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1、2022年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题10 与圆有关的综合问题【真题再现】一、解答题1（2021江苏镇江中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，O经过A，B，P三点（1）若BP3，判断边CD所在直线与O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，E是CD的中点，O交射线AE于点Q，当AP平分EAB时，求tanEAP的值【答案】（1）相切，见解析；（2）【解析】【分析】（1）如图1中，连接AP，过点O作OHAB于H，交CD于E求出OE的长，与半径半径，可得结论（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ利用面积法求出BP，可得结论【详解】解：（1）
2、如图11中，连接AP，过点O作OHAB于H，交CD于E四边形ABCD是正方形，ABAD4，ABP90，AP5，OHAB，AHHB，OAOP，AHHB，OHPB，DDAHAHE90，四边形AHED是矩形，OECE，EHAD4，OEEHOH4，OEOP，直线CD与O相切（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQDECT90，DEEC，AEDTEC，ADETCE（ASA），ADCT4，BTBC+CT4+48，ABT90，AT4，AP是直径，AQP90，PA平分EAB，PQAQ，PBAB，PBPQ，设PBPQx，SABTSABP+SAPT，484x+4x，x22，tanEAPtanPAB【点
3、睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点2（2021江苏泰州中考真题）如图，在O中，AB为直径，P为AB上一点，PA1，PBm（m为常数，且m0）过点P的弦CDAB，Q为上一动点（与点B不重合），AHQD，垂足为H连接AD、BQ（1）若m3求证：OAD60；求的值；（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的O，对于点Q的任意位置，都有BQ22DH2+PB2的值是一个定值，求此时Q的度数【答案】（1）见解析；2
4、；（2）；（3）存在半径为1的圆，45【解析】【分析】（1）连接OD，则易得CD垂直平分线段OA，从而OD=AD，由OA=OD，即可得OAD是等边三角形，从而可得结论； 连接AQ，由圆周角定理得：ABQ=ADH，从而其余弦值相等，因此可得 ，由可得AB、AD的值，从而可得结论；（2）连接AQ、BD， 首先与（1）中的相同，有，由APDADB，可求得AD的长，从而求得结果；（3）由（2）的结论可得：，从而BQ22DH2+PB2当m=1时，即可得是一个定值，从而可求得Q的值【详解】（1）如图，连接OD，则OA=ODAB=PA+PB=1+3=4OA= OP=AP=1即点P是线段OA的中点CDABCD
5、垂直平分线段OAOD=ADOA=OD=AD即OAD是等边三角形OAD=60连接AQAB是直径AQBQ根据圆周角定理得：ABQ=ADH，AHDQ 在RtABQ和RtADH中AD=OA=2，AB=4（2）连接AQ、BD与（1）中的相同，有AB是直径ADBDDAB+ADP=DAB+ABD=90ADP=ABD RtAPDRtADB AB=PA+PB=1+m （3）由（2）知，BQ=即 BQ22DH2+PB2= 当m=1时，BQ22DH2+PB2是一个定值，且这个定值为1，此时PA=PB=1，即点P与圆心O重合CDAB，OA=OD=1 AOD是等腰直角三角形OAD=45OAD与Q对着同一条弧Q=OAD=
6、45 故存在半径为1的圆，对于点Q的任意位置，都有BQ22DH2+PB2的值是一个定值1，此时Q的度数为45.【点睛】本题是圆的综合，它考查了圆的基本性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，难点是第（3）问，得出BQ22DH2+PB2后，当m=1即可得出BQ22DH2+PB2是一个定值3（2021江苏南京中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）（2）图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成O是
7、圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为_（用含l，h的代数式表示）设的长为a，点B在母线上，圆柱的侧面展开图如图所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路【答案】（1）作图如图所示；（2）h +l；见解析【解析】【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出AOC，进而证明出OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；（2）由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧
8、面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在RtABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；设AOC=n，圆锥的母线长为， 的长为，；连接OA、CA，是等边三角形，B为母线的中点，（2） 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+
