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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心数列和数列的练习一、数列及其相关概念1 数列 ：根据肯定次序排列起来的一列数叫做数列,它可以有限,也可以无限2数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项（首项）,第 2 项, ,第 n 项数列的一般形式可以写成：a 1, , , , , 或简记为a n,其中a 是数列的第n 项,又称为数列的通项3数列的通项公式假如数列a n的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个函数式a nf n 来表示,就称这个公式为这个数列的通项公式4数列的分类 数列的分类方式一般有三种：（ 1）项数有限的数列称为有
2、穷数列,项数无限的数列称为无穷数列；（ 2）从第 2 项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第 2 项起,每一项都比它的前一项小的数列 称为递减数列；这两种数列统称为单调数列各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列,又不是常 数列的,称为摇摆数列,即有些项小于它的前一项,有些项大于它的前一项；（ 3）假如数列的任一项的肯定值都小于某个正数,就称此数列为有界数列,否就称为无界数列5数列的表示方法数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集1 2 3,L,n ）的一类特别的函数f n ,数列的通项公式也就是函数的解析式数列的表示方法通常有三种：（ 1）通项公式法（对应函数的解析式法）；（
3、 2）图象法（无限多个或有限多个孤立的点,取决于是无穷数列,仍是有穷数列）；（ 3）列表法6数列和函数、集合的区分（ 1）数列和函数：数列是以正整数集* N 或它的有限子集 1 2 3 4, , , ,n为定义域的函数a nf n （ 2）数列和集合的区分和联系：集合是没有次序的,数列是有次序的 7数列的递推公式假如已知数列的第一项,且从其次项开头的任一项1a 与它的前一项a n1间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫这个数列的递推公式例如,a 1,a na n12n2给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列,所以递推公式也是给出数列的一种方法,即递推法8 数列的前 n 项和a 1a
4、 2a 3Lan1n2数列an的前 n 项和定义为：S n数列的前 n 项和构成了一个新的数列S n,且a nS nS nS n1Cxiaojun名师归纳总结 - 1 - 第 1 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心一、数列的基本概念1.（ 2022 年东城一模7） 已知数列 an的通项公式a nlog3nn1nN*,设其前 n 项和为S ,就使S n4成2.立的最小自然数n 等于（）C 812,2D 80,就a 等于（）A 83B 82（ 2022 年海淀二模5）已知正项数列an中,a 11,a2a n2an2an2
5、n2113.数列A.16 a 1.8 a.22N.4 等于（）a n满意1,an1 n,就a 20222,n3n14.A 1 3B 3a nC12D-3 p q 都有3（ 2022 年东城区期末理11）在数列 中,如a 1,且对任意的正整数5.apqapaq,就8a 的值为N*,且 a n是递增数（ 2022 年东城二模6）已知函数f x 36a x3,x7.7,如数列 a n满意anf n nax,x6.列,就实数a 的取值范畴是（）yf x 成立 数列 a n满A 9 4,3B9 4,3C（ 2,3）D（1,3）已知f x 是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意 的 x,yR,都有f x
6、 y xf 足a nfn 2 nN*,且a 12就数列的通项公式a n_ Cxiaojun名师归纳总结 - 2 - 第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心二、数列的递推公式7.（ 2006 年重庆 12）在数列an中,如a 11,a n12 an3n1,就该数列的通项a na n8.数列 an中,a 11,对全部的n2,都有a 1a 2a 3Lann2,求数列 a n的通项公式9.如数列a n中,a 13,且a n+1a2（ n 是正整数）,就数列的通项公式时ann10.已知数列a n,满意a 11,ana 1+2
7、a 2+3a 3+L（n1 a n1 n2,就a n的通项11.a n1（n1na的通项公式n2求满意以下条件的数列（1）已知a n满意a n+1a n+4 n11,a 11 2,求a n2（2）已知a n满意a n+1n 3a ,且a 13,求a nCxiaojun名师归纳总结 - 3 - 第 3 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心二、a 与S 的关系a n的前 n 项和为S ,如a 11,an13S n1,就a6（）12.（ 2022 年四川 9）数列13.A 3 44B3 44+1 C44D44+1 设数列a n
