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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 近世代数电子教案第一章 基本概念在一般代数里,我们运算的对象是数,运算的方法是加、减、乘、除；数学慢慢进步,我们发觉, 可以对于如干不是数的事物,用类似一般运算的方法加以运算；这种例子我们在高等代数里已经看到很多,例如对于向量、矩阵、线性变换等就都可以进行运算；近世代数（抽象代数） 的主要内容就是讨论所谓代数系统,即带有运算的集合；近世代数在数学的其它分支和自然科学的很多部门里都有重要的应用；用于某些新兴的技术；近二十多年来, 它的一些成果更被直接应我们在高等代数里已经初步接融到的群、环、域是三个最基本的代数系统；在本书里我们要对这三个代数系统
2、做略进一步的介绍；在这一章里, 我们先把常要用到的基本概念介绍一下；这些基本概念中的某一些,例如集合和影射,在高等代数里已经显现过；但是为了完整起见,我们不得不有所重复；课时支配约 1 课时 1.1 集合 教学内容 近世代数基础张禾瑞著,近世代数徐德余、唐再良等编著集合的概念,元素,空集合,集合与集合之间的包含、交、并、积,子集的概念例题：例1 A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AB=2 A=1.2.3 B=4.5.6 那么 AB=空集合例2 A=1.2.3 B=2.4.6 那么 AB=1.2.3.4.6 A=1.2.3 B=4.5.6 那么 AB=1.2.3.4.5.6 习题选讲 P4
3、1 教学难点元素与集合的关系（属于）集合与集合的关系（包含）教学要求把握集合元素、子集、真子集；集合的交、并、积概念布置作业P4 2 教学辅导精选习题：（侧重概念性、技巧性的基本问题）1.B A, 但 B 不是 A的真子集,这个情形什么时候才能显现？ 1.2 映射课时支配约 1 课时著,近世代数徐德余、唐再良等编著 教学内容 近世代数基础张禾瑞映射,象,原象,映射相同的定义及映射的表示方法例 1 ：A1=A2=.=AN=D= 全部实数作成的集合 ：（a1,a2, ,an） a1 2+a22+ +an 2= a 1, a2, ,a n 是一个名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共
4、 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - A1 A2 AN 到 D的映射例 2 ：A1=东西 ,A 2=南 ,D=高低 1：（西南）高 = 1（西南）不是一个 A1 A2到 D的映射 2（西南）高, （东南）低,就 2 是一个 A1 A2到 D的映射例 3 ：A1=D=全部实数所成的集合 ：aa 如 a 1 b 这里 b 2=1 不是一个 A1 到 D的映射例 4 ：A1=D=全部实数所成的集合 ： aa-1 不是一个 A1 到 D的映射例 5 ：A=D=全部正整数的集合1：a1=1（a）就1 与2是相同的2: a a=2（a）教学重点映射的定义及象与原象的定义,映射相同的定义
5、；教学难点P6 留意五条映射定义,应用该定义应留意几点,如课本教学要求把握映射的定义及应留意的几点问题,象,原象的定义懂得映射的相同的定义布置作业 P6 1 P7 2 教学辅导精选习题：1 A=1,2,3, ,100, 找一个 A A到 A 的映射2 在上题到的映射之下,是不是 A的每一元都是 A A的一个元课时支配 约 1 课时教学内容 影射的定义、象、逆象定义 假如通过一个法就 1.3 代数运算课时支配 约 1 课时教学内容 代数运算的定义,二元运算的定义；及代数运算的表示方法；例题 : 例 1：A=全部整数 ,B=全部不等于零的整数 ；D=全部有理数 0 ：（a.b ）a =a bb 是
6、一个 A B 到 D的代数运算,即一般的除法F V例 2：令 V是数域 F 上一个向量空间,那么F 的数与 V 的向量空间的乘法是一个到 V 的代数运算名师归纳总结 例 3：A=1,B=2,D=奇,偶 第 2 页,共 9 页 0：（1.2 ）奇 =12 是一个 A B 到 D的代数运算例 4 A=1.2,B=1.2,D=奇,偶 0：（1.1 ）奇（2.2 ）奇（1.2 ）奇（2.1 ）偶- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 是一个 A B 到 D的代数运算教学重点代数运算的应用,对代数运算的懂得,既以上四道例题教学难点代数运算符号与映射合成运算符号的区分教
