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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高一数学精品教案（二）等差数列一、学问点提要：1等差数列定义： an+1an=d（常数）,即从第 2 项起, 每一项与它前一项的差等于同一常数,叫等差数列,此常数用 d 表示,称为公差 .当 d=0 时,数列为常数列 . 2通项公式： an=a1+n1d 3前 n 项的和：S n n a 1 a n na 1 n n 1 d d 0 2 2Sn na 1（d=0）4等差中项：如 a,A,b 成等差数列,就 A 叫 a,b 的等差中项,且 A a b25等差数列的性质：（1）数列 a n 成等差数列,就an=am+nmdm,n
2、N* 如 m+n=p+q ,就 am+an=ap+aqm,n,p,qN* 特殊地：如 2t=p+q,就 2at=ap+aq（2）证明数列 a n 成等差数列的方法：定义法： an+1an=d（常数）中项法： 2an+1=an+an+2.二、重点难点突破：1由等差数列的通项公式 an=a1+n1d 可知 an 是 n 的一次函数,所以 a n 成等差数列an An B . 2由等差数列的前 n 项的和公式 Sn na 1 n n 1 可知 a n 成等差数列 Sn An 2 Bn .23等差数列的前 n 项的和 Sn仍有如下特点：（1）前 m 项的和记为 S1,次 m 项的和记为 S2,再 m
3、项的和记为 S3 就数列 S n也成等差数列 . （2）如 n 为奇数,就Snnan1；n 为偶数就nnanan1；S偶S 奇1 nd 2.2222三、热点考题导析名师归纳总结 - - - - - - -例 1在等差数列中,a6+a9+a12+a15=20,求 S20. 思路一：比较S20与已知条件 . 解法一： a6+a9+a12+a15=20, 4a1+5+8+11+14d=20 ,2a1+19d=10 ,又S 20202a119d,S20=100. 2. 思路二：利用等差数列的性质a6+a15=a9+a12=a1+a20,又由 a6+a9+a12+a15=20, a1+a20=10,S
4、2020a 1a20100. 2老师点评：在公式Snna 1nn1d中有 4 个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两2个条件也可以列出方程组解.由于Snna1an假如求到 1+an,也可以免去求a1 和 d.本例22+bn,利用已知条件确定两个系数a 和 b.再中就无法确定a1 和 d 的值 .有时仍可以设出Sn=an第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载看例 2四个数成等差数列,把它们分别加上 4,3,3,5 后又依次成等比数列,求这四个数 . 分析：四个数成等差数列,可依次设为 a3d、 ad、a+d、a+3d,然后列出 a、d 的方程
5、组求解 . 解：设此四个数依次为a3d、ad、a+d、a+3d,依题意,得ad,a,a+d, a ad d3 3 2 a a3 dd34 aa3d d3 5 4 4d d2a 2ad23 d0 6022a d0 1或a d03（不合舍去）此四个数为3, 1, 1,3. 老师点评： 这里使用了对称设元法,类似地,如三个数成等差数列, 就可设三数为这种对称设元法可以简化运算. 例 3设等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S120,S130,S13=13a70,a70, S6 最大 . 老师点评：等差数列的结构是：单调递增,单调递减或常数列 .如递减且 a10,就前 n 项的
6、和Sn存在最大值,前多少项和最大,就是数列中前如干个正项的个数,因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处 .类似地如 a10nN*S 3=S11,问此数列的前多少项的和最大？（n=7）（2）已知等差数列a n中, Sm=Snm n,求S mn a 1mn1d,0S mn0 2例 4两个等差数列a n ,b n 它们的前 n 项和之比为5 n3求这个两个数列第9 项之比 . 2 n. 1分析：可直把Sn 代入,把分子、分母变成通项的形式解：（法一）S nna 1n n1 d3a 18n 1 d2n 1 d2a 9令n218n=17 n 2 n1dS nnb 1b 12S 17a98S 17
7、17而5S 17bS 1721713b939（法二）a9a 1a1717a 1a 17/2S 1751738b 9b 1b 1717b 1b 17/2S 1721713an 与 S2n1老师点评：解法二较一奇妙,主要是敏捷地运用了等差数列的性质2从而沟通了的关系 .此题其实求任何的akbk 都可以 . 第 2 页,共 4 页例 5已知数列 a n 中, a1=1,an22 S n1n2 求这个数列的前n 项的和 Sn. S n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：当 n2 时,22 S n1San学习必备欢迎下载Sn1S n,S nS n1,S n2S