8、的前 n 项和为S a 11,a n11S n1,就a =_ 314.已知以下个数列an的前 n 项和S 的公式,求an的通项公式（1）S n=（-1nn；（2）S n=3n2；（3）S n=2 n a nn2,a 11an的通项公式15.已知以下个数列an的前 n 项和S 的公式,求（1）S n=22 n3 n1（2）S n=10nn2Cxiaojun名师归纳总结 - 4 - 第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心等差数列二、等差数列1等差数列的定义：一般地,假如一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的差都等于
9、同一个常数 ,那么这个数列就叫等差数列 ,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示用递推公式表示为 an an 1 = d n 2或 an + 1 an = d n N*2等差数列的通项公式：an = a1 + n 1d = am + n md3等差中项的概念：定义：假如a,A,b 成等差数列,那么2A 叫做 a 与 b 的等差中项 其中Aa2b说明： a,A, b 成等差数列Aab4等差数列的前n 和公式：S nn a 12a nna 1n n1d 25等差数列的性质：1 在等差数列 an中,从第 2 项起,每哪一项它相邻两项的等差中项2 在等差数列 an中,相隔等距离的项组成的
10、数列是等差数列如： a1,a3,a5,a7, ； a3,a8,a13,a18, 3 在等差数列 an中,对任意m,nN*,an = am + nmd,dana mnmnm4 在等差数列 an中,如 m + n = s + t m,n,s,t 5 等差数列 an 中,公差为 d,N* ,就 am + an = as + at如 d 0,就 an 是递增数列；如d = 0,就 an 是常数列；如d 0,d 0 时, Sn 有最大值； a1 0 时, Sn 有最小值2 Sn 最值的求法： 如已知 Sn,可用二次函数最值的求法nN*；an100或an100 如已知 an,就 Sn 取最值时 n 的值
11、nN* 可如下确定ananCxiaojun名师归纳总结 - 5 - 第 5 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心1.1 求等差数列8,5,2, 的第 20 项；2 401 是不是等差数列 5, 9, 13, 的项？假如是,是第几项？解： 1 由 a1 = 8,d = 5 8 = 3,n = 20,得 a20 = 8 + 20 1 3 = 492 由 a1 = 5, d = 9 5 = 4,得数列通项公式为：an = 5 4n 1,由题意可知,此题是要回答是否存在正整数 n,使得 401 = 5 4n 1成立,解之得 n
12、= 100,即 401 是这个数列的第 100 项2.2022 湖南理 12设 Sn 是等差数列 an nN* ,的前 n 项和,且 a1 =1,a4 = 7,就 S5 = 【答案】 25 3.【解析】由a1 =1,a4 = 7 可得 a1 =1,d = 2,a5 = 9,所以S 51952522022 辽宁理 6在等差数列 an 中,已知 a4 + a8 = 16,就该数列前11 项和 S11 = B 4.A58 B88 C143 D176 【解析】在等差数列中,a1 + a11 = a4 + a8 = 16,S 1111a 1a 1188,答案为 B22022 江西理 12 设数列 an
13、, bn 都是等差数列,如a1 + b1 = 7, a3 + b3 = 21,就 a5 + b5 = 【答案】 35 【考点】此题考查等差数列的概念和运算考查等差中项的性质及整体代换的数学思想【解析】 解法一 由于数列 an , bn都是等差数列,所以数列an + bn 也是等差数列故由等差中项的性质,得 a5 + b5 + a1 + b1 = 2a3 + b3,即 a5 + b5 + 7 = 2 21,解得 a5 + b5 = 35解法二 设数列 an, bn的公差分别为 d1,d2,由于 a3 + b3 = a1 + 2d1 + b1 + 2d2 = a1 + b1 + 2 d1 + d2
14、 = 7 + 2 d1 + d2 = 21,所以 d1 + d2 = 7所以 a5 + b5 = a3 + b3 + 2 d1 + d2 = 355.等差数列 an的前 n 项和记为 Sn,如 a2 + a4 + a15 的值是一个确定的常数,就数列 Sn中也为常数的项是 C DS15AS7BS8CS13【解析】设a2 + a4 + a15 = p常数 , 3a1 + 18d = p,即 a7 =1 p S13 = 313a1a 13= 13a7 =13 p32Cxiaojun名师归纳总结 - 6 - 第 6 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
15、- - 探究者研发学习中心6.2022 浙江理 7设 Sn 是公差为 d d 0的无穷等差数列 an 的前 n 项和,就以下命题错误选项 C A如 d 0,就数列 Sn 有最大项B如数列 Sn 有最大项,就d 0 不恒成C如数列 Sn 是递增数列,就对任意nN* ,均有 Sn 0 D如对任意nN*,均有 Sn 0,就数列 Sn 是递增数列【解析】选项C 明显是错的,举出反例： 1,1,3,5,7, 满意数列立应选 CCxiaojun名师归纳总结 - 7 - 第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心7.把正整数按以下方
