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1、精选学习资料-1 第一章基础学问1判定题：1.1设A与B都是非空集合,那么ABx xA 且 x B；1.2A B=B A 1.3只要f是A到A的一一映射,那么必有唯独的逆映射f1；1.4假如是 A 到A的一一映射,就a=a；1.5集合 A 到 B的可逆映射肯定是A到 B 的双射；1.6设A、B、D都是非空集合,就AB到D的每个映射都叫作二元运算；1.7在整数集 Z 上,定义“”：a b=aba,b Z,就“”是 Z的一个二元运算；1.8整数的整除关系是Z 的一个等价关系；2填空题：2.1假设 A=0,1,就 A A=_；2.2设 A=1,2,B=a,b,就 A B=_；2.3设=1,2,3B=
2、a,b,就 AB=_；2.4设 A=1,2,就 A A=_；2.5设集合A,1 0 1,；B,1 2,就有BA；2.6假如f是A与A间的一一映射,a是A的一个元,就f1f a；2.7设 A=a1,a2,a8,就 A 上不同的二元运算共有个；2.8设 A、B 是集合,|A|B|3,就共可定义个从 A到 B 的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射；2.9设 A 是 n 元集,B 是 m元集,那么A 到 B的映射共有 _个.2.10设 A=a,b,c,就 A到 A 的一一映射共有_个.2.11设 A=a,b,c,d,e,就 A 的一一变换共有_个.2.12集 合A的 元 间 的 关 系 叫 做 等
3、 价 关 系,如 果 适 合 以 下 三 个 条 件：_；名师归纳总结2.13设 A=a,b,c,那么 A的全部不同的等价关系的个数为_；第 1 页,共 23 页2.14设是集合A的元间的一个等价关系,它打算A的一个分类：a,b是两个等价类；就ab_；2.15设集合A有 一个分类,其中iA与A是A的两个类,假如AiAj,那么AiAj_；2.16设 A=1,2,3,4,5,6,规定 A的等价关系如下：a b2|a-b,那么A的全部不同的等价类是_；2.17设 M是实数域R 上的全体对称矩阵的集合,是M上的合同关系,就由给出M-精选学习资料-的全部不同的等价类的个数是_；2.18 在数域 F 上的
4、全部 n 阶方阵的集合MnF中,规定等价关系:AB秩A=秩B,就这个等价关系打算的等价类有_个；2.19设 M100F 是数域 F 上的全部 100 阶方阵的集合,在 M100F 中规定等价关系如下：AB秩A=秩B,就这个等价关系所打算的等价类共有_个；2.20假设 M=有理数域上的全部3 级方阵,A,BM,定义AB秩 A=秩 B,就由”确定的等价类有_个；3证明题：3.1设是 集 合A 到B 的 一 个 映 射,对 于a,bA,规 定 关 系“”：a ba b证明：“”是 A的一个等价关系3.23.3在复数集 C中规定关系“”：a b|a|b|证明：“”是 C的一个等价关系在 n 阶矩阵的集
5、合MnF中规定关系“”：A B|A|B|证明：“”是MnF的一个等价关系3.4 设“”是集合A 的一个关系,且满意：1对任意aA,有a a；2对任意a,b,cA,假设a b,a c,就有bc证明：“”是 A 的一个等价关系3.5设 G是一个群,在 G中规定关系“”：a b存在于gG,使得bg1ag证明：“”是 G的一个等价关系其次章群论1判定题：2.1 群的定义.1.1设非空集合G关于一个乘法运算满意以下四条：A G 对于这个乘法运算都是封闭的；Ba,b,cG,都有 abc=abc成立；C 存在 G,使得aG,都有 ea=a 成立；DaG,都存在 aG,使得 aa=e 成立；就 G关于这个乘法
6、运算构成一个群；1.2设非空集合G关于一个乘法运算满意以下四条：AG对于这个乘法运算是封闭的；名师归纳总结-第 2 页,共 23 页精选学习资料-Ba,b,cG,都有 abc=abc 成立；C存在 erG,使得aG,都有 aer=a 成立；11DaG,都存在 aG,使得 aa=er成立；就 G关于这个乘法运算构成一个群；1.3设 G是一个非空集合,在 G中定义了一个代数运算,称为乘法,假如 1G 对乘法运算是封闭的 2G 对乘法适合结合律3G 对乘法适合消去律,就 G构成群；1.4设 G是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,假如 1.G对乘法运算是封闭的;2.乘法适合结合律与消
