2022年近世代数习题解答.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 近世代数习题解答第二章 群论1 群论1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 1ee2. 证不是一个群 ,因为不适合结合律. 举一个有两个元的群的例子. 3. 证G,11 对于普通乘法来说是一个群. 证明 , 我们也可以用条件1,2 以及下面的条件4 5 来作群的定义 : 4 . G 至少存在一个右单位元e,能让aea对于 G 的任何元 a 都成立5 . 对于 G 的每一个元 a ,在 G 里至少存在一个右逆元a1,能让aa证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa1e得a1 a因为由4 G 有元a 能使a1 ae所以(a1a

2、 ) e(a1 a)(a1 a)a1(aa1) aa1 e aa1 ae即a1 ae(2) 一个右恒等元 e一定也是一个左恒等元,意即由aea得eaaea(aa1)aa (a1 a)aea即eaa这样就得到群的第二定义. (3) 证axb可解取xa1 ba (a1 b )(aa1) bbeb这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到4 5, 是不困难的 . 2 单位元 ,逆元 ,消去律1.假设群 G 的每一个元都适合方程x2e,那么 G 就是交换群 . 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证由条件知 G 中的任

3、一元等于它的逆元,因此对a,bG有ab( ab )1b1a1ba. 2.证在一个有限群里阶大于2 的元的个数是偶数. (1) 先证 a 的阶是 n 则a1的阶也是 n .ane( a1)n(a n)1e1e假设有mn使(a1)me即( am)1e因而ame1ame这与 a 的阶是 n 矛盾 .a 的阶等于a1的阶(2) a 的阶大于2, 则aa1假设aa1a2e这与 a 的阶大于 2 矛盾(3) ab则a1b1总起来可知阶大于2 的元 a 与a1双双出现 ,因此有限群里阶大于2 的元的个数一定是偶数3.4.假定 G 是个数一个阶是偶数的有限群,在 G 里阶等于 2 的元的个数一定是奇数. 证根

4、据上题知 ,有限群 G 里的元大于 2 的个数是偶数 ;因此阶2 的元的个数仍是偶数,但阶是 1的元只有单位元,所以阶2 的元的个数一定是奇数. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证aG故a ,a2,am,a n,G由于 G 是有限群 ,所以这些元中至少有两个元相等: aman(mn)故anmenm是整数 ,因而 a 的阶不超过它 . 4 群的同态假定在两个群G 和 G 的一个同态映射之下1,aa， a 和 a 的阶是不是一定相同? 证不一定相同 ,11i3,1i3 例如G22(这里 x是G1对普通乘法G,G都作成群 ,且(x)G 的任意元 ,1是 G 的元 ) 由可知G G 1 i ,

5、23的阶都是 3 . 但 1 i 32而 1的阶是 1.2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 变换群1.假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元1,使得1? .这2.证 我们的答复是回有的A,12 ,3 ,1: 11 2 11 21 23 32 34 43 45 显然是一个非一一变换但1假定 A A 的可以写成xaxb,a,b是有理数 ,a0形式的变换作成一个变换群个群是不是一个交换群? 证 (1) :xaxb:xcxd:xc (axb)dcaxcbdca,cbd是有理数ca0是关闭的 . (2)显然时候

6、结合律(3)a1b0则:xx(4)1:axb. 3. 而x1 bx ( )a a所以构成变换群( a)1又1: xx12:x2x12:x2 x1 )21:x2x1故1221因而不是交换群. 假定 S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号:aa来说明一个变换.证明 ,我们可以用12: a12(a )12(a )来规定一个S 的乘法 ,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说还是 S 的单位元 . 证1:a1a )2:a2a)那么12:a1 2( a)12(a )3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - -

7、 显然也是 A 的一个变换 . 现在证这个乘法适合结合律: 1 1 2(3(a )(12)3:a(12)3(a )1(23):a123(a )(23a )故(12)31(23)再证还是 S 的单位元a):aa(a):a(a)(a):a(a )4 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。证 设 是是变换群 G 的单位元G， G 是变换群，故 是一一变换，因此对集合A 的任意元 a ，有 A 的元 b ，5.:ba(b )是 G 的单位元。(a)(a)=(b)(b )a(a)a另证(x )1(x)根据1.7.习题3知1(x)x(x)x证明实数域上一切有逆的nn矩阵乘法来说，作成一个群。证G = 实数

8、域上一切有逆的nn矩阵 A,BG则B1A1是AB的逆从而A,BG对矩阵乘法来说，G 当然适合结合律且E n 阶的单位阵故G 作成群。 6 置换群1. 找出所有S 的不能和(123 231交换的元 . ( 123321)这是难验证的 . 2.证S 不能和123 ( 231交换的元有(123 132),( 123213),把S 的所有的元写成不相连的循环置换的乘积4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解: S 的所有元用不相连的循环置换写出来是:(1), (12), (13), (23), (123), (132).

