 严峻危害了人民群众的身体健康, 某企业在政府部门的支持下, 进行技术攻关 , 新上了一种从“ 食品残渣” 中提炼诞生物柴油的项目 . 经测算 , 该项目处理成本 y 元 与月处理量 x 吨 之间的函数可以近似的表1 x 380 x 25040 , x x 120,144示为 : y 3 , 且每处理一吨“ 食品残渣”
28、, 可得到能利用的生物柴油价值1 x 2200 x 80000, x 144,5002为 200 元, 如该项目不获利 , 政府将补贴 . 1 当 x 200,300 时, 判定该项目能否获利 .假如获利 , 求出最大利润 ; 假如不获利 , 就政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损 ; 2 该项目每月处理量为多少吨时 , 才能使每吨的平均处理成本最低 . 18、已知 a R , 函数 f x x x a . 名师归纳总结 1 当a2时, 写出函数yf x 的单调递增区间; 第 8 页,共 20 页2 当时, 求函数yf x 在区间 1,2 上的最小值 ; a2- - - - - - -
29、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3 设a0, 函数yf x 在 m n 上既有最大值又有最小值, 恳求出m n 的取值范畴 用 a 表示 . 19、设f x 是偶函数 , 且当x0时,f x x 3x x,0xx33,. x3 a1 当x0时, 求f x 的解析式 ; g a , 试求g a 的表达式 . 2 设函数f x 在区间5,5 上的最大值为20、已知函数m|m27m . f x |xm 和函数g x x x1 如方程f x |m 在 -4, 上有两个不同的解, 求实数 m的取值范畴 ; f x 1g x2成立 , 求实数 m的取值范畴 . 2 如对
30、任意x 1,4, 均存在x23, 使得2022 一模（理）函数（静安） 7已知fxxx11,f 2x15其中x0,就 xD x2第 9 页,共 20 页4（静安） 12已知实数x 、 y 满意xy,就yx2 的取值范畴是（静安） 15在以下幂函数中,是偶函数且在,0上是增函数的是11Ayx2；Byx2；Cyx3；y3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（静安） 20 此题满分 14 分 此题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分某地的出租车价格规定 : 起步费 a 元,可行 3 公里, 3
31、 公里以后按每公里 b元运算,可再行 7 公里；超过 10 公里按每公里 c 元运算（这里 a 、 b 、 c 规定为正的常数,且 c b）,假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情形,即每一次乘车的车费由行车里程唯独确定 . 1 如取 a 14,b .2 4,c .3 6,小明乘出租车从学校到家,共 8 公里,请问他应对出租车费多少元？（本小题只需要回答最终结果）2 求车费 y （元）与行车里程x 公里 之间的函数关系式1yxfx a1）（其中（静安） 22 此题满分16 分 已知函数fx logax2（1）判定函数yFf x的奇偶性,并说明理由；Fx 与Gx在闭区间p,q上是（2）判定fm fn（其中m,nR且mn0）的正负号,并说明理由；mn（3）如两个函数x与G x 在闭区间p,q上恒满意Fx Gx2,就称函数分别的 . 试判定yfx 的反函数yf1 x与gxax在闭区间,12上是否分别？如分别,求出实数a 的取值范畴；如不分别,请说明理由（闵行） 3函数f x 4xxcosx , 如f a 1,就fa2（闵行） 5设fx2x1 x100