7、去律,就 G对所给的乘法构成一个群；1.5实数集 R关于数的乘法成群；1.6假设 G是一个 n 阶群,aG,|a|表示 a 的阶,就|a|；1.7假设|a|=2,|b|=7,ab=ba,就|ab|=14；1.8设 Q 为有理数集,在Q 上定义二元运算“”,ab=a+b+aba,b Q,就 Q,构成一个群；2.2 变换群、置换群、循环群名师归纳总结1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群；第 3 页,共 23 页1.10一个集合 A 的全部变换作成一个变换群G.1.11集合 A 的全部的一一变换作成一个变换群；1.12素数阶群都是交换群；1.13 p p 为质数阶群G是循环群1.14素数阶的
8、群G肯定是循环群.1.15 3 次对称群S是循环群；1.16任意群都同构于一个变换群1.17有限群都同构于一个置换群；1.18任何一个有限群都与一个循环群同构；1.19在 5 次对称群S中,15234的阶是 6.1.20在 4 次对称群 S4中,12324的阶为 6；1.21在S中,12345的阶是 3；1.22任意有限群都与一个交换群同构；由于 22阶群是交换群,所以62阶群也为交换群；1.231.24 6 阶群是交换群；1.25 4 阶群肯定是交换群；1.26 4 阶群肯定是循环群；1.27循环群肯定是交换群；1.28设 G是群,a,b G,|a|=2,|b|=3,就|ab|=6；1.29
9、 14 阶交换群肯定是循环群；1.30假如循环群Ga中生成元a的阶是无限的,就G与整数加群同构；-精选学习资料-1.31有理数加群Q是循环群；1.32假设一个循环群G的生成元的个数为2,就 G为无限循环群；2.3 子群、不变子群；1.33假设 H 是群 G的一个非空子集,且a,bH都有 abH成立,就 H 是 G的一个子群；1.34假设 H 是群 G的一个非空有限子集,且a,bH都有 abH成立,就H是 G的一个子群；1.35循环群的子群也是循环群；1.36假如群G的子群H是循环群,那么G也是循环群；1.37一个阶是 11 的群只有两个子群；1.38有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶；1.
10、39设 G是一个 n 阶群,m|n,就 G中肯定有 m阶子群存在；1.40假设 G是 60 阶群,就 G有 14 阶子群；1.41设 G是 60 阶群,就 G有 40 阶子群；1.42阶为 100 的群肯定含25 阶元；1.43阶为 100 的群肯定含25 阶子群；1.44阶为 81 的群 G中,肯定含有3 阶元；11.45设 H是群 G的一个非空子集,就HGHHH；11.46设 H是群 G的一个非空子集,就HGHHH；11.47 群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;gHgH；1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等.1.49指数为 2 的子群不是不变子群；1
11、.50假设 NH,HG,就 NG；1.51假设 N是群 G的不变子群,N 是群 N的不变子群,就 N是 G的不变子群；1.52设 H G,KG,就 HK G；1.53假设 NN,HG那么 NHG；2.4 商群、群的同态定理；名师归纳总结1.54群之间的同态关系是等价关系；的阶相同；第 4 页,共 23 页1.55循环群的商群是循环群；1.56设 f：GG是群G到群G的同态满射,aG,就 a 与 f a1.57设 G是有限群,HG,就|GH|G|；|H|-精选学习资料-1.58假设是群 G 到G的同态满射,N 是 G 的一个不变子群,就N是G的不GG变子群,且NN；1.59设 f 是群 G到群G
12、的同态映射,HG,就fHG；1.60设 f 是群 G到群G的同态映射,HG 就 fHG；1.61假设是群 G到的一个同态满射,N 是 G的一个不变子群,就N 是的不变子群,且；1.62假设是群G 到的同态满射,是的一个不变子群,表示N的原象,就 是 G不变子群,且；11.63设 G和G都是群,GG,NG,N=N,就 N G,且G/NG/N；2填空题：2.1在群 G中,a,bG,a2=e,a1ba=b2,就|b|=_；2.2在交换群 G中,a,b G,|a|=8,|b|=3,就|a2b|=_；2.3设 a 是群 G的元,a 的阶为 6,就 a4的阶为 _；2.4设 a 是群 G中的一个 8 阶元
