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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 1 学问点总结目录高中数学必修 1 学问点总结 . 2 第一章 集合与函数概念 . 21.1集合 . 2【1.1.1】集合的含义与表示 . 2【1.1.2】集合间的基本关系 . 3【1.1.3】集合的基本运算 . 41.2函数及其表示 . 6【1.2.1】函数的概念 . 6【1.2.2】函数的表示法 . 81.3函数的基本性质 . 9【1.3.1】单调性与最大（小）值. 9【1.3.2】奇偶性 . 11【1.3.3】函数周期性和对称性 . 12补充学问函数的图象 . 14其次章 基本初等函数 . 152.1指数函数 . 15【2.
2、1.1】指数与指数幂的运算 . 15【2.1.2】指数函数及其性质 . 162.2对数函数 . 17【2.2.1】对数与对数运算 . 17【2.2.2】对数函数及其性质 . 182.3幂函数 . 20名师归纳总结 补充学问二次函数 . 22第 1 页,共 26 页第三章函数的应用 . 26- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 1 学问点总结第一章 集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . （2）常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N 表示正整数集,Z表示整数集,Q
3、表示有理数集,R表示实数集 . （3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 . （5）集合的分类名师归纳总结 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集第 2 页,共 26 页合叫做空集 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【1.1.2 】
4、集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质CAB示意图BA子集ABA 中的任一元素都1AA 或2A（或属于 B 3 如AB且 BC ,就 ABA 真子集AB AB,且 B 中至4 如AB且 BA,就 ABBA（1）A （A 为非空子集）C2 如 AB且 BC ,就 A（或少有一元素不属于BA）A A 中的任一元素都名师归纳总结 集合1AB 1个真子集,它有2n1AB第 3 页,共 26 页AB属于 B,B 中的任相等2BA 个非空子集,一元素都属于A 2n 个子集,它有 2 n（7）已知集合A 有n n1个元素,就它有它有 2n2非空真子集 . - - - - - - -精选
5、学习资料 - - - - - - - - - 【1.1.3 】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号B意义A （ 1） AAUA. U性质1Ae UAe UA A示意图BAx xA 且交集（ 2） A并集ABxB （ 3） ABAB ABBx xA 或（ 1） AAAAB（ 2） AABxB （ 3） AAABBx xU,且x痧 ABA补集e UAU2A U痧ABA . UB【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含肯定值的不等式的解法|axb|不等式00解集x|a,x|a ax|axa |x|a a0x xa 或xa c axb|c c把 axb 看 成 一 个 整 体
6、 , 化 成 |x|a a0型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式名师归纳总结 b24 ac000第 4 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数yax2bxc a0O的图象ax2一元二次方程0x 1,2bb24 acx 1|x 2b无实根bxc0a2 a2 aax2的根0（其中x 1x2xxRbbxc0ax xx 或xx2ax2的解集02abxc0ax x 1xx2的解集名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.2函数及其表示【1.2.1 】函数的概
7、念（1）函数的概念设 A 、B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B中都有唯独确定的数 f x 和它对应,那么这样的对应 （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作 f : A B 函数的三要素 :定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 a b 是两个实数,且 a b ,满意 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 , a b ；满意a x b的实数 x的集合叫做开区间,记做 , a b ；满意 a x b ,或 a
8、 x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 , a b, , a b；满意 x a x a x b x b的实数x的集合分别记做 , , a , , , , , b 留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需a b （3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就：f x是整式时,定义域是全体实数1f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于ytanx 中,xk2kZ零（负）指数幂的底数不能
9、为零名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是： 如已知f x 的定义域为 , a b ,其复合函数f g x 的定义域应由不等式ag x b解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上, 假如在函数的
