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1、随机过程综合练习题一、填空题（每空 3 分） 第一章1. X , X,L X是独立同分布的随机变量， X 的特征函数为 g(t) ，则12niX+ X12+ L + Xn的特征函数是。2. EE( X Y )=。3. X 的特征函数为 g(t) ， Y = aX + b ，则Y 的特征函数为。4. 条件期望 E( X Y ) 是的函数，（是or 不是）随机变量。5. X , X,L X是独立同分布的随机变量， X 的特征函数为 g (t) ，则12niiX + X+ L + X的特征函数是。12n6n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。第二章7. 宽平稳过程是指协方差函数只与有关。8.
2、 在独立重复试验中，若每次试验时事件 A 发生的概率为 p (0 p 0 的齐次泊松过程，其均值函数为； 方差函数为。12. 设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为l ， l， l且均为泊松过程，它123们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。13. X(t), t0为具有参数l 0 的齐次泊松过程，PX (t + s) - X (s) = n=。n = 0,1,L14. 设X(t), t0是具有参数l 0 的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间Wn的数学期望是。15. 在保
3、险的索赔模型中，设索赔要求以平均 2 次/月的速率的泊松过程到达保险公司若每次赔付金额是均值为 10000 元的正态分布， 求一年中保险公司的平均赔付金额。16. 到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量设各客车 内乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数 N(t)相互独立，则在0，t内到达汽车总站的乘客总数是（复合or 非齐次）泊松过程17. 设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2min 内到达的顾客不超过 3人的概率是第四章18. 无限制随机游动各状态的周期是。19. 非周期正常返状态称为。20. 设有独立重复试验序列 Xn, n 1 。以 Xn
4、= 1 记第n 次试验时事件A 发生，且P X= 1 = p ，以X= 0 记第n 次试验时事件A 不发生，且PX= 0 = 1 - p ，若有nnnY = nnk =1X, n 1 ，则Ykn, n 1 是链。答案一、填空题1 gn (t ) ；2 EX；3 e ibt g(at )4Y ; 是57时间差；8独立增量过程；ni=1g (t) ；6等价i9EX (t2) - X (t1)X (t4) - X (t3)= 010s2 (mins, t)X= le -l tt 0= (l+ l+ l )e - (l +l +l )tt 011lt;lt ； 12f (t )11f (t )1231
5、230t 00t 0,p( n+1)ii 0, 则 i 非周期。（）14. 有限状态空间马氏链必存在常返状态。（）15i 是正常返周期的充要条件是lim p( n) 不存在。（）nii16. 平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（）17. 有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（）18i 是正常返周期的充要条件是lim p( n) 存在。（）nii19. 若i j ，则有di= d （）j20. 不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态（）答案二、判断题1234567891011121314151617181920三、大题第一章1（10 分）（易）设 X B(n, p)
6、，求 X 的特征函数，并利用其求EX 。2（10 分）（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，出现正面和反面的概率相等，求 X (t ) 的一维分布函数F ( x,1 / 2) 和 F ( x,1) ， X (t ) 的二维分布函数F ( x , x ;1 / 2,1) 。123（10 分）（易）设有随机过程 X (t ) = A + Bt , t 0 ，其中 A 与 B 是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求 X (t ) 的一维和二维分布。第二章4（10 分）（易）设随机过程 X(t)=Vt+b，t(0,+), b 为常数，V 服从正态分布 N(0，1)的随机变量，求 X(t)
7、的均值函数和相关函数。5（10 分）（易）已知随机过程X(t)的均值函数 mx(t)和协方差函数 B x(t1, t2)，g(t)为普通函数，令 Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程 Y(t)的均值函数和协方差函数。6（10 分）（中）设 X (t ), t T 是实正交增量过程，T = 0, ), X (0) = 0, x 是一服从 标 准 正 态 分 布 的 随 机 变 量 ， 若 对 任 一 t 0, X (t ) 都 与 x 相 互 独 立 ， 求Y (t ) = X (t ) + x , t 0, ) 的协方差函数。7（10 分）（中）设Z (t ) = X + Yt, -