13、,就 a 的阶为 _；2.5设 G是交换群,a、bG,|a|=5,|b|=7,就|ab|=_；2.6群 AG中有 _个 1 阶元；2.7在 S5中,4 阶元的个数为 _；2.8在 S4中,3 阶元的个数为 _；82.9设G为群,aG,假设a12,就a_；2.10设群 G=e,a1,a2,an-1,运算为乘法,e 为 G的单位元,就a1 n=_.2.11假设 a,b 是交换群 G中的 5 阶元和 72阶元,就 ab 的阶为 _；2.12在整数加群Z 中,=_；2.13 10 阶交换群 G的全部子群的个数是_；2.14阶 数 最 小 的 非 交 换 群 的 阶 数 是 _；一 个 有 限 非 可
14、换 群 至 少 含 有_个元素.2.15任意群 G 肯定同构于G 的一个 _；_；2.16n 次对称群 Sn 的阶是 _；2.179-置换123456789分解为互不相交的循环之积是5439618272.18 n 阶有限群 G肯定 _置换群；名师归纳总结2.19 每一个有限群都与一个_群同构；1_；第 5 页,共 23 页2.2012345已知31254为S上的元素,就2.21给出一个 5-循环置换31425,那么1_；-精选学习资料-2.222.23在 4 次对称群 S4中,1342312-1=_.在 4 次对称群 S4中,24231_,43211_,132的阶为 _；2.24在 6 次对称
15、群 S 中,123536=_；12.25 2431=_；2.26设群 G的元 a 的阶是 n,就 ak的阶是 _.n2.27设群G中元素a的阶为m,假如ae,那么m与n存在整除关系为_；42.28已知群G中的元素a的阶等于 50,就a的阶等于 _；2.29设G a为循环群,那么1假设a的阶为无限,就G同构于_,2假设a的阶为 n,就G同构于 _；2.30假设群 G 是一个 6 阶循环群,就 G与模 6 剩余类同构 _同构；2.31设G=a是循环群,就G与模n的剩余类加群同构的充要条件是_；2.32 整数加群 Z,+的两个生成元是 _+1 和-1_；2.33整数加群 Z 有_个生成元.2.34整
16、数加群 Z,+的生成元是 _；2.35 无限循环群G=a 的生成元为 _a 的逆 _；2.36 无限循环群G中能作为 G的生成元的元素共有_ 个；2.37假设 G=a 是一个无限循环的乘法群,就 G的另一个生成元是_a 的逆元 _；2.38 剩余类加群Z 共有 _4_个元可作为它的生成元；2.39 16 阶循环群 G中能作为 G的生成元的元素的个数为_8_；2.40 模 10剩余类加群 Z,+中能作为 Z 的生成元的元素有 _；2.41设G=a是 12 阶循环群,就G的生成元是 _；2.42设G是一个pm阶群,其中p是一个素数,m是一个正整数,就G的真子群的一切可能的阶数是_；2.43设 G
17、是 p 阶群,p 是素数,就 G 的生成元有 _个.2.44 剩余类加群Z12有_个生成元.2.45设 H是群 G的非空子集,就 H是 G的子群的充要条件是_；2.462.47设 G a是 6 阶循环群,就G的子群有 _；设群 G是 24 阶群,G中元素 a 的阶是 6,就元素 a2的阶为 _,子群 H=的在 G中的指数是 _；2.48设A1,A为群G的子群,就A1A2是群G的子群的充分必要条件为_；2.49设H是群G的子群,a,bG,就HaHb_；2.50在 3 次对称群 S3中,H 1,12 是 S3的一个子群,就H 23 _-精选学习资料-2.51在 3 次对称群 S3中,H=1,23,
18、就 S3对 H的右陪集分解式是_；2.52S的子群H1,123,132的一切右陪集 _；32.53 G=a 是 21 阶群,H a就 G:H=_；2.54凯莱定理说：任一个子群都同一个_ 同构；2.55凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_同构；2.56设 G 是群,N 是 G 的非空子集,就N G 的充要条件是 _；2.576 阶循环群有 _个子群.2.58设 G是由 a 生成的 30 阶循环群,H=,就 G/H=_；3G2.59设 G a 是 10 阶群,Ha,就H_；2.60设：AA,SA,就1S _；2.61 16 阶循环群 G中能作为 G的生成元的元素的个数为_；2.622.632.