9、l 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GFAD，垂足为F，由题可知，GF=h， OB=b，由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出COG，作BEOG，垂足为E，因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，A、
10、G、B三点共线，利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法4（2021江苏扬州中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：（1）这样的点A唯一吗？（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追梦”学习小组通过
11、操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决该弧所在圆的半径长为_；面积的最大值为_；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，点P在直线的左侧，且线段长的最小值为_；若，则线段长为_【答案】（1）2；（2）见解析；（3）；【解析】【分析】（1）设O为圆心，连接BO，CO，根据圆周角定理得到BOC=60，证明OBC是等边三角形，
12、可得半径；过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，以BC为底，则当A与D重合时，ABC的面积最大，求出OE，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA，交圆于点D，连接CD，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）根据，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，可得点P在优弧CPD上，连接BQ，与圆Q交于P，可得BP即为BP的最小值，再计算出BQ和圆Q的半径，相减即可得到BP；根据AD，CD和推出点P在ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CFPD，垂足为F，解直角三角形即可求出DP【详解】解：（1）设O为圆心，连接BO，CO，BAC=30，BOC=6
13、0，又OB=OC，OBC是等边三角形，OB=OC=BC=2，即半径为2；ABC以BC为底边，BC=2，当点A到BC的距离最大时，ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，BE=CE=1，DO=BO=2，OE=，DE=，ABC的最大面积为=；（2）如图，延长BA，交圆于点D，连接CD，点D在圆上，BDC=BAC，BAC=BDC+ACD，BACBDC，BACBAC，即BAC30；（3）如图，当点P在BC上，且PC=时，PCD=90，AB=CD=2，AD=BC=3，tanDPC=，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，当点P在优弧CPD上时
14、，tanDPC=，连接BQ，与圆Q交于P，此时BP即为BP的最小值，过点Q作QEBE，垂足为E，点Q是PD中点，点E为PC中点，即QE=CD=1，PE=CE=PC=，BE=BC-CE=3-=，BQ=，PD=，圆Q的半径为，BP=BQ-PQ=，即BP的最小值为；AD=3，CD=2，则，PAD中AD边上的高=PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在ADC的平分线上，如图，过点C作CFPD，垂足为F，PD平分ADC，ADP=CDP=45，CDF为等腰直角三角形，又CD=2，CF=DF=，tanDPC=，PF=，PD=DF+PF=【点睛】本
15、题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹5（2021江苏连云港中考真题）如图，中，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，平分（1）求证：是的切线；（2）延长、相交于点E，若，求的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证；（2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得；【详解】（1）平分，是的切线（2）由（1）可知，又，且，【点睛】此题考查了切线的判定与性质，正切的性质，以及相似三角形的性质判定，熟练掌握基础知
16、识是解本题的关键6（2021江苏苏州中考真题）如图，四边形内接于，延长到点，使得，连接（1）求证：；（2）若，求的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出根据圆周角定理结合题意可知，即得出由此易证，即得出（2）过点作，垂足为根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果【详解】（1）证明：四边形是圆的内接四边形，在和中，（2）解：如图，过点作，垂足为，由（1）知，【点睛】本题为圆的综合题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直
17、角三角形利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键7（2020年镇江第26题）如图，ABCD中，ABC的平分线BO交边AD于点O，OD4，以点O为圆心，OD长为半径作O，分别交边DA、DC于点M、N点E在边BC上，OE交O于点G，G为MN的中点（1）求证：四边形ABEO为菱形；（2）已知cosABC=13，连接AE，当AE与O相切时，求AB的长【分析】（1）先由G为MN的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出MOGMDN，再由平行四边形的性质得出AOBE，MDN+A180，进而判定四边形ABEO是平行四边形，然后证明ABAO，则可得结论；（2）过点O作OPBA，交BA的延长线于点P，
