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1、学习必备欢迎下载高一数学精品教案（二）等差数列一、知识点提要：1等差数列定义： an+1an=d（常数），即从第 2 项起， 每一项与它前一项的差等于同一常数，叫等差数列，此常数用d表示，称为公差.当 d=0 时，数列为常数列. 2通项公式： an=a1+(n1)d 3前 n 项的和：)0(2)1(2)(11ddnnnaaanSnn1naSn（d=0）4等差中项：若a，A，b 成等差数列，则A 叫 a,b 的等差中项，且2baA5等差数列的性质：（1）数列 an成等差数列，则an=am+(nm)d(m,n N*) 若 m+n=p+q ，则 am+an=ap+aq(m,n,p,qN*) 特别地：
2、若2t=p+q，则 2at=ap+aq（2）证明数列 an成等差数列的方法：定义法： an+1an=d（常数）中项法： 2an+1=an+an+2.二、重点难点突破：1由等差数列的通项公式an=a1+(n1)d 可知an是 n 的一次函数，所以an 成等差数列BAnan. 2由等差数列的前n 项的和公式2) 1(1nnnaSn可知 an 成等差数列.2BnAnSn3等差数列的前n 项的和 Sn还有如下特点：（1）前 m 项的和记为S1，次 m 项的和记为S2，再 m 项的和记为S3则数列 Sn也成等差数列 . （2）若 n 为奇数，则21nnnaS；n 为偶数则)(2122nnaann；.21
3、ndSS奇偶三、热点考题导析例 1在等差数列中，a6+a9+a12+a15=20，求 S20. 思路一：比较S20与已知条件 . 解法一： a6+a9+a12+a15=20， 4a1+(5+8+11+14)d=20 ，2a1+19d=10，又),192(220120daSS20=100. 思路二：利用等差数列的性质. a6+a15=a9+a12=a1+a20，又由 a6+a9+a12+a15=20， a1+a20=10，100)(22020120aaS. 教师点评：在公式dnnnaSn2) 1(1中有 4 个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两个条件也可以列出方程组解.由于2)(1nnaan
4、S如果求到1+an，也可以免去求a1和 d.本例中就无法确定a1和 d 的值 .有时还可以设出Sn=an2+bn，利用已知条件确定两个系数a和 b.再精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载看例 2四个数成等差数列，把它们分别加上4，3，3，5 后又依次成等比数列，求这四个数. 分析：四个数成等差数列，可依次设为a3d、 ad、a+d、a+3d，然后列出a、d 的方程组求解 . 解：设此四个数依次为a3d、ad、a+d、a+3d，依题意，得)53)(3()3()3)(43()3(22dadadadadada
5、0622403422daddad10da或03da（不合舍去）此四个数为3， 1， 1，3. 教师点评： 这里使用了对称设元法，类似地，若三个数成等差数列，则可设三数为ad， a,a+d，这种对称设元法可以简化运算. 例 3设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a3=12，S120，S130，S13=13a70，a70， S6最大 . 教师点评：等差数列的结构是：单调递增，单调递减或常数列.若递减且a10,则前 n 项的和Sn存在最大值，前多少项和最大，就是数列中前若干个正项的个数，因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处.类似地若a10(nN*)S3=S11，问此数列的前多少项
6、的和最大？（n=7）（2）已知等差数列an中， Sm=Sn(mn)，求)0, 021(1nmnmSdnmaS例 4两个等差数列an，bn 它们的前n 项和之比为1235nn求这个两个数列第9项之比 . 分析：可直把Sn代入，把分子、分母变成通项的形式. 解： （法一）dnbdnadnnnbdnnnaSSnn21212) 1(2)1(1111令821nn=17 991717baSS而383811723175991717baSS（法二）38117231752/)(172/ )(17171717117117117199SSbbaabbaaba教师点评：解法二较一巧妙，主要是灵活地运用了等差数列的性质
7、(2)从而沟通了an与 S2n1的关系 .本题其实求任何的akbk都可以 . 例 5已知数列 an中， a1=1，)2(122nSSannn求这个数列的前n 项的和 Sn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载解：当 n2 时，1212nnnnnSSaSS，1121222)(12(2nnnnnnnnnSSSSSSSSS， nnnnSSSS112，即, 2111nnSS数列1nS是首项为11111aS公差为 2 的等差数列，122)1(111nnSSn，故121nSn教师点评：（1）n2 时， an=Sn