19、642.652.662.672.682.692.702.712.722.73设：AA,aA,就1 a_；模 10 的剩余类加群Z10的生成元为 _；设 a 是群 G中的一个 6 阶元,就15a的阶为 _；一个 6 阶的非交换群G中的非单位元的阶肯定是_；剩余类加群Z12,中能作为它的生成元的元素有_；设 G是群,a,b G,|a|=12,就|ba10b-1|=_；设 G是一个 20 阶的交换群,a G,|a|=2,就 G/_；在整数加群Z 中,HZ,H1,就H_；在整数加群Z 中,H4就G：H=_；在 12 阶循环群 G中,G=,H=,就GH=_；在 4 次对称群 S4中,S=123,就=_；
20、在 S5中,=2351324,就=_；2.74 21 阶群 G中,7 阶子群的个数为_；名师归纳总结2.75设 NG,商群GN中的单位元是 _；第 7 页,共 23 页2.76在 Z24中,HZ24,H=,Z24HZ8,就a=_；2.77在整数加群Z 中,H=Z,ZHZ3就 a=_；2.78设 G1,G2分别为 m,n 阶循环群,就G1G2的充要条件是 _；2.79 Z4到 Z2的全部同态映射是_；-精选学习资料-2.80在整数加群Z 中,+=_；a2.81在同构的意义下,6 阶群有 _种；2.82设 G是模 4 的剩余类加群,那么AutG=_；2.83设 G是正有理数作成的乘法群,aG,a=
21、2npp,q 为奇数,n 为整数,令：q,n是 G到 Z,+的同态映射,就Ker=_；2.84设 G,H 是两个阶互素的有限群,就G到 H的同态映射f 为_；2.85在环 R=4Z=4k|k Z中,8=_；2.86 在整数加群Z 中,S=22,32就=_；2.87设群G中元素a的阶为m,假如ane,那么m与n存在整除关系为_；2.88设G是一个n阶交换群,a是G的一个mmn阶元,就商群Ga的阶等于_；2.897、一个非正方形的长方形S 的对称群是；13、平面上的正方形的对称群是_；72.设 a,b是群 G的两个元素,满意aba=ba2b,a3=1,b7=1,就 b=_；3证明题：3.1令GA
22、A 为n 阶正交矩阵a证明,G 对于矩阵的一般乘法作在一个群作3.2bab4,a,bG证明：G对运算设 G是整数集,规定运算：成一个群3.3方程在复数范畴内的三个根关于数的乘法构成群.关于矩阵3.4设证明：的乘法构成群.3.5全体可逆的阶方阵的集合0关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵,每个元素 即可逆矩阵 的逆元是的逆矩阵.3.6设R为实数集,a bR a0,令f,:RR xaxb,xR,将R的,试证明：对于变换一般的乘法,全部这样的变换构成一个集合Gf,a bR aG作成一个群；名师归纳总结3.7证明：假设群G 的每个元素都满意方程x2e,就 G 是一个 Abel 群交
23、换群第 8 页,共 23 页-精选学习资料-3.8设 G 是一个群,证明：G 是交换群的充分必要条件是,对任意a,bG,都有ab2a2b23.9证明：在群G 中,a1与a有相同的阶3.10证明：在群G 中,a与bab1有相同的阶3.11证明：在 n 阶群 G 中每个元都满意xn=e.3.12设为群.证明:与 b 有相同的阶.3.13证明：在群G 中,ab 与 ba 有相同的阶3.14设为群.证明:,有相同的阶.3.15设为到的同构映射,.证明:与有相同的阶.3.16设为群,的阶为,.证明:.3.17设,的阶为,证明的阶是,其中；3.18证明:循环群是交换群.3.19证明:有限群中阶数大于2 的
24、元的个数必是偶数.3.20证明:任意偶数阶群必含有阶为2 的元素.3.21设为素数.证明:中每一个非零元都是生成元.3.22设 G是一个群,aG假设 a 的阶是正整数n证明：对mZ,amen|m3.23设 G是一个交换群,m是固定的正整数令H aG|ame 证明：H是 G的一个子群名师归纳总结C3.24 假定和是一个群 G 的两个元,并且,又假定的阶是,的阶是,第 9 页,共 23 页,证明：的阶是；3.25设H1,H2是群 G 的子群证明：H1H2也是 G 的一个子群3.26设 G是一个群,令CaG|axxa,xG证明：C是 G的一个子群3.27设G是一个群,S是G的一个非空子集令SaG|a
25、xxa,xS证明：CS是 G 的一个子群3.28假设群 G 的阶是素数p,就 G 是一个循环群,试证之3.29证明：循环群的子群也是循环群-精选学习资料-3.30假设群 G 与群G同态,且 G 是循环群,证明：G也是循环群hk3.31证明：阶为pm的群 p 是素数肯定包含有一个阶为p 的子群,都有3.32设 H,K 是群 G 的不变子群,证明：HK 也是 G 的不变子群；3.33设 H,K 是群 G 的不变子群,且HKe 证明：hH,kKkhC 是 G3.34设 H,K 是群 G 的不变子群,证明：HK也是 G 的不变子群；3.35设 H 是群 G 的子群,N 是 G 的不变子群；证明：HN