16、法分组：1,2,3,4,5,6, ,其中每组都比它的前一组多一个数,设Sn 表示第 n 组中全部各数的和,那么S21等于 B 1,所以先求前A1113 B4641 C5082 D53361 【分析】第21 组共有 21 个数,构成一个等差数列,公差为1,首项比第20 组的最终一个数大20 组一共有多少个数解：由于第n 组有 n 个数,所以前20 组一共有 1 + 2 + 3 + + 20 = 210个数,于是第21 组的第一个数为211,这组一共有21 个数, S21 = 21 211 +21 20 1 = 4641,应选 B2【 说明 】仔细分析条件,转化为数列的基本问题8.已知数列 an的
17、前 n 项和 Sn = 10nn2 nN* ,又 bn = | an |,求 bn 的前 n 项和 Tn解：由题可得：a1 = 9,当 n 1 时 an = Sn Sn 1 = 2n + 11,如使 an = 2n + 11 0,就 n 5.5,即数列的前 5 项非负,以后各项均负,当 n 5时, Tn = Sn = 10n n2,当 n 6时,9.Tn = a1 + a2 + + a5 a6 + a7 + + an= 2 a1 + a2 + + a5 a1 + a2 + + an = 2S5Sn = 50 10nn2,T nnn210n500n5210nn5 故第 n 组的第一个数是n2n
18、1 + 2 = n2n + 1设等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都为整数,前n 项和为 Sn1 如 a11 = 0,S14 = 98,求数列 an 的通项公式；2 如 a1 6,a11 0,S14 77,求全部可能的数列an 的通项公式解： 1 由 S14 = 98,得 2a1 + 13d = 14,又 a11 = a1 + 10d = 0,解得 d = 2,a1 = 20,所以数列 an 的通项公式是：an = 22 2n11S 14772a 113 d112a 113d2 由a 110,得a 110d0,即2 a 120d02 a 112a 16a 16Cxiaojun名师归纳总
19、结 - 8 - 第 8 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心由 + 得 7d 11,即d11, + 得d1,n71311d1,又 dZ, d = 1,713从而得 10 0,q 1 或 a1 0,0 q 1 时为递增数列； 当 a1 1 或 a1 0,0 q 1 时为递减数列； 当 q a4 + a5 Ba1 + a8 0,q 0当 q 1 时有 q3 1,q 4 1,a11 q 3 1 q 4 0；当 0 q 1 时有 q3 1,q4 0,对任意正数 q 1 都有 a1 + a8 a4 + a5 0,即 a1 + a8
20、 a4 + a5,应选 A12. 2022 浙江理 13设公比为 q q 0的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn如 S2 = 3a2 + 2,S4 = 3a4 + 2,就 q = _【答案】3 2S2 = 3a2 + 2,S4 = 3a4 + 2 两个式子全部转化成用a1,q 表示的式子,【解析】将Cxiaojun名师归纳总结 - 11 - 第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心即a 1a q3 a q23a q32,两式作差得：a1q2 + a1q3 = 3a1qq2 1, a qa q23 a qa 1a
21、1 0,q 0, q + q 2 = 3q 2 1,又 q 0,可得 q = 3 q 1,解之得：q3213. 在各项均为正数的等比数列 an 中,如 a5a6 = 9,就 log 3a1 + log 3a2 + + log 3a10 = B A 12 B10 C8 D2 + log 35 【解析】 log3a1 + log3a2 + + log3a10 = log3a1a2 a10 = log3a5a6 5 = log39 5 = 1014. 如等比数列 an 的公比 q S9a8 BS8a9 S9a8CS8a9 = S9a8D不确定【解析】由等比数列通项公式与前n 项和公式得S8a9S9a
22、8 = a 1 1q88a1qa 1 1q9a1q 7 =a 12q8q16qq7a161q1q1=a12q8qq7= a12q 71又 q 0,即 S8a9 S9 a82022 辽宁理 14已知等比数列 an 为递增数列,且2 a = a10, 2an + an + 2 = 5 an + 1,就数列 an 的通项公式为 an = _【答案】 2n【考点】此题主要考查等比数列的通项公式及方程思想和规律推理才能,属于中档题16.【解析】a = a10, a1q42 = a1q9,a1 = q,故 an = q 2 n, 2an + an + 2 = 5an + 1, 2an1 + q2 = 5a
23、nq, 21 + q2 = 5q,解得 q = 2 或 q = 1 2舍去 , an = 2n2022 北京理 11 在等比数列 an 中,如a 11,a4 = 4,就公比 q = ；| a1 | + | a2 | + 2+ | an | = 【答案】 2；n-21-12【解析】由 an是等比数列得a4 = a1q 3,又a 11,a4 = 4,所以 4 =1 2q3 q = 2,2Cxiaojun名师归纳总结 - 12 - 第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心| an | 是以1 2为首项,以2 为公比的等比
