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1、合情推理合情推理类比推理类比推理1一、复习回顾：一、复习回顾：由某类事物的由某类事物的部分对象部分对象具有某些特征具有某些特征,推推出该类事物的出该类事物的全部对象全部对象都具有这些特征的推理都具有这些特征的推理,或者由或者由个别事实个别事实概栝出概栝出一般结论一般结论的推理的推理,称为称为归纳推理归纳推理.(.(简称归纳简称归纳)1、什么是归纳推理？、什么是归纳推理？2、归纳推理的步骤、归纳推理的步骤:实验观察实验观察猜想一般性结论猜想一般性结论2概括推广概括推广1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林鲁班，被认为是木匠业的祖
2、师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子桩倒霉事却使他发明了锯子.鲁班的思路是这样的：鲁班的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇发明了潜水艇.二、情景引入：二、情景引入：火星火星地球地球相似点相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适
3、合地球上的某些已知生物的生存等。分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命地球上有生命火星上可能有生命火星上可能有生命猜想猜想火星上是否有生命？火星上是否有生命？相似点相似点:试根据等式的性质猜想不等式的性质。试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？由两类对象具有某些类似特征，和其中一由两类对
4、象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为也具有这些特征的推理称为类比推理类比推理（简称类比）（简称类比）类比推理的定义类比推理的定义:简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的特点类比推理的特点;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的推测正在研究的事物的属性事物的属性,是是以旧有的认识为基础以旧有的认识为基础,类比出新的结果类比出新的结果.2.2.类比是从一种事物的类比是从一种事物的特殊属性特殊属性推测另一种事物的推测
5、另一种事物的特殊属性特殊属性.3.3.类比的结果是猜测性的类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠,但它却有发现的功能但它却有发现的功能.类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤:观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；致性）；用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；而得出一个猜想；检验猜想。检验猜想。例例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平
6、面内到一个定点的距离等于定圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0
7、 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆心的连线垂直于截面的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得
8、出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积例例2 类比实数的加法和乘法类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质列出它们相似的运算性质.类比角度类比角度实数的加法实数的加法实数的乘法实数的乘法运算结果运算结果若若a,b R,则则a+b R运算律运算律(交换律和交换律和结合律结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算逆运算加法的逆运算是减法加法的逆运算是减法,使得使得方程方程a+x=0有唯一解有唯一解x=-a单位元单位元a+0=a若若a,b R,则则ab Rab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法乘法的
9、逆运算是除法,使得使得ax=1有唯一解有唯一解x=1/aa1=a通过例通过例1，例，例2你能得到你能得到类比推理的一般模式类比推理的一般模式吗？吗？类比推理的一般模式类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）若若 ，则则 若若 ，则则 空间向量空间向量的性质的性质例例3.3.利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向量平面向量平面向量例例4 4：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，
10、试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC=S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想:例例5 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:图图(1)图图(2)例例6.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的高三条边上的高.P为三角形内任一点为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结
11、论我们可以得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论ABCPpapbpcABCDP平面图形（二维）平面图形（二维）立体图形（三维）立体图形（三维）点点点或线点或线线线线或面线或面平面直角坐标系平面直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系 运用类比法的关键是：运用类比法的关键是：周长周长面积面积面积面积体积体积寻找一个合适的类比对象寻找一个合适的类比对象1616类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤找出两类对象之间可以确切表述的相似找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；特征；用一类对象的已知特征去猜测另一类对用一类对象的
12、已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论17练习P35类比推理类比推理由特殊到特殊的推理由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础以旧的知识为基础,推测新的结果；推测新的结果；结论不一定成立结论不一定成立.归纳推理归纳推理由部分到整体、特殊到一般的推理由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础以观察分析为基础,推测新的结论推测新的结论;具有发现的功能具有发现的功能;结论不一定成立结论不一定成立.具有发现的功能具有发现的功能;小结小结19合情推理合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，把它们统称为推理，把它们统称为合情推理合情推理从具体问从具体问题出发题出发观察、分析观察、分析比较、联想比较、联想归纳归纳类比类比提出提出猜想猜想20