18、过点O作OQBC于点Q，设ABAOOEx，则由cosABC=13，可用含x的式子分别表示出PA、OP及OQ，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即可【解析】（1）证明：G为MN的中点，MOGMDN四边形ABCD是平行四边形AOBE，MDN+A180，MOG+A180，ABOE，四边形ABEO是平行四边形BO平分ABE，ABOOBE，又OBEAOB，ABOAOB，ABAO，四边形ABEO为菱形；（2）如图，过点O作OPBA，交BA的延长线于点P，过点O作OQBC于点Q，设AE交OB于点F，则PAOABC，设ABAOOEx，则cosABC=13，cosPAO=13，PAAO=13，PA=13x，O
19、POQ=223x当AE与O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知F为切点，在RtOBQ中，由勾股定理得：(43x)2+(223x)2=82，解得：x26（舍负）AB的长为268（2020年南京第24题）如图，在ABC中，ACBC，D是AB上一点，O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DFBC，交O于点F求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AFEF【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出BACB，根据平行线的性质得出ADFB，求出ADFCFD，根据平行线的判定得出BDCF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出AEFB，根据圆内接四边形的性质得出ECF+EAF180，根据平行线的性质
20、得出ECF+B180，求出AEFEAF，根据等腰三角形的判定得出即可【解析】证明：（1）ACBC，BACB，DFBC，ADFB，BACCFD，ADFCFD，BDCF，DFBC，四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，ADFB，ADFAEF，AEFB，四边形AECF是O的内接四边形，ECF+EAF180，BDCF，ECF+B180，EAFB，AEFEAF，AFEF9（2020年苏州第28题）如图，已知MON90，OT是MON的平分线，A是射线OM上一点，OA8cm动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速
21、运动连接PQ，交OT于点B经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC设运动时间为t（s），其中0t8（1）求OP+OQ的值；（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（3）求四边形OPCQ的面积【分析】（1）由题意得出OP8t，OQt，则可得出答案；（2）如图，过点B作BDOP，垂足为D，则BDOQ设线段BD的长为x，则BDODx，OB=2BD=2x，PD8tx，得出PDOP=BDOQ，则8-t-x8-t=xt，解出x=8t-t28由二次函数的性质可得出答案；（3）证明PCQ是等腰直角三角形则SPCQ=12PCQC=1222PQ22PQ=14
22、PQ2在RtPOQ中，PQ2OP2+OQ2（8t）2+t2由四边形OPCQ的面积SSPOQ+SPCQ可得出答案【解析】（1）由题意可得，OP8t，OQt，OP+OQ8t+t8（cm）（2）当t4时，线段OB的长度最大如图，过点B作BDOP，垂足为D，则BDOQOT平分MON，BODOBD45，BDOD，OB=2BD设线段BD的长为x，则BDODx，OB=2BD=2x，PD8tx，BDOQ，PDOP=BDOQ，8-t-x8-t=xt，x=8t-t28OB=28t-t28=-28(t-4)2+22二次项系数小于0当t4时，线段OB的长度最大，最大为22cm（3）POQ90，PQ是圆的直径PCQ90
23、PQCPOC45，PCQ是等腰直角三角形SPCQ=12PCQC=1222PQ22PQ=14PQ2在RtPOQ中，PQ2OP2+OQ2（8t）2+t2四边形OPCQ的面积SSPOQ+SPCQ=12OPOQ+14PQ2，=12t(8-t)+14(8-t)2+t2，4t-12t2+12t2+164t16四边形OPCQ的面积为16cm210（2020年常州第27题）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点（Q在P、H之间）我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQPH的值称为I关于直线a的“特征数”（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）半径
24、为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点D（填“A”、“B”、“C”或“D”），O关于直线m的“特征数”为10；若直线n的函数表达式为y=3x+4求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，2为半径作F若F与直线l相离，点N（1，0）是F关于直线l的“远点”且F关于直线l的“特征数”是45，求直线l的函数表达式【分析】（1）根据远点，特征数的定义判断即可如图1中，过点O作OH直线n于H，交O于Q，P解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题（2）如图2中，设直线l的