26、是 G 的子群设 G 是一个 n 阶有限群证明：G 的每一个元素都满意方程xne3.36设 G 是一个群,CaG|axxa,xG 是 G 的中心,证明：3.37的一个不变子群3.38设 C 是群G 的中心,即CaG|axxa,xG且商群GC是循环群证明：G 交换群3.39假设 G 是循环群,H 是 G 的一个子群证明：GH也是循环群3.40设 G 是一个群,令:xx1,xG证明：是 G 到 G 的同构映射的充分必要条件是：G 是一个交换群3.41设 H是群 G的子群,令 NGH=x|xG,xH=Hx,证明 NGH 是 G的子群GT3.42设 G是群,令 C=x|xG,y G,xy=yx,证明
27、C是 G的正规子群；3.43设 G=a 是一无限循环群,证明G的生成元只有两个；3.44设 G是交换群,证明 G中一切有限阶元素组成的集合T 是 G的一个子群,且除单位元之外不含有限阶元素；3.45取定群 G 的元 u,在 G中定义新的“o”：aob=au1b.a.bG.证明,o是群3.46证明循环群的子群也是循环群；e的解,证明G是一3.47设 p 是一个素数,证明2p 阶群 G中肯定有一个p 阶子群 N；3.48假设 G是一个群,e 是 G的单位元,G 中任何元都是方程x2个交换群；名师归纳总结3.49假设 G是一个循环群,N 是 G的一个子群,证明也是一个循环群.第 10 页,共 23
28、页3.50证明阶是素数的群肯定是循环群；3.51设 G是一个 43 阶的有限群,证明 G的子群只有单位元群及G本身；3.52证明：群 G为交换群f:xx1 xG为 G到 G的一个同构映射；-精选学习资料-3.53设 G是一个 1000 阶的交换群,a 是 G的一个 100 阶元,证明GaZ10；名师归纳总结3.54设 G是群,f：GG,aa2,aG 证明 f 是群 G的自同态G是交换群；第 11 页,共 23 页3.55设 G=a,b|a,b|R,a0,在 G上定义“”：a,b c,d ac,adb证明 G,构成一个群；3.56设 G是有限交换群,f：GG,fg=gk gG证明 fAutGk,
29、|G|=1；3.57设 G是 100 阶的有限交换群,f:GG,fg=g49gG,证明 fAutG；3.58设 AG,BG假如存在 a,bG,使得 Aa=Bb,就 A=B；3.59设 G是交换群,m是固定的整数,令H=a|aG,am=e,证明 HG；3.60设 HG,令 CGH=g|g G,hH,gh=hg,证明 CGH G；3.61设 G是非空有限集合,“”是 G的一个二元运算,“”适合结合律及左、右消去律,证明：G,构成一个群,当G是无限集时呢？3.62设 G是 2000 阶的交换群,HG,|H|=200,证明：GH是一个循环群；3.63证明：无限循环群的生成元的个数只有两个；反之,一个循
30、环群G的生成元只有两个,就 G是否肯定同构于Z？3.64设 G是一个循环群,|G|3,4,G 的生成元的个数为2,证明 GZ；3.65设 G是有限群,HG,aG,证明存在最小正整数mm,使 aH,且 m|a；3.66设 G是奇阶群,就对任意gG,存在唯独元xG,使 g=x2；3.67证明：整数加群Z 与偶数加群 2Z 同构；3.68设 HG,g 是 G的一个固定元素,gHg-1=ghg-1|hH1证明:gHg-1G；2证明:HgHg1；3.69设 G=ab2|a,bQ,Ha2 b|a,bQ,G对复数的加法构成群,Hba对矩阵的加法也构成群,证明：GH；3.70设 H是群 G的非空子集,且 H中
31、元的阶都有限,证明：HGH2H；3.71设 NG,|G/N|=10,gG,|g|=12,证明:g2N；3.72设 G是群,a,bG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,=e.证明：|ab|=m,nm,n是 m,n 的最小公倍数 ；3.73设是一个n 次置换,集合X=1,2,3,n,在 X 中,规定关系“”为klrZ,使rk=l.证明：“”是 X 上的一个等价关系；3.74设 K=1,1234,1324,1423证明：KS4；-精选学习资料-3.75设 G是群,HG,规定关系“”a bab1H,a,bG证明：是 G的一个等价关系,且a 所在的等价类 a=Ha；3.76证明：15 阶群至多含有一个