7、学要求把握代数运算的应用布置作业 P9 2 教学辅导精选习题： A=a,b,c. 规定 A 的两个不同的代数运算（用运算符表示） 1.4 结合律课时支配 约 1 课时教学内容 近世代数基础张禾瑞著,近世代数徐德余、唐再良等编著 代数运算的结合律的定义及其推广 例题 : A=全部整数 ,代数运算是一般减法这（ a-b ）-c a-b-c 除非 c=0 c abc教学重点代数运算的结合律一般地（ ab）教学难点结合率的推广及满意结合律的代数运算的定义教学要求. 把握代数运算的一般结合运算,懂得几个元素作代数运算的特点布置作业 P 12 1.2.3 教学辅导精选习题： A=a,b,c 由表 a b
8、c a a b c b b d a c c a b 所给的代数运算适不适合结合律. 1.5 交换律 课时支配约 1 课时著,近世代数徐德余、唐再良等编著教学内容 近世代数基础张禾瑞代数运算的结合律名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理：假如一个集合A的代数运算同时适合结合律与交换律,那么在a1a2an 里,元的次序可以掉换；教学重点对定理的懂得与证明教学要求懂得代数运算的结合律布置作业P14 1.2. . 由表教学辅导精选习题： A=a,b,c,d a b c d a a b c d b b d a c c c a
9、b d d d c a b 所给的代数运算适合不适合交换律 1.6 安排律课时支配 约 1 课时教学内容 近世代数基础张禾瑞 著,近世代数徐德余、唐再良等编著 代数运算 与 的第一安排律和其次安排律的定义,以及 的结合律与这两种安排律的综合运用例题：假如 B 与 A 都是全体实数的集合,和 就是一般的乘法和加法,就 b a 1 a2=b a1 b a2 就变为ba 1+a2=ba 1+ba 2 教学难点两种安排律与 的结合律的综合应用教学要求把握并能应用安排律与结合律的综合应用布置作业 P 16 习题教学辅导一、把握两个等式ba 1an=ba1bana1anb=a1banb 二、 精选习题名师
10、归纳总结 假定.是 A的两个代数运算,并且21适合结合律,.适合两个安排律第 4 页,共 9 页证明：（a1b1） a1b2 ab1 a2b2 =（a1b1） a2b1 ab2 a2b2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1.7 一一映射、变换课时支配约 1 课时著,近世代数徐德余、唐再良等编著 教学内容 近世代数基础张禾瑞满射,单射, 一一映射的定义； 逆映射的定义集一一变换,例 1： A=1 ,2,3,4,5 A =2 ,4,6,8 满射变换, 单射变换的意义；就 ：1 2 ,2 4,3 6,4 2,5 2；是一个 A 到 A 的映射例 2：A=1
11、,2,3, A = 奇,偶 就 ： 1,3,5,奇, 2,4,6偶 是一个 A 到 A 的映射例 3：A=1,2,3, ,A =2 ,4,6, ,那么 ：1 2 ,2 4, 是一个 A 与 A 间的一一映射x例 4：A=全部实数 ； ：X e 是 A 的一个单射变换例 5：A=全部整数 ； ：a a 假如 a 是偶数2 a a 1 假如 a 是奇数2是 A 的一个满射变换例 6：A=1,2,3 1： 11, 22,33 2： 12, 23,31 都是 A 的一一变换教学难点满射,单射,一一映射及逆映射的定义教学要求把握满射,单射,一一映射及逆映射的定义；懂得满射,定义布置作业P191,2 教学
12、辅导精选习题：,单射,一一映射及逆映射的1 A=全部大于 0 的实数 , A = 全部实数 ,找一个 A 与 A 的一一映射2 假定 是 A 与 A 间的一个一一映射,a 是 A一个元 , -1 （a）=. -1（a）=. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.8 同态课时支配 约 1 课时教学内容 近世代数基础张禾瑞 著,近世代数徐德余、唐再良等编著 同态映射的定义,同态满射的定义以及定理 1 和定理 2 例 1： ：a 1 a 是 A 的任一元 是一个 A 到 A 的同态映射, 1 是一个 A 到 A 的映射,明