8、22S n1 S nn12S22SnS n1S nSn1, 2S nS n1nn即111,2数列1 S n是首项为111公差为 2 的等差数列,SnS nS 1a 111n1 22n1,故Sn11SnS 12 n老师点评：（1）n2 时, an=SnSn1 反映通项与前（2）留意1是等差数列利用性质求出Sn. S nn 项的和的联系；例 6是否存在常数 k 和等差数列 a n ,使 Kan 21=S2nSn+1,其中 S2n,Sn+1 分别是等差数列a n 的前 2n 项,前 n+1 项的和 .如存在,试求出常数 k 和a n 的通项 an；如不存在,请说明理由 . 解：这是一个探干脆问题,一
9、般先假设存在 k. 假设存在 .设 an=pn+qp,q 为常数 ,就 Ka n 21=kp 2n 2+2kpqn+kq 21, 1 3 2 pS n pn n 1 qn , S 2 n S n 1 pn q n p q ,2 2 2就 kp 2n 22 kpqn kq 21 3pn 2 q p n p q , 故有 kp 2 32 pp 2 2 2 kpq2 q2 kq 1 p q 3 3由得 p=0 或 kp 当 p=0 时,由得 q=0,而 p=q=0 不适合, 故 p 0 把 kp 代入,2 2得 q p ; 把 q p代入,又 kp 3, 得 p 32从而 q 8, k 81故存在常
10、数4 4 2 27 27 64= 81 及等差数列 a n 32 n 8 满意题意64 27 27四、课堂练习（1）在等差数列 a n中, a3+a7a10=8,a11a4=4.记 Sn=a1+a2+ +an,求 S13（156）（2）数列 a n 的前 n 项和是 Sn,假如 Sn=3+2annN* ,就这个数列肯定是（）A等比数列 B等差数列C除去第一项后是等比数列（A）D除去第一项后是等差数列名师归纳总结 （3）设等差数列 a n前 n 项的和为Sn,已知1 S 与 31 S 的等比中项为 41 S ,51S 与 31S4的等34差中项为 1,求数列的通项公式. （an1 或a n12n
11、32）55）五、高考试题（1）（2000 年春季北京、安徽,13）已知等差数列a n 满意 a1+a2+ +a101=0,就有（A a1+a1010 B a2+a1000 Ca3+a99=0 Da51=51 第 3 页,共 4 页答案：选C 分析：a1a2a 1010 即101a 3a990,a 3a 90 .2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）（20XX 年全国理, 3）设数列 a n是递增等差数列, 前三项的和为 12,前三项的积为 48,就它的首项是（）A 1 B 2 C4 D6 答案：选 B 分析：前三项的和为 12,a
12、1+a2+a3=12,a 2 S 3 a1a2a3=48,a2=4,a1a3=12,a1+a3=8,3把 a1,a3 作为方程的两根且 a1a3, x 28x+12=0 ,x1=6,x 2=2, a1=2,a3=6. （3）（2000 年全国文, 18）设 a n 为等差数列, Sn 为数列 a n 的前 n 项的和,已知 S7=7,S15=75,Tn为数列 Sn 的前 n 项的和,求 T n. n解：设等差数列 a n 的公差为 d,就 Sn na 1 1n n 1 d , S 7 7 , S 15 75 ,215 7 aa 11 21105 dd 775 即 aa 11 37 dd 15
13、解得 a 1 ,2 d 1 . Sn na 1 12 n 1 d1 S n 1 S n 1 1 2 92 n 1 . T n n n .2 n 1 n 2 4 4评注：此题主要考查等差数列的基础学问和基本技能；运算才能 . 六、考点检测（1）一个等差数列的前 12 项的和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项的和之比为 32 ,就公27差 d= A 3 B 4 C5 D6 （2）等差数列 a n 的前 m 项的和为 30,前 2m 项的和为 100,就它的前 3m 项的和为 （）A 130 B 170 C210 D260 （3）100 与 200 之间全部是 7 的倍数但不是 2 的倍数的自
14、然数之和为 . （4）二数列 a n ,b n 满意 an+am=am+n,bnbm=b n+m,m,n N* 、如 a1=1,就 an= .如b1=2,就 bn= . （5）数列 a n 的通项为 an=33 2n；证明数列 a n 为等差数列；求 |a1|+|a2|+ +|a40|. （6）已知等差数列 a n的前 n 项的和为 Sn, b n 1 且 a 3 b 3 1, S 3 S 5 21 ,S n 2求 b n 的通项公式；求证： b1+b 2+ +bn2. 参考答案（1）C （2）C （3）1029（提示： a1=105,an=189,n=7, Sn=1029）（4）an=n,bn=2 n（提示：设 n=1 代入条件得 am+1am=1, b m 1 ）b m（5） an+1 an=2 |a1|+|a2|+ +|a40|=a1+a2+ +a16（ a17+a18+ +a40）=832. （6） bn 2 n b 1 b 2 b n 2 1 2 2 . n 1 n 1江西省南昌市其次中学数学组孙庆宏名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页