32、5 阶子群；3.77设 HG,假设 H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,证明HG；20043.78设 NG,G:N=2004,证明：对xG,恒有xN；3.79设 NG,G:N=4,证明：存在MG,且G:M=2；3.80设 H,NG,HNe,aH,bN|,a|2|,b|3证明：|ab|=6；3.81设 HG,证明：HGa,b G,假如由abHbaH；3.82设 k|m,证明:ZmkZk；3.83群 G的非平凡子群N称为 G的微小子群,假如不存在子群B 使得eBN,证明：整数加群Z 没有微小子群；3.84假如GC G 是循环群,证明：G是交换群其中CG是群 G的中心；3.85证明：6 阶交换群
33、是循环群；举例说明6 阶群不肯定是循环群；3.86证明：在一个有单位元的环R中,全体可逆元组成的集合对R的乘法构成一个群；3.87设 H,KG就对任意 a,bG,就 HaKb=或 HaKb 是 HK 的一个右陪集,该结果能否推广？3.88设是群.证明:假如对任意的,有,就是交换群.3.89证明:在群中,假如,就.3.90设为加群.证明:任给,有.3.91证明:一个子群的左陪集的全部元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集；3.92设群的子群在中的指数为2.证明:,.3.93设为群,是的子群.证明:中每个元素属于且属于的一个左陪集.3.94设是群,是的子群,.就是的子群.名师归纳总结3.95设是群,
34、是的非空子集.证明:中与中每个元素都可交换的元素全体,第 12 页,共 23 页3.96设是的子群.证明:是的子群.3.97设是 交 换 群.是 一 个 固 定 的 正 整 数.令-精选学习资料-.证明:与都是的子群.3.98证明:3.99设是群,证明:的中心是的正规子群.3.100设是群,证明:.3.101设是群,和分别是的子群和正规子群.证明:1是的正规子群;2是的子群.3.102设为的中心.证明:假如是循环群,就是交换群.3.103设为群,对任意的,称为的换位子,的全部换位子生成的子群叫做的换位子群,记作.证明:1是的正规子群;2 商群是交换群;3 假设,且为交换群,就是的子群.注:是由
35、全部换位子的可能乘积所组成的集合.3.104设与为 群,为到的 同 态 映 射.证 明:当且仅当对任意的,有.3.105设与为 群,为到的 同 态 映 射.,.证明:3.106设为到的 同 态 映 射,.为的 子 群.证 明:.名师归纳总结3.107设与分别为阶与阶循环群.证明:当且仅当.,第 13 页,共 23 页3.108设都是群的正规子群.证明:3.109设群在集合上的作用是传递的.证明：假如是的正规子群,就在的作用下的每个轨道有同样多的元素.3.110设群作用在集合上,.证明：假如存在,使得就.3.111设为大于 1 的正整数.令证明:关于剩余类的乘法构成一个交换群.-精选学习资料-3
36、.112设群G与群G同态,N是G的一个不变子群,N是N的逆象,证明G NG N；3.113证明：设G是群,假如对任意的xG,有x2e,就G是交换群；3.114证明：任何方阵都可唯独地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和；3.115设 a、b 是群 G 的元素,a 的阶为 2,b 的阶为 3,且 ab=ba,证明 ab 的阶是 6.3.116GS,H1,12；那么 H 是S3的一个子群；3.117一个群 G 的一个不空有限子集H 作成 G 的一个子群的充分而且必要条件是：a bHabH;3.118设是全部阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.是全部行列式等于1 的阶矩阵所组成的集合.就是的子群.3
37、.119群的任何两个子群的交集也是的子群.3.120设为的子群.就在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.3.121有限群的任一元素的阶都是群的阶数的因子.3.122设与为群,是与的同构映射,就1 假如为的单位元,就为的单位元;2 任给,为的逆元,即3.123假如是交换群,就的每个子群都是的正规子群.3.124设,就.3.125群的任何两个正规子群的交仍是的正规子群.3.126设与是群,是到的同态映射.1 假如是的单位元,就是的 单 位 元;2 对 于任 意 的,是在中 的逆 元.即3.127设与是群,是到的满同态.假如是的正规子群,就是的正规子群.3.128设是循环群,G 与同态,证明是循环群；