25、解析式为ykx+b分两种情形k0或k0，分别求解即可解决问题【解析】（1）由题意，点D是O关于直线m的“远点”，O关于直线m的特征数DBDE2510，故答案为：D，10如图1中，过点O作OH直线n于H，交O于Q，P设直线y=3x+4交x轴于F（-433，0），交y轴于E（0，4），OE4，OF=433，tanFEO=OFOE=33，FEO30，OH=12OE2，PHOH+OP3，O关于直线n的“特征数”PQPH236（2）如图2中，设直线l的解析式为ykx+b当k0时，过点F作FH直线l于H，交F于E，N由题意，EN22，ENNH45，NH=10，N（1，0），M（1，4），MN=22+42=
26、25，HM=MN2-NH2=20-10=10，MNH是等腰直角三角形，MN的中点K（0，2），KNHKKM=5，H（2，3），把H（2，3），M（1，4）代入ykx+b，则有k+b=4-2k+b=3，解得k=13b=113，直线l的解析式为y=13x+113，当k0时，同法可知直线l经过H（2，1），可得直线l的解析式为y3x+7综上所述，满足条件的直线l的解析式为y=13x+113或y3x+7【满分训练】一、解答题1如图1，平面内有一点P到ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有，则称点P为ABC关于点A的勾股点类似地，若，则称点P为ABC关于点B的勾股点(1)【知识感知】如图2，
27、在45的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是关于点_的勾股点；在点E、F、G三点中只有点_是关于点A的勾股点(2)【知识应用】如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是ABE关于点A的勾股点，求证：CE=CD；(3)【知识拓展】矩形ABCD中，AB=5，BC=6，E是矩形ABCD内一点，且点C是ABE关于点A的勾股点，若ADE是等腰三角形，求AE的长【答案】(1)；(2)见解析(3)或【解析】【分析】（1）求，得，即点的勾股点；求出，即点的勾股点（2）由矩形性质得，可得；根据勾股数得，又因为（3）由条件“点的勾股点”仍可得，作为条件使用 是等
28、腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长(1)解： 点的勾股点 点的勾股点 点的勾股点 点的勾股点故答案为：(2)证明：如图3中，点的勾股点四边形是矩形 (3)解：矩形 点的勾股点 i）如图1，若 过点 四边形是矩形 设 解得： ii）如图2，若的垂直平分线上过点 四边形是矩形 中，iii）如图3，若 取 点 点内部，不符合题意综上所述，若是等腰三角形，的长为或【点睛】本题属于四边形综合题，考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理等知识，解题关键是对新定义概念的性质运用，学会
29、用分类讨论的思想思考问题2如图，四边形ABCD内接于O，对角线BD为O直径，点E在BC延长线上，且EBAC(1)求证：DE是O的切线；(2)若ACDE，当AB16，DE4时，求O半径的长【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）为切点，为直径，由圆周角定理得BCDDCE90，求证出BDC+CDE90，即得BDDE，得证；（2）求半径就是求线段长，本题利用CDEDBE，可得，解出CE4，再结合勾股定理，在RtCDE中，CD8；在RtBCD中，BD ，即可求出半径(1)证明：BD为O的直径，BCDDCE90，E+CDE90，EBAC，BAC+CDE90，BACBDC，BDC+CDE90，即B
30、DE90，BDDE，点D在O上，DE是O的切线；(2)解：ACDE，EACB，EBAC，ACBBAC，BCAB16，由（1）可知：BDC+CDE90，BDC+CBD90，CDECBD，DCEBCD90，CDEDBE，BEBC+CE，ABBC16，DE ， ，解得CE4，在RtCDE中，CD8，在RtBCD中，BD，OBBD【点睛】本题属于圆的综合问题解题过程主要涉及到切线的性质与判定、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点题目考查知识点较多，熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解决这道题目的关键3（1）如图，在ABC中，AB=4，AC=3，若AD平分BAC交于点，那么点到的距离
31、为 （2）如图，四边形内接于，为直径，点B是半圆的三等分点（弧弧），连接，若平分，且，求四边形的面积（3）如图，为把“十四运”办成一届精彩圆满的体育盛会很多公园都在进行花卉装扮，其中一块圆形场地圆O，设计人员准备在内接四边形ABCD区域内进行花卉图案设计，其余部分方便游客参观，按照设计要求，四边形ABCD满足ABC=60，AB=AD，且AD+DC=10（其中 ），为让游客有更好的观体验，四边形ABCD花卉的区域面积越大越好，那么是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出这个最大值，不存在请说明理由【答案】（1）；（2） 四边形ABCD的面积为32；（3）存在【解析】【分析】（1）如图，作辅
32、助线，证明AE=DE；证明BDEBCA ，得到，列出比例式即可解决问题（2）（2）连接OB，根据题意得AOB=60，作AEBD，利用解直角三角形可求AB的长，通过解直角三角形分别求出BC，AD，CD的长，再根据面积公式求解即可；过点A作ANBC于点N，AMDC，交DC的延长线于点M，连接AC，可得，根据面积法求出关于面积的二次函数关系式，根据二次函数的性质求出最值即可【详解】解：如图，过点D作DEAB于点E则DE/AC；AD平分BAC，BAC=90，DAE=45，ADE=9045=45，AE=DE（设为），则BE=4；DE/AC， BDEBCA，即：解得：= ，点D到AC的距离（2）连接OB，