8、t 0 为常数如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间 2t内呼叫n 次的概率 P2t(n)14（10 分）（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有 30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min15（15 分）（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000 个每个流星能以陨石落于地面的概率为 0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W 的 EW、varW和PW216（10 分）（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程设 1min 内没有车辆通过的概率为 0.2，求 2min 内有多于一辆车通过的概率。17（10 分）
9、（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有 30 人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min18（15 分）（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6 的泊松过程，订阅 1 年、2 年或 3 年的概率分别为 12、l3 和 16，且相互独立设订一年时，可得 1 元手续费；订两年时，可得 2 元手续费；订三年时，可得 3 元手续费. 以 X(t)记在0，t内得到的总手续费，求EX(t)与 var X(t)19（10 分）（易）设顾客到达商场的速率为2 个min，求 (1) 在 5 min 内到达顾客数的平均值；(2) 在 5min 内到达顾客数的方差；(3) 在
10、 5min 内至少有一个顾客到达的概率20（10 分）（中）设某设备的使用期限为10 年，在前 5 年内平均 2.5 年需要维修一次，后 5 年平均 2 年需维修一次，求在使用期限内只维修过1 次的概率21（15 分）（难）设 X(t)和 Y(t) (t0)是强度分别为l和lXY的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y(t) 恰好有k 个事件发生的概率为ll klp = l+X l+Y l。第四章XYXY22（10 分）（中）已知随机游动的转移概率矩阵为求三步转移概率矩阵P(3及)当初始分布为时，经三步转移后处于状态 3 的概率。23（15 分）（难）将2 个红球 4
11、 个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3 个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中)，以 X(n)表示经过 n 次交换后甲盒中红球数，则X(n)，n0为齐次马尔可夫链，求（ 1）一步转移概率矩阵；（2）证明： X(n)，n0是遍历链；（3）求lim P ( n) , j = 0,1,2 。nij24（10 分）（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：求下一、二个月的销售状态分布。25（15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间I1，2，7，转移概率矩阵为求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。26（15 分）（难）设河流每
12、天的 BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链，状态空间 I=1，2，3，4是按 BOD 浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵(以一天为单位)为若 BOD 浓度为高，则称河流处于污染状态。(1)证明该链是遍历链；(2)求该链的平稳分布；(3)河流再次达到污染的平均时间m。427（10 分）（易）设马尔可夫链的状态空间I0，1，2，3，转移概率矩阵为求状态空间的分解。28（15 分）（难）设马尔可夫链的状态空间为I1，2，3，4转移概率矩阵为讨论lim p( n)ni129（10 分）（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为求其平稳分布。30（15 分）（难）甲乙两人进行一种比赛，设每
13、局比赛甲胜的概率是p，乙胜的概率是q，和局的概率为r，且p+q+r=1设每局比赛胜者记1 分，负者记一1 分和局记零分。当有一人获得 2 分时比赛结束以 X表示比赛至 n 局时甲获得的分数，则 X, n 1 是齐nn次马尔可夫链（1）写出状态空间I；（2）求出二步转移概率矩阵；（3） 求甲已获 1 分时，再赛两局可以结束比赛的概率31（10 分）（中）(天气预报问题)设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关又设今天下雨而明天也下雨的概率为a ，而今天无雨明天有雨的概率为 b ，规定有雨天气为状态0 ，无雨天气为状态l。因此问题是两个状态的马尔可夫链设a = 0.7, b = 0.4
14、 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率32（10 分）（中）设 X, n 1 是一个马尔可夫链，其状态空间I=a，b，c，转移概n率矩阵为求（1） P X= b, X= c, X= a, X= c, X= a, X= c, X= b | X= c12345670（2） P X= c | X= bn+ 2n33（15 分）（难）设马尔可夫链 X, n 0 的状态空间 I1，2，6，转移概率n矩阵为试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。答案三、大题 01. 解：引入随机变量 Xi q1 i = 1,2L n（1 分）pj (t) = EeitXii= e it 0q + e it 1 p = pe i