38、3.129设 G是群,aG,令 CGa=x|xG,xa=ax,证明：CGa G3.130设 G G,HG,H=x|x G,f xH；证明：H/KerfH.3.131设 G是群,u 是 G的一个固定元,定义“o”：aob=a u2b a,bG,证明 G,o构成一个群.名师归纳总结3.132设 G是群,HG；令 NGH=x|x G,xH=Hx.CGH=x|x G,第 14 页,共 23 页h H,hx=xh.证明：1NGH G 2CGH NGH-精选学习资料-3.133设 G与G是两个群,f：G G,K=Kerf,HG,令 H=x|x G,fxH,证明：HG且 H/K H.abba,又设a的阶am
39、,b的阶3.134设a和b是一个群G的两个元且bn,并且m,n 1,证明：ab的阶abmn；a,b:RR,xaxb,xR,令f3.135设R为实数集,a,bR,a0将R的全部这样的变换构成一个集合Gf a,ba,b R,a0,试证明：对于变换一般的乘法,G作成一个群；3.136设 G=MnQ=有理数域上全部n 阶可逆矩阵 ,H=A|A G,|A|=1证明：H是 G的不变子群3.137整环 Z 中的单位有 _；RI是一个域当3.138环 Z6的全部零因子是_；3.139假设R是一个有单位元的交换环,I是R的一个抱负,那么且仅当I是；3.140整数环 Z 的抱负有 _个.Z7x中,3.141整数环
40、 Z 的商域是 _.3.142除环的抱负共有_个；3.143剩余类环 Z5的零因子个数等于_.3.144在整数环 Z 中,由 2,3生成的抱负是_.3.145剩余类环 Z7的可逆元有 _个.3.146设 Z11是整数模 11 的剩余类环,就Z11的特点是 _.3.147剩余类环 Zn是域n 是_.3.148设 Z7=0,1,2,3,4,5,6 是整数模7 的剩余类环,在5x-43x+2=_.名师归纳总结3.149在整数环中,23=_；第 15 页,共 23 页3.150剩余类环 Z6的子环 S=0,2,4,就 S 的单位元是 _.3.15124中的全部可逆元是：_.模 8 的剩余类环 Z8的子
41、环有 _个.3.1523.153除环的抱负共有_个.3.154剩余类环 Z6 的子环 S=0,2,4,就 S 的单位元是 _.3.155在2,i+3,2,e-3 中,_是有理数域Q 上的代数元.3.1562+3在 Q 上的微小多项式是_.-精选学习资料-3.157一个有单位元的无零因子_ 称为整环；3.158设有限域F的阶为 81,就的特点p_；3.159一个无零因子环的特点指的是_；3.160含pp为素数个元的域F的特点是 _；3.161设 Z8 是模 8 的剩余类环,就Z8 中的零因子是 _3.162剩余类环 Z15 的可逆元有 _个.3.163设 Zx是整系数多项式环,就Z x的主抱负
42、x2 _2 i13.164设 Q是有理数域,就Qi1=_.3.16523 在有理数域Q上的微小多项式是_3.166假设I是有单位元的环R的由a生成的主抱负,那么I中的元素可以表达为_；3.167假设R是一个有单位元的交换环,I是R的一个抱负,那么RI是一个域当且仅当I是_；3.168假设域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域,假如_；3.169模 12 的剩余类环Z12的可逆元是 _；3.170实数域 R上的 n 阶矩阵环 MnR的抱负是 _；3.171设 R=3Z=3k|k Z,I=3,那么 R/I=_；3.172假设在多项式环Zx 中,a Z,假如 a,x是 Zx 的一个主抱负,那么a=_；
43、名师归纳总结3.173设Q2ab 2|a,bQ,就Aut Q2_.第 16 页,共 23 页3.174商环Zi1i的特点是 _；3.175商环Zx,5 x的特点是 _；3.176在整数环 Z 中,包含 12的极大抱负是_；3.177在整数环 Z 中,包含 30的素抱负是 _.3.178在模 30 的剩余类环Z30中,包含 15 的极大抱负是_.3.179在整数环 Z 中,I=3,J=5,就 I J的生成元是 _；3.180Z6的全部商环是 _.3.181模 12 的剩余类环Z12的零因子是 _；3.182在模 m的剩余类环Z 中,Zm=x|x Zm,x o 假设 Zm对 Zm乘法构成一个群,就
44、m _.3.183在整数环 Z 中,aZ,a|2004,a 是 Z 的素抱负,就a_；3.184模 8 的剩余类环 Z8,.中关于乘法的全部可逆元的个数为_；-精选学习资料-3.185设 p 与 q 是 环 Z,+,的 主 理 想,其中p,q 是 不 同 的 质 数,就pq=_；3.186模 12 的剩余类环Z,+,中关于乘法运算的全部的可逆元是_；3.187设 N是环 R的非空子集,就 N是 R的右抱负的充要条件是_；3.188环 Z10,关于乘法的全部可逆元为_；3.189假设 R是交换环,aR就主抱负 a=_；3.190设Z6是 模6 的 剩 余 类 环,在Z6x中,2x2-43x-1=