9、3. 证明 : 1in)i1i2ikik1ik2imim1inin)(1) 两个不相连的循环置换可以交换(2) (ii2ik)1(iik1i 1)证(1) ( ii2ik)(ik1i m)=(i 1i2ikik1mimim(i1i2ikik2ik3ik1im1i i 2iikiimin311=(i 1 i 2i 2 i 3i ki 1i ik k1ik2imim i k1ii i nin)ki)=(i1i2ikik1iki2k31m13.又( ik1ik2i m)( ii 22i mim1in)(i i1 i 22 i 3iki ki k1imi mi m1i ni ni1i2ikik2ik3

10、ik1im1inii11m1=(i 1 i 2i 2 i 3i ki 1ik1i ki k2imi m1 i11in in),故( ii2i k)(i k1im)( iki m)(ii2ik)1iikk23mk(2) ( ii2ik)(i kik1i 1)(i 1),故( ii2ik)1(iki1i 1). 证明一个 K 一循环置换的阶是K. 证设(ii2ki)(i1 i 22 i 3ki i 1)i2(i1ki i 2)i3 设hk1(i 1ik1)( 12),( 13),(,1 n 这n1个循环置换ki 1iki ( i1ik)( i 1)k, i1k那么hi ( i11ikih)( i

11、1h证明S 的每一个元都可以写成中的假设干个乘积。证根据2 .6 .定理。S 的每一个元都可以写成假设干不相干循环置换的乘积而我们又能证明(ii2ik)( ii2)(ii3)(ii k)同时有( ii l( 1 i 1)( 1 il)( 1 i 1), 这样就得到所要证明的结论。则2ik1)(i1ni i 1)1(i 1i 1ii3k7 循环群1 证明 一个循环群一定是交换群。证G(a)am，anGmn 这里 dd(r,n)是 r 和 n 的最大公因子则amanamnanmana2 假设群的元 a 的阶是 n ，证明r a 的阶是5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14

12、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证因为(r,n)d所以rdr 1,ndn 1,而(r 1n 1)1a 生成一个阶 n 是的循环群G。证明r a 也生成 G ，假设(r,n)1( 这就是说 r 和 n 互素 ) 证 a生成一个阶 n 是的循环群 G ，可得生成元 a 的阶是 n ，这样利用上题即得所证，或者，由于(r,n)1有srtna1(ra)aasrtn(a rasratn)n即r故(a )(a )4 假定 G 是循环群，并且G 与 G 同态，证明 G 也是循环群。证 有 2。4。定理 1 知 G 也是群，设 G 且 ( a) a ( 是同态满射 ) b G 则存在k

13、b G 使 ( b) k b b a k 因而 G G故 ( a ) kk a 即 ( b) a因而 b a 即 ?= ? 5 假设 G 是无限阶的循环群，G 是任何循环群，证明 G 与 G 同态。证 设 G 是无限阶的循环群，G(a)a)as G(a s )a令)(a )a且(asa(s a( a)所以 G G设G(a k 1)而a的阶是 n 。nq 1k 1, n (q 1q 2q )k令：ah 1a当且只当h 10h 2k1n易 知 k 1是 G 到 G 的一个满射aah 2nq 2k20k2n设k 1k2nqk k则 qh 1k h 2 qn( k q1 1 q k 2 2)k k 1

14、1k k22那么ah1ah 2aaaaaaG G8 子群1找出 S3 的所有子群证 S3=( 1 ),( 12),( 13),(23),( 123),( 132) 的子群一定包含单位元1( )。1( ) S3 本身及只有单位元1( )都是子群包含1( )和一个 2 一循环的集合一定是子群因1( )( ij)( ij),(ij)2H =( 1 ),( 12) ，H3=(1 ),( 13) ，H4=1( ),(23 ) 亦为三个子群包含( 1 )及两个 3循环置换的集合是一个子群6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - (

15、 ijk)2( ijk)，(ijk)(ikj)( 1 )H =1( ),( 123),( 132) 是子群，S 有以上 6 个子群，今证只有这6 个子群，(ijk)不属于此集合包含( 1 )及两个或三个2循环置换的集合不是子群因(ij)(ik)假设一集合中3循环置换只有一个出现一定不是子群因( ijk)2(ikj)一个集合假设出现两个3循环置换及一个2循环置换不是子群因(ij)(ijk)(ik) 3循环置换及2循环置换都只有两个出现的集合不是子群因假设(ij),(ik)出现则(ij)(ijk0(jk)故S 有且只有 6 个子群。2.证明；群 G 的两个子群的交集也是G 的子群。证H1, H2是