15、t + q（3 分）X = nXii =1 B(n, p)（4 分）j (t ) = EeitX= Eenit (X )ii=1= ni =1EeitXi = ( peit + q)n（6 分）Q j (0) = iEX（8 分）（10 分）2. 解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2P X1= = P X1=1（1）当 t=1/2 时，X（1/2）的分布列为()02 0x 0()21 =2其分布函数为F ( 1 ; x) = 12 20 x 1（3 分） 1x1同理，当t=1 时(1)的分布列为PX (1) = -1= PX (1) = 2= 12其分布函数为 0F (1; x) = 1
16、 2x -1- 1 x 2（5 分） 1x2（2）由于在不同时刻投币是相互独立的，故在t=1/2，t=1 时的联合分布列为故联合分布函数为 01 / 40 xx 0 orx11 1 and - 12 -12 x 22F ( 1 ,1; x , x) = 1 / 20 x 1 and x 2（10 分）2121or x 1 and -1 x 2 1x 1 1 and x12 2 23. 解：对于任意固定的tT，X(t)是正态随机变量，故所以 X（t）服从正态分布 N (0,1 + t 2 )（3 分）其次任意固定的t , t12 T ,X (t1) = A + Bt1, X (t2) = A +
17、 Bt2则依 n 维正态随机向量的性质， (X (t1), X (t2)服从二维正态分布，且D X (t1) = 1 + t 21D X (t2) = 1 + t 22（8 分） 1 + t 21 + t t 1+所以二维分布是数学期望向量为（0，0），协方差为 11t t1 21 + t 222 的二维正态分布。（10 分）4. 解： X (t ) = Vt + b ，V N (0,1) ，故 X (t ) 服从正态分布，均值函数为m(t ) = EX (t )= b（4 分）相关函数为R(t , t12) = EX (t1) X (t1) = EVt1+ bV t2+ b= E V 2 t
18、 t1 2+ V (t1+ t )b + b 22= t t1 2+ b 2（10 分）5. 解： mY(t ) = EY (t ) = E X (t ) + g(t ) = mX(t ) + g(t )（4 分）（10 分）6. 解：因为 X (t ), t T 是实正交增量过程，故E X (t) = 0x 服从标准正态分布，所以 Ex = 0,Dx = 1（2 分）EY (t) = E X (t) + Ex = 0（4 分）又因为t 0, X (t ) 都与x 相互独立CovY (s),Y (t) = EY (s)Y (t) = E X (s) + x X (t) + x（6 分）= Co
19、v X (s), X (t) + 1（8 分）= s 2 (min s, t) +1（10 分）X7. 解：利用数学期望的性质可得，C(s, t) = E( X + Ys) - (mZX+ m s)( X + Yt) - (mYX+ m t)（2 分）Y+ E( X - mX)s(Y - mY)+ Est (Y - mY)2（8 分）= s 21+ (s + t)r + sts 22（10 分）8. 解：R (t , tY12) = E X (t1+ a) - X (t1) X (t2+ a) - X (t2)（2 分）= R(tX1+ a, t2+ a) - R(tX1+ a, t2) -
20、RX(t , t12+ a) + RX(t , t12)（10 分）9. 解：根据题意知顾客的到达率为5 + 5t0 t 3l (t ) =203 t 5（3 分）20 - 2(t - 5)5 t 9m(1.5) - mXX(0.5) = 1.5 (5 + 5t )dt = 10（6 分）0.5P X (1.5) - X (0.5) = 0 = e -10（10 分）10解：设 X (t ), t 0 表示到达商店的顾客数，x表示第i 个顾客购物与否，即i则由题意知xi独立同分布且与 X (t ) 独立因此，Y (t ) =由题意求X ( t )xii =1是复合泊松过程，表示（0，t）内购买
21、商品的顾客数，（5 分）= P X (t ) = kP k x= 010 分）k =0（=ii 1= e -lt e lqt = e -l pt（15 分）11证明：PY (t + t ) - Y (t ) = n= ni =0P X1(t + t ) - X1(t ) = i, X(t + t ) - X2(t ) = n - i（5 分）2= ni =0P X1(t + t ) - X1(t ) = i P X(t + t ) - X2(t ) = n - i （10 分）2故Y(t)是具有参数l1+ l 的泊松过程（15 分）212. 解：设 N (t ) 为在时间0，t内的移民户数，其
22、是强度为 2 的泊松过程，Yi表示每户的Y人数，则在0，t内的移民人数 X (t ) = N( t )是一个复合泊松过程。iY 是独立同分布的随机变量，其分布为ii =1（2 分）1234EY= 15EY 2 = 43（4 分）i6i6m(5) = EN (5) EYX1= 2 5 15 = 25（7 分）6o(5) = DN (5) EY 2 = 2 5 43 = 215（10 分）X16313. 解：以 A 记时间 2t 内呼叫n 次的事件，记第一时间间隔内呼叫为Hk，则 P(Hk) = P (k ) ，t第二时间间隔内 P( A | Hk) = P (n - k ) 成立，于是tP (n