45、_；3.191假设模 n 的剩余类 Zn是一个无零因子环,就 n_；3.192假设R=2Z 是全部偶数对一般数的加法和乘法构成的环,就 R 的商域为_；3.193设 Z4是模 4 的剩余类环,就 Z4x 中的多项式x2在 Z4上有 _ 个根；3.194设 R为整环,a,b,R,b|a,就 b_a.3.195环 Zn,+,是域,当且仅当n 为 _数；3.196设 R是交换环,就主抱负a=_；3.197在整数环中,全部包含30 的极大抱负为 _；3.1983.199证明：模 m的剩余类环Zm的每一个抱负都是主抱负；Z1验证 R是矩阵3.200设Raba,b,cZ,R0 xxoco0环 Z2 2的一
46、个子环；2证明 I 是 R的一个抱负；3.201证明：模 m的剩余类环Zm的每个子环都是抱负.3.2023.203证明数域 F=a b7|a,bQ的自同构群是一个2 阶循环群.3.204在多项式环Zx 中,证明：13,x=3a0a1x anxn|aiZ.2Zx/3,x 含 3 个元素.3.205在整数环Z 中,a,bZ,证明 a,b是 Z 的极大抱负的充要条件是a,b的最大公因数是一个素数；ab02 x3.206设Ra,b,cZ,Rx Z 1 验证 R对矩oco0阵的加法和乘法构成环；2证明 I 是 R的一个抱负；3.207在整数环 Z 中,p,q是不同的素数,证明 pq=pq,p,q=Z；3
47、.208假设 Q是有理数域,证明 x 是 Qx 的极大抱负；m3.209设Rm,n Z,n,p 1.p 是质数证明 R,+,是整环+,是数的加n法与乘法名师归纳总结3.210设 A 是实数域R 上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环；证明第 17 页,共 23 页-精选学习资料-a1ooNb1oo a1,b1,c1R是 A 的一个左抱负；,证明 a,c1oo3.211证明一个主抱负环I 的每一非零极大抱负都是一个素元所生成的；3.212证明 3,x是 Zx 的一个极大抱负；3.213证明环 R的两个抱负的交集仍是R的一个抱负；3.214设 I 是一个主抱负环,a,bI,d是 a 是与 b
48、的一个最大公因子b=d；Z x3.215在整数环 Z 中,证明 Zp 是域p 为质数 素数 ；余类环3.216在多项式环ZX 中,证明 5,X 不是主抱负；3.217设 R是一有单位元的交换环,且R只有平凡抱负,证明R是域；3.218设 Z 是整数环,x是 Z 上的未定元,证明 Zx 的生成抱负；3.2193,x=3a0a1xanx|aiZ0,nZ,并且剩,3x=0,1,2；但F22不证明 5,x 不是 Zx 的主抱负；3.2203.221证明整数环Z 到自身的全部同态映射为零同态和恒等同态；3.222设F22是有理数域上的二阶方阵环,证明F22只有零抱负和单位抱负,是一个除环；3.2233.
49、224设 R为环,假如每个元素aR都满意 a2=a,证明 R为交换环；环 R中元素 a 称作幂零的,是指存在正整数m,使得 am=0,证明：当 R为交换环时,两个幂零元素之和,两个幂零元素之积都为幂零元素；f13.225设 R 和_1R0R,f是 R 到_R都是含单位元的环,R的满同态,证明：1R=1；2假如 a 是 R的单位,就fa是_R的单位；3.226设A00|x,yR证明：A 是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位xy元的环；3.227证明：一个具有素数个元素的环是交换环；r|ab=1R就 ba=1RxX证3.228设 R是一个有单位元1R的无零因子环,证明：假如3.229设 R是交换环
50、,X是 R的非空子集,令Ann X rR,rx0,明：AnnX 是 R的抱负；名师归纳总结I:J3.230设 R是环,I,J 是 R 的两个抱负,令I:Jx R|xJ,JxI,证明：第 18 页,共 23 页是 R的抱负；I是域；3.231设 Z2ab2|a,bZ,I 2证明：Z 23.232设 R是有单位元的交换环,I 是 R的真抱负,证明：假如R的每个不在I 中的-精选学习资料-元素都可逆,就I 是 R的唯独的极大抱负；3.233在 Zx 中,证明 7,x不是 Zx 的一个主抱负；IJ；3.234设 I 和 J 是环 R的抱负,且满意 I+J=R,I J=0证明：R3.235设 f:RR为