16、 G 的两个子群，HH1H2H 显然非空a,bH则a ,bH1同时a ,bH2因H,1H2是子群，故ab1H1，同时ab1H2所以ab1H1H 2H故 H 是 G 的子群 3 取S 的子集S(12),( 123 )， S 生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的子群？证( 12 )21( )SSS从而SS 3( 123 ) 2( 132 )( 12)( 123)( 13 )( 12)(132)(23)S群的两个不同的子集会生成相同的子群S 1(123 )S 生成的子群为 (1 ),( 123 ),( 132) S 2(132 )S 生成的子群为 1( ),(123 ),(1

17、32 ) 4 证明，循环群的子群也是循环群。证 G = a 是循环群，H 是 G 的子群kqr0rk设akH，而0hk时akH。任意bH则bG因而bammamakqrakqar是循环群 . 因amH，akq( akq )所以H( ak)7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 找出模 12 的剩余类加群的所有子群证 剩余类加群是循环群故其子群是循环群. , 证明 , H 作成子群的充要条推出即可 . G =0,1 , 11 ( ) ( 1 )(5)(7 )(11 )G( ) H1(0 )( )(2)(10)即H2

18、0,2,4,6,8 ,10( ) (3 )(9 )即H30,3,69( ) (4 )(8)即H40,4,8 ( ) (6) 即H50,6有且只有以上6 个 子群 . H 是群 G 的一个非空子集, 并且 H 的每一个元的阶都有限件:a,bH推出abH证必要性显然充分性a,bH推出abH,(*)所以只证aHaH, a 的阶有限设为 mame即aam 1e所以a1am1由(*) 可知am 1H, 因而a1H这样 H 作成 G 的子群 . 9 子群的陪群1. 证明阶是素数的群一定是循环群p. 2. 证：设群 G 的阶是素数P , 则可找到aG而ae, 则 a的阶 p , 根据2.9 .定理 3 知n

19、p, 但 p 是素数 ,故 ,np那么0 a,1 a,a2ap1是 G 的 P 个不同元 ,所以恰是 P 的不同元 ,故n证明阶是m p 的群 ( p 是素数 )一定包含一个阶是p 的子群 . 3. 证：设阶是m p 的群为 G , m 是正整数 , 可取aG, 而ae, 根据2.9.定理 3, a的阶是n p 而nm, 进一步可得apn1的阶为p. H(apn1)是阶为 p 的 G 的子群 . 假定 a 和 b 是一个群 G 的两个元 ,并且abba,又假定 a的阶是 m ，8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - -

20、b 的阶 n 是并且(mn )1.证明 : ab 的阶是 mn证ame , bne(ab )mnramnbmne. 1设(ab ) rnmr(, m ,n )e .bmre(ab )mra mrb mr则故n.r(ab )nranrbnremnr(, m ,n )1故mr又(m ,n)1mn因此 ab 的阶是 mn . 4.假定 是一个群G 的元间的一个等价关系, 并且对于G 的任意三个元a ,x ,x来说,axaxxx证明与 G 的单位元 e等价的元所作成的集合为H证 由于 是等价关系 ,故有e e即eH. a,b,H,则ae ,be因而aeaa1,bebb1由题设可得ea1,eb1由对称律

21、及推移律得b1 a1再由题设得ab1e即ab1H这就证明了 H 是 G 的一个子群 . 5.我们直接下右陪集Ha 的定义如下 : Ha 刚好包含 G 的可以写成ha(hH)G 的每一个元属于而且只属于一个右陪集. 证任取aG则aeaHa这就是说 ,G 的每一个元确实属于一个右陪集假设xHa,xHb则xh 1a ,xh 2 b .2 . 则h 1ah 2b,因而ah 11 h 2b , bh 21h 1ahahh 11h 2 b ,hbhh 21h 1aHaHb,HbHa故 Ha=Hb 这就证明了 ,G 的每一个元只属于一个右陪集. 6. 假设我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4 的

22、群 , 它们都是交换群. 证设 G 是阶为 4 G 的元的阶只能是,12 ,4 .1假设 G 有一个元的阶为4 ,则 G 为循环群 ; 2. 假设 G 有一个元的阶为2 ,则除单位元外 ,其他二元的阶亦均未9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就同构的观点看阶为 存在 . 循环群4 的群 ,只有两个 ; 由下表看出这样的群确实0 0 1 2 3 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 非循环群e e a b c e a b c a a e c b b b c e a c c b

23、a e 循环群是交换群，由乘法表看出是交换群10 不变子群、商群1. 假定群 G 的不变子群N 的阶是 2 ,证明 ,G 的中心包含 N . 证设Ne ,n N 是不变子群 ,对于任意aG有ana1N假设ana1e则ana，ne矛盾ana1n则anna即 n 是中心元 . 又e是中心元显然 . 故 G 的中心包含 N . 2. 证明 ,两个不变子群的交集还是不变子群令N 1,ana1N2ana1N证NN 1N2,则 N 是 G 的子群 . nNnN 1及nN2，ana1故 N 是不变子群 . 3. 证明 :指数是 2 的子群一定是不变子群. 证设群 H 的指数是 2则 H 的右陪集为He,Ha