10、值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法： 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,的值域或最值然后依据变量的取值范畴确定函数判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y 0,就在a y 0时,由于x y 为实数,故必需有b2 4 c y 0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代
11、换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法： 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据
12、某种对应法就 f ,对于集合 A中任何一个元素,在集合 B中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合A 到 B 的映射,记作 f : A B 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a A b B 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的定义图象判定方法性 质假
13、如对于属于定义域I 内y=fXfx （1）利用定义某个区间上的任意两个（2）利用已知函数自变量的值x 1、x2,当 x1 y的单调性x2时,都有 fx1fx2,fx （3）利用函数图象那么就说 fx 在这个区间ox1x2x（在某个区间图上是 增函数y=fX象上升为增）函数的（4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I 内（1）利用定义某个区间上的任意两个（2）利用已知函数自变量的值x1 、 x2,当y的单调性（3）利用函数图象fx x1fx2, 那 么 就 说ox1x 2x（在某个区间图fx 在这个区间上是减函两个减函数的和是减函数,象下降为减）数（4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的
14、和是增函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增,ug x 为增,就yf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就yf g x 为增；如yf u 为增,uyog x 为减,就yf g x 为减；如yf u 为减,ug x 为增,就yf g x 为减x（2）打“ ” 函数f x xaa0的图象与性质x,0、f x 分别在 ,a 、 a,上为增函数,分别在a0,a 上为减函数（3）最大（小）值定义
15、名师归纳总结 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数M 满意：（1 ）对于任意的xI ,都有第 10 页,共 26 页f x M ；（ 2 ）存在0xI ,使得f x 0M 那么,我们称M 是函数f x 的最大值,记作fmax M 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数m满意：（ 1）对于任意的xI ,都有f x m ；（2 ）存在0xI ,使得f x 0m 那么,我们称m 是函数f x 的最小值,记作fmax m - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的定义图象判定
16、方法性 质函数的假如对于函数fx 定义域（1 ）利用定义（要内任意一个x,都有 f先判肯定义域是否fx,那么函数fx关于原点对称）叫做 奇函数（2 ）利用图象（图象关于原点对称）奇偶性假如对于函数fx 定义域（1 ）利用定义（要内任意一个x,都有 f先判肯定义域是否fx,那么函数fx 叫关于原点对称）做偶函数（2 ）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数 f x 为奇函数,且在 x 0 处有定义,就 f 0 0奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积
17、（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【1.3.3 】函数周期性和对称性一定义：如T 为非零常数,对于定义域内的任一x,使fxTfx恒成立二重要结论就 fx叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期；1、 fxfxa ,就 yfx 是以 Ta 为周期的周期函数；2、 如函数 y=fx 满意 fx+a=-fx a0, 就 fx 为周期函数且2a 是它的一个周期；3、 如函数 f x a f x a ,就 f x 是以 T 2 a 为周期的周期函数4、 y=fx
18、满意 fx+a = 1 a0,就 fx 为周期函数且 2a 是它的一个周期；f x15、如函数 y=fx 满意 fx+a = a0,就 fx 为周期函数且 2a 是它的一个周期；f x6、f x a 1 f ,就 f x 是以 T 2 a 为周期的周期函数 . 1 f 7、f x a 1 f ,就 f x 是以 T 4 a 为周期的周期函数 . 1 f 8、 如函数 y=fx 的图像关于直线 x=a,x=bba 都对称 ,就 fx 为周期函数且 2（b-a）是它的一个周期；9、函数 y f x x R 的图象关于两点 A a y 0、B b y 0 a b 都对称,就函数 f x 是以2 b
19、a 为周期的周期函数；10、函数 y f x x R 的图象关于 A a y 0 和直线 x b a b 都对称,就函数 f x 是以4 b a 为周期的周期函数；11、如偶函数 y=fx 的图像关于直线 x=a 对称,就 fx为周期函数且 2 a 是它的一个周期；12、如奇函数 y=fx 的图像关于直线 x=a 对称,就 fx 为周期函数且 4 a 是它的一个周期；13、如函数 y=fx 满意 fx=fx-a+fx+aa0,就 fx为周期函数 ,6a 是它的一个周期；14、如奇函数y=fx 满意 fx+T=fx x R, T 0,就 fT=0. 2函数的轴对称：定理 1：假如函数 yfx 满