13、显对于的任意两个整数 a 和 b 来说,有 a 1, b 1,a+b 1=1 1 例 2 ：2 ：a 1 如 a 是偶数 a-1 如 a 是奇数 2 是一个 A 到 A 的满射的同态映射例 3 ： 3 ：a-1a 是 A 的任一元 当然是一个 A到 A 的映射,但不是同态映射Th1：假设对于代数运算 和 来说, A 与 A 同态,那么）如 适合结合律,也适合结合律）如 适合交换律,也适合交换律；Th2：假定,都是集合 A 的代数运算,都是集合 A 的代数运算,并且存在一个 A 到 A 的满射 ,使得 A 与 A 对于代数运算,来说同态； 对于代数运算,来说也是同态,那么）如,适合第一安排律,也
14、适合第一安排律）如,适合第一交换律,也适合第一交换律教学难点同态映射在比较两个集合时的结果既定理1 和定理 2 教学重点同态映射,同态映射的定义教学要求把握同态映射、同态满射的定义及应用名师归纳总结 布置作业P23 1,2 第 6 页,共 9 页教学辅导- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1.9 同构、自同构课时支配约 1 课时著,近世代数徐德余、唐再良等编著 教学内容 近世代数基础张禾瑞同构与自同构的定义,以及同构映射在比较集合时的成效例 1：A=1, 2,3 . A =4,5,6. 1 2 3 4 5 6 1 3 3 3 4 6 6 6 2 3 3
15、3 5 6 6 6 3 3 3 3 6 6 6 6 各是 A 与 A 的代数运算 与 的表,那么1 4, 2 5,3 6,是一个 A 与 A 之间的同构映射例 2： A=1,2,3 代数运算由下表给定： 1 2 3 1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 那么 ： 12, 21,33 是一个对于来说的 A 的自同构教学重点同构映射的定义以及在比较集合时的成效教学要求把握同构映射与自同构的定义布置作业 P 261,2 教学辅导 精选习题A=全部有理数 ,A 的代数运算是一般加法,A = 全部0 的有理数 ； A 的代数运算是一般乘法；证明：对于给定的代数运算来说, A 与 A 间没有同构
16、映射存在 8 同态课时支配 约 1 课时名师归纳总结 教学内容 近世代数基础张禾瑞著,近世代数徐德余、唐再良等编著 第 7 页,共 9 页同态映射的定义,同态满射的定义以及定理1 和定理 2 例 1： ：a1 a 是 A的任一元 是一个 A 到 A 的同态映射, 1 是一个 A 到 A 的映射,明显对于的任意两个整数a 和 b 来说,有 a1, b1,a+b1=1 1 例 2 ：2 ：a1 如 a 是偶数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a-1 如 a 是奇数 2 是一个 A 到 A 的满射的同态映射例 3 ： 3 ：a-1a 是 A的任一元 当然是一
17、个 A 到 A 的映射,但不是同态映射Th1：假设对于代数运算 和 来说, A 与 A 同态,那么）如 适合结合律,也适合结合律）如 适合交换律,也适合交换律；Th2：假定,都是集合 A的代数运算,都是集合 A 的代数运算,并且存在一个 A 到 A 的满射 ,使得 A 与 A 对于代数运算,来说同态； 对于代数运算,来说也是同态,那么）如,适合第一安排律,也适合第一安排律）如,适合第一交换律,也适合第一交换律教学难点同态映射在比较两个集合时的结果既定理 1 和定理 2 教学重点同态映射,同态映射的定义教学要求把握同态映射、同态满射的定义及应用布置作业P23 1,2 教学辅导精选习题 1.10
18、等价关系与集合的分类 课时支配约 1 课时教学内容 近世代数基础张禾瑞著,近世代数徐德余、唐再良等编著关系与等价关系的定义,分类的定义；代表及全体代表的定义；模 n 的剩余类的定义 例 ： A=全部实数 R:a,b 对,如是 b-a 是正的 a,b 错,如是 b-a 不是正的 是 A 的元间的一个关系 教学重点 等价关系 模 n 的剩余类教学难点模 n 的剩余类 教学要求名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 把握等价关系的定义,懂得模 n 的剩余类布置作业P30 3 假如满意以下教学辅导一、把握等价关系, 即集合 A 的元间的一个关系叫做一个等价关系；规律：反射律： aa,不管 a 是 A的那一个元名师归纳总结 ：对称律： abba ab-5 ；证明你所规定的是一个等价第 9 页,共 9 页,推移律： ab, b cac 二、精选习题：依照书P29 例 3 规定整数间的关系关系,并且找出模-5 的剩余类- - - - - - -