24、数列,| a1 | + | a2 | + + | an | 1 1 2n 2 2n11122Cxiaojun名师归纳总结 - 13 - 第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心17.2022 江西理 18 已知两个等比数列 an , bn,满意 a1 = a a 0 ,b1a1 = 1,b2a2 = 2,b3a3 = 31 如 a = 1,求数列 an 的通项公式；2 如数列 an 唯独,求 a 的值解： 1 当 a = 1 时,设 an的公比为 q,就 b1 = 1 + a = 2,b2 = 2 + aq = 2
25、 + q,b3 = 3 + aq2 = 3 + q2,又bn 为等比数列,就 b1,b2,b3 成等比数列,得 2 + q 2 = 23 + q 2,即 q 2 4q + 2 = 0,解得 q1 = 2 + 2 ,或 q2 = 2 2 ,所以： an = 2 + 2 n 1,或 an = 2 2 n 12 设 an 的公比为 q,就由 2 + aq2 = 1 + a3 + aq2,得 aq2 4aq + 3a 1 = 0,a 0, = 4a2 4a3a 1 = 4aa + 1 0 ,故方程有两个不同的实根,an 唯独,方程必有一根为 0,将 q = 0 代入方程得,a 13Cxiaojun名师
26、归纳总结 - 14 - 第 14 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心等差、等比数列综合18.2022 北京文 16 本小题共 13 分 已知 an 为等差数列,且a3 = 6,a6 = 0求 an 的通项公式； 如等比数列 bn满意 b1 = 8, b2 = a1 + a2 + a3,求 bn 的前 n 项和公式解： 设等差数列 an 的公差为 d由于 a3 = 6,a6 = 0,所以a 12 d06,解得 a1 = 10,d = 2,a 15 d所以 an = 10 + 2n 1 = 2n 12或：由 a6 = a3
27、 + 3d,及 a3 = 6,a6 = 0,得 d = 2,an = a6 + 2n 6 = 2n 12或 an = a3 + 2n 3 = 2n 12 设等比数列 bn 的公比为 q,由于 b2 = a1 + a2 + a3 = 24,b1 = 8,所以 8q = 24,即 q = 3,nb 11 q 所以 bn 的前 n 项和公式为 S n = 41 3 n1 q19. 等差数列 an中, a4 = 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 解：设数列 an的公差为 d,就 an 前 20 项的和 S20a3 = a4 d = 10 d,a6 = a4 + 2d = 10 + 2
28、d,a10 = a4 + 6d = 10 + 6d由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 = a6 2,即10 d10 + 6 d = 10 + 2 d2,整理得 10d2 10d = 0,解得 d = 0 或 d = 1当 d = 0 时, S20 = 20a4 = 200当 d = 1 时, a1 = a4 3d = 10 3 1 = 7,于是S 2020a 120 19d = 20 7 + 190 = 3302Cxiaojun名师归纳总结 - 15 - 第 15 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究者研发学习中心20.
29、2022 广东理 19 本小题满分14 分 2 n + 1 + 1,nN*,且 a1,a2 + 5,a3 成等差数列设数列 an 的前 n 项和为 Sn,满意 2Sn = an + 11 求 a1 的值；2 求数列 an 的通项公式；3 证明：对一切正整数n,有11L13a 1a2a n2【解析】此题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了同学的运算求解才能与推理论证能 力,难度一般1 解： 2Sn = an + 1 2 n + 1 + 1,2Sn + 1 = an + 2 2n + 2 + 1,相减得： an + 2 = 3an + 1 + 2n + 1,2S1 = a2 3
30、a2 = 2a1 + 3, a3 = 3a2 + 4 = 6a1 + 13,a1,a2 + 5,a3 成等差数列 a1 + a3 = 2a2 + 5 a1 = 12 解： a1 = 1,a2 = 5,得 an + 1 = 3an + 2n 对nN*均成立,an + 1 = 3an + 2nan + 1 + 2n + 1 = 3an + 2n, an + 2n 是以 a1 + 21 = 3 为首项,以3 为公比的等比数列,an + 2n = 3n,即 an = 3n 2n3 证明：当 n = 1 时,113,a 12当 n 2 时,3 n 23 222 3n 2 2n11an2n11L1111L11113,a 1a 2an223 22n2n 22综上得：对一切正整数n,有11L13a 1a2a n2或： an = 3