20、意 faxf bx ,就函数 yfx 的图象关于直线xa2b对称. 名师归纳总结 推论 1：假如函数 yfx 满意 faxfax ,就函数 yfx 的图象关于直线xa对称 . 第 12 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 2：假如函数 yfx 满意 fxfx ,就函数 yfx 的图象关于直线x0（y 轴）对称. 特殊地,推论2 就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1 的简化 . 一、函数的点对称：定理 2：假如函数 yfx 满意faxfax2 b,就函数 yfx 的图象关于点,a b 对称. 推论 3：假如函数yfx 满意faxf
21、 ax0,就函数 yfx 的图象关于点a ,0对称. 推论 4：假如函数yfx 满意fxfx0,就函数 yfx 的图象关于原点0,0 对称 .特殊地,推论4 就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2 的简化 . 二、函数周期性的性质：名师归纳总结 定理 3：如函数 fx 在 R上满意f ax ffax ,且f bx xfbx （其中 ab ）,就函第 13 页,共 26 页数 yfx以2 ab为周期 . x fax ,且f bff bx （其中 ab ）,定理 4：如函数 fx 在 R 上满意f a就函数 yfx 以 2 ab 为周期 . xax ,且f bx bx （其中 ab）,就定理 5
22、：如函数 fx 在 R 上满意f a函数 yfx 以 4 ab 为周期 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 补充学问函数的图象（1）作图利用描点法作图：；化解函数解析式；确定函数的定义域；争论函数的性质（奇偶性、单调性）画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf x h0, 左移 个单位 h0, 右移 | h | 个单位yf xhyf x k0, 上移 个单位 k0, 下移 | k | 个单位yf khk伸缩变换yf x 01, 伸1,
23、缩yfxyf 0A1, 缩1, 伸yAf A对称变换yf x x 轴yf x yf x fy轴yfx 1 yf x 直线y xyf原点yfx yf x yf x 去掉 轴左边图象 y保留 轴右边图象,并作其关于 yy 轴对称图象y|x|yf x 保留 轴上方图象 x将 轴下方图象翻折上去 xy|f x |（2）识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“ 形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结
24、合解题的思想方法名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 基本初等函数 2.1指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（1）根式的概念假如 x na a R x R n 1,且n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时, a 的n 次方根用符号 n a 表示； 当 n 是偶数时, 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示, 负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0 ；负数 a 没有 n次方根式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数当 n
25、为奇数时, a为任意实数；当 n 为偶数时,a 0 根 式 的 性 质 ： n a n a ； 当 n 为 奇 数 时 ,na na ； 当 n 为 偶 数 时 ,n n a a 0a | a |a a 0 （2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：amnama0,m nN,且n10 的正分数指数幂n等于 0正数的负分数指数幂的意义是：am 1amn 1 maa0,m nN,且n10 的负nn分数指数幂没有意义留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质名师归纳总结 arasarsa0, , r s0,RR arsarsa0, , r sR第 15 页,共 26 页
26、abrr a barr0,b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【2.1.2 】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称定义a函数yaaxa指数函数1叫做指数函数10且a10ayyxyaxy图象y1y10,10,1名师归纳总结 定义域OxOx第 16 页,共 26 页R值域0,过定点图象过定点 0,1 ,即当x0时,y1奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的ax1 x0ax1 x0ax1 x0ax1 x0变化情形ax1 x0ax1 x0a 变化对 图象的影响在第一象限内,a越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.2对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（1）对数的定义如axN a0,且a1,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作xlog aN ,其中 a 叫做底数, N叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlogaNaxN a0,a1,N0（2）几个重要的对数恒等式log 10, loga a1, logb aab （3）常用对数与自然对数名师归纳总结 常用对数： lg N ,即log10N ；自然对数： ln N ,即 log e N （其中e2.71828 ）1第 17 页,共