23、) = nP (k )P (n - k ) = nlkln-ke -le -l（4 分）2tttk =0k!k =0(n - k )!= e -2lnln n!= e -2ll n C k（8 分）nn!k!(n - k )!n!n k =0k =0= (2l )nn!e-2l（10 分）14. 解：由题意，顾客到达数 N(t)是强度为l 的泊松过程，则顾客到达的时间间隔 X服从参数为l 的指数分布，, n 1nf(x) = 30e-30 x X0x 0x 2 = 60+ 30e -30 x dx = e -1（10 分）26015. 解：设 X (t) 是 t 年进入中国上空的流星数， X
24、(t) 为参数l = 10000 的齐次泊松过程1,第i个流星落于地面01设Y = i = 1,2,L即Y i0,第i个流星不落于地面i 0.99990.0001由题意知，W =X(t )Yi是一个复合泊松过程（5 分）i =1W 是参数为l p = 1的泊松过程（10 分）11()012= 1 -12e- 1()1-e12- 112= 1 - e- 1 - 1- 1（15 分）12e120!1!1216. 解： 以 N (t) 表示在0, t) 内通过的车辆数，设N (t), t 0是泊松过程，则(l t)k-lPN (t) = k =ek!t ,k = 0,1,2,L（2 分）PN (1)
25、 = 0 = e -l = 0.2 l = ln 5（5 分）= 1 - e-2l- 2l e-2l = 24 -2 ln 5（10 分）252517. 解：由题意，顾客到达数 N(t)是强度为l 的泊松过程，则顾客到达的时间间隔X服从参数为l 的指数分布，, n 1nf(x) = 30e-30 x X0x 0x 0（4 分）PX4 = 60460 30e0-30 x dx= 1 -e -2（10 分）18. 解：设Z(t)为在0，t内来到的顾客数， Z (t ) 为参数l = 6 的齐次泊松过程，Y 是每个顾客订阅年限的概率分布，且Yii独立同分布，由题意知， X (t ) = Z( t )
26、Yii =1为0，t内得到的总手续费，是一个复合泊松过程（5 分）EY 2 = 12 1 + 22 1 + 32 1 = 20（8 分）12366VarX (t ) = VarZ (t ) EY 21= 6t 20 = 20t（15 分）619. 解：N (t)表示在0，t)内到达的顾客数，显然 N (t), t0是泊松过程， l = 2 ，则当t=2 时，N（5）服从泊松过程P N (5) = k = (2 5)kk!e - 25 ,k = 0,1,2,L（5 分）故 E N (5) = 10;D N (5) = 10P N (5) 1 = 1 - P N (5) = 0 = 1 - e -
27、10（10 分）20. 解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数则 m(10) = 10 l(t )dt = 51dt + 10 1 dt = 4.5（6 分）00 2.552P N(10)- N (0)= 1= e -4.54.5! =9- 9e2（10 分）1!221. 证明：设X（t）的两个相邻事件的时间间隔为t ，依独立性有PY (t + t ) - Y (t ) = k =(l t )kYe -l t（2 分）k!Y而X（t）的不同到达时刻的概率密度函数为f(t ) =le -l tXXt 0（4 分）X0others由于X（t）是泊松过程，故Y（t）恰好
28、有k 个事件发生的概率为= (lt)k-l t l-l ttp YeY0k!eX dX= llk te-l t-l tt = llk k!XYk!0kY eX dXYlk!(X+ l)k +1Y（8 分）ll kl= l+X l +Y lXYXY（10 分）22. 解： 0.250.3750.375=0.3750.250.3750.3750.3750.25 （6 分）p (3) = p33p( 3)33= 1 0.25 = 0.25（10 分）23. 解：由题意知，甲盒中的球共有3 种状态，X (n) 表示甲盒中的红球数甲盒乙盒22 红、1 白3 白11 红、2 白1 红、2 白03 白2 红
29、、1 白p= P 甲乙互换一球后甲盒仍有 3 个白球|甲盒有 3 个白球00=P从乙盒放入甲盒的一球是白球=1/3p= P 甲乙互换一球后甲盒有 2 个白球 1 个红球|甲盒有 3 个白球01=P从乙盒放入甲盒的一球是红球=2/3p= P 甲乙互换一球后甲盒有 1 个白球 2 个红球|甲盒有 3 个白球=0021 / 32 / 30以此类推，一步转移概率矩阵为P =2 / 95 / 92 / 902 / 31 / 3（8 分）（2）因为各状态互通，所以为不可约有限马氏链，且状态0 无周期，故马氏链为遍历链。（10 分）（3） p = (p0,p ,p)12p= 1 p030+ 2 p91p =
30、 pPp= 2 p+ 5 p+ 2 pp解方程组+ p+ p= 1012即130913p= 2 p+ 1 p2（13 分）p2 + p91 p 32解得p0= 1 ,p51= 3 ,p= 1 525+= 10121lim p( n) = p= 1 ,lim p( n) = p= 3lim p( n) = p=（15 分）ni 005ni115ni 22524. 解：（5 分）（10 分）25. 解： N = 1,2 是非常返集， C1= 3,4,5 ， C2= 6,7 是正常返闭集。常返闭集C1（5 分）0.60.40 = 3,4,5 上的转移矩阵为0.400.60.20.50.3pp = pPp = (p,p,p) ，解得p= 10 ,p=7 ,p=6