24、10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - H 的左陪集为eH ,aH4. HeeH由HeHaeHaH易知HaaH因此不管 x 是否属于 H 均有HxxH假定 H 是 G 的子群 , N 是 G 的不变子群 ,证明 HN 是 G 的子群。证(任取h 1 n 1 )(h 1 n 1h 2 n 2 )HN , h 2 n 2h 1 ( n 1 h 2 ) n 2HNh 1 ( h 2n 3)n 3( h 1hn )h 1 2)n 1n n 2 1 h1 HNNh , hn 1HN h 1N(hn )1h1 nHN.至于

25、HN 非空是显然的!HN 是 G 的子群 . 5. 列举证明 ,G 的不变子群 N 的不变子群 1 未必是 G 的不变子群 (取 G=!) 证 取 G S 4N 1 , 12 34 , 13 24 , 14 23N 1 1 , 14 23易知 N 是 G 的子群 , N 是 N 的子群我们说 N 是 G 的不变子群 ,这是因为 i 1 i 2 i 3 i 4 i 1 i 2 i 3 i 4 i 1 i 2 i 3 i 4i 1 i 2 i 3 i 4 i 1 i 2 i 3 i 4此即说明 ii 2 ana 1 N , a G , n N .因为 N 是阶为 4 的群 ,所以为交换群 ,故其子

26、群 N 是不变子群 . 但 N 却不是 G 的不变子群 ,原因是 : 134 14 23 34 13 24 N 11 16. 一个群 G 的可以写成 a b ab !形式的元叫做换位子 .证明 : i) 所有的有限个换位子的乘积作成的集合 C 是 G 的一个不变子群 ; ii)G/C 是交换群 ; iii) 假设 N 是 G 的一个不变子群 ,并且 G/N 是交换群 ,那么 N C证 i) e显然是有限个换位子的乘积 ; e e 1e 1ee 故 e C(有限个换位子的乘积 ) (有限个换位子的乘积 )= 有限个换位子的乘积 ,故 C 对 G 的乘法是闭的 . 由于 a 1 b 1 ab 1b

27、 1 a 1 ba 1 是换位子 ,故(有限个换位子的乘积 )的逆仍为 (有限个换位子的乘积 )即有 c 1 C , 故 C 是子群 ; 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - cC,gC由 gcg 1 C 有 gcg 1 c 1 c C即 gcg 1 C 所以 C 是不变子群 . (ii) x 、y G c Cx 1 y 1 xy c 就有 xy yxc故 xy yxC 1 因而 xyC yxC即 ( xC )( yC ) ( yC )( xC )所以 GN 是交换子群 ; (iii) 因 G/N 是交换子群就

28、有(xN)(yN)(yN)(xN), (xy)N(yx )NxyyxNxyyxnnN因此x1y1xyN又由于 N 是子群 ,所以 N 包含有限个换位子的乘积即NC. 11 同态与不变子群1 我们看一个集合A 到集合 A 的满射,证明 ,假设S是S的逆象 ,S一定是S的象 ;但假设 S 的 S 的象 , S 不一定是 S 的逆象 . 证 ) 在之下的象一定是S ; S,则 s有两个不同的象,故矛盾假设有 S 的元 s 在之下的象s又 S 的逆象是 S两者合起来 ,即得所证2. )设A,1,2,34 ,5 6,A,12 ,N 是 N 的逆象 .证明 : :112233425162令S,13在之下S

29、1但 S 的逆象是1 3, 5, 假定群 G 与群 G 同态 , N 是 G 的一个不变子群证设1:xx是 G 到 G 的同态满射 ; 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 规定2:xxN是 G 到GN 2 (的同态满射 . :xxN(x )x,x )xN)n则是 G 到G的同态满射 . 事实上 ,:yN yN(1(y)y,2(y)yN)则1(xy)1(x )1(y )xy2(xy)2(x )2(y )xNyN故:xyxNyN这就是说 ,G G现在证明同态满射N的核是 NxN则1(x)x由于 N 是 N 的逆象故1(x)x因而2(x)xNN另一方面 ,假设xN则xN( N 是 N 的逆象 ) 根据21.1 定理 2. GNGN3 假定 G 和 G 是两个有限循环群,它们的阶各是m 和 n 证明G与G同态 ,当而且只当m的时候证 GN令 N 为同态满射的核心,GN的阶一定整除 G 的阶但GNG故G 的阶一定整除 G 的阶 .即nm .nm .GG设G(a), rG1r(a )ir, 0rn )r 1n )令:i a( inqa在下ak2a(nq 1r 10,r