33、 点B是半圆AC的三等分点（弧AB弧BC）， AC是的直径， BD平分ABC过点A作AEBD于点E，则AE=BE设AE=BE=x，则BD=BE+DE=x=BC=BD平分ABC AD=CD AEDE , = = =32；（3）过点A作ANBC于点N，AMDC，交DC的延长线于点M，连接AC， AB=ADACB=ACDAM=ANADC+ABC=180，ADC+ADM=180,ABC=ADM又ANB=AMD=90，ABNADM AN=AM，BCA=DCA，AC=ACACNACM ABC=60ADC=120ADM=60，MAD=30设DM=x，则AD=2x， ，即抛物线对称轴为x=5当x=4时，有最大
34、值，为【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的面积，解直角三角形，角平分线的性质定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题4以AB为直径作半圆O，AB10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC到点D，使DCBC，过点D作DEAB于点E、交AC于点F，连接OF（1）如图1，当点E与点O重合时，求BAC的度数；（2）如图2，当DE8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E在线段OA上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】【分析】（1）
35、连接OC根据直角三角形的性质和圆的性质可得OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到BAC的度数； （2）连接DA根据垂直平分线的性质可得AB=AD=10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，再证明AEFDEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长； （3）分两种情况：当时；当时；讨论即可求得线段OE的长【详解】解：（1）连接OC C为DB中点， OC=BC=OB， OBC是等边三角形， B=60， AB为直径， ACB=90， BAC=30； （2）连接DA 则AC垂直平分BD， AB=AD=10， DE=8，DEAB， AE=6， BE=4， FA
36、E+AFE=90，CFD+CDF=90，CDF=EAF， AEF=DEB=90， AEFDEB， EF: EB = AE: DE ，EF=3； （3）答；存在， 如图，当时， FOE=CAB，则OF=AF， 又DEAB， OEAE； 如图，当时，则EOF=CBA， 则OFBD， 则 而 ， ， OE，经检验：OE符合题意，综上所述：OE的长为或【点睛】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度5如图，是的直径，是上的一点，连接，是上的一点，过点作的垂线，与线段交
37、于点，点在线段的延长线上，且满足（1）求直线与的公共点个数，并说明理由；（2）当点恰为中点时，若的半径为，求线段的长【答案】（1）1个，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到，求得，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到，根据得到，又根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，过F作于H，由相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：（1）连接OC，,，CF是的切线，直线CF与的公共点个数有1个；（2）AB是的直径，的半径为10，点E为BC中点，过F作于H，【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角
38、形，正确的做出辅助线是解题的关键6定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）平行四边形；矩形；菱形；正方形（2）图形判定：如图1，在四边形中，过点作垂线交的延长线于点，且，证明：四边形是垂等四边形（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半应用：在图2中，面积为的垂等四边形内接于O中，求O的半径【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O作O
39、EBD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到O的半径【详解】解：（1）平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：；（2）ACBD，EDBD，ACDE，又ADBC，四边形ADEC是平行四边形，AC=DE，又DBC=45，BDE是等腰直角三角形，BD=DE，BD=AC，又BDAC，四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OEBD，连接OD，四边形ABCD是垂等四边形，AC=BD，又垂等四边形的面积是24，ACBD=6，解得，AC=BD=，又BCD=60，DOE=60，设半径为r，根据垂径定理可得：在ODE中，OD=r，DE=，r=2，O的半径为2【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答问题7如图，在中，动点从点出发，沿着方向以1