8、Sn1反映通项与前n 项的和的联系；（2）注意1nS是等差数列利用性质求出Sn. 例 6是否存在常数k 和等差数列 an，使 Kan21=S2nSn+1，其中S2n，Sn+1分别是等差数列an 的前 2n 项，前 n+1 项的和 .若存在，试求出常数k 和an 的通项 an；若不存在，请说明理由 . 解：这是一个探索性问题，一般先假设存在k. 假设存在 .设 an=pn+q(p,q 为常数 )，则 Kan21=kp2n2+2kpqn+kq21, ),()2(23,)1(21212qpnpqpnSSqnnpnSnnn则),()2(23122222qpnpqpnkqkpqnnkp故有)(12223
9、22qpkqpqkpqpkp由得 p=0 或23kp当 p=0 时，由得 q=0， 而 p=q=0 不适合， 故 p 0 把23kp代入，得;4pq把4pq代入，又6481,2782732,23kqpkp从而得故存在常数=6481及等差数列2782732nan满足题意四、课堂练习（1）在等差数列 an中， a3+a7a10=8,a11a4=4.记 Sn=a1+a2+ +an，求 S13（156）（2）数列 an的前 n 项和是 Sn，如果 Sn=3+2an(nN*) ，则这个数列一定是（）A等比数列B等差数列C除去第一项后是等比数列D除去第一项后是等差数列（A）（3）设等差数列 an前 n 项
10、的和为Sn，已知331S与441S的等比中项为551S，434131SS与的等差中项为1，求数列的通项公式. （5325121naann或）五、高考试题（1） （2000 年春季北京、安徽，13）已知等差数列an满足 a1+a2+a101=0，则有（）Aa1+a1010 Ba2+a1000 Ca3+a99=0 Da51=51 答案：选C 分析：.0,0)(210109399310121aaaaaaa即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载（2） （20XX 年全国理， 3）设数列 an是递增等差数列，前三
11、项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A1 B2 C4 D6 答案：选B 分析：前三项的和为12， a1+a2+a3=12，332Saa1a2a3=48， a2=4， a1a3=12， a1+a3=8，把 a1,a3作为方程的两根且a1a3， x28x+12=0，x1=6，x2=2， a1=2，a3=6. （3）（2000 年全国文， 18） 设an 为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项的和，已知 S7=7， S15=75，Tn为数列nSn的前 n 项的和，求Tn. 解：设等差数列an的公差为d，则,75,7,) 1(211571SSdnnnaSndnanSdadadadada
12、n)1(21.1, 2571375105157217111111解得即.4941211).1(21221nnTnSnSnnnn评注：本题主要考查等差数列的基础知识和基本技能；运算能力. 六、考点检测（1）一个等差数列的前12 项的和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项的和之比为2732，则公差 d=( ) A3 B4 C5 D6 （2）等差数列 an的前 m 项的和为30，前 2m 项的和为100，则它的前 3m 项的和为 （）A130 B170 C210 D260 （3）100 与 200 之间所有是7 的倍数但不是2 的倍数的自然数之和为. （4）二数列 an ，bn满足 an+am=
13、am+n，bnbm=bn+m,(m,n N*) 、若 a1=1，则 an= .若b1=2,则 bn= . （5）数列 an的通项为an=33 2n。证明数列 an为等差数列；求 |a1|+|a2|+ +|a40|. （6）已知等差数列an的前 n 项的和为Sn,21,2115333SSbaSbnn且求 bn的通项公式；求证： b1+b2+ +bn2. 参考答案（1）C （2）C （3）1029（提示： a1=105，an=189，n=7， Sn=1029）（4）an=n，bn=2n（提示：设n=1 代入条件得 am+1am=1，mmbb1）（5） an+1 an=2 |a1|+|a2|+ +|a40|=(a1+a2+ +a16)（ a17+a18+a40）=832. （6）12nnbnb2)121(221nbbn. 江西省南昌市第二中学数学组孙庆宏精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页