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1、复习:等比数列概念 一、定义：定义：如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与项起，每一项与它的它的 前一项的比等于同一个前一项的比等于同一个常数常数（指与指与n无关的数无关的数),这个数列就叫做这个数列就叫做等比数列等比数列，这个，这个常数常数叫做叫做等比数等比数列列的的公比公比，公比公比通常用字母通常用字母q表示。表示。二二、等比数列等比数列 的的通项公式通项公式为为三三、如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a，G，b成等比数列，那么成等比数列，那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质：an=am+(
2、n-m)d猜想：性质：若an-k,an,an+k是an中的三项，则2an=an-k+an+k 猜想2：性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3：性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想：性质:若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。猜想：由等差数列的性质，猜想等比数列的性质an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列性质：an=am+(n-m)d性质：若an-k,an,an+k 是an中的三项，则2an=an+k+an-k猜想2：性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想1：若an-k,an,an+k 是an中的三
3、项 则猜想3：若n+m=p+q则bnbm=bpbq由等差数列的性质，猜想等比数列的性质性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质:若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。猜想：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 .(可推广)猜想：若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列.性质：若n+m=p+q 猜想3：若n+m=p+q 则am+an=ap+aq 则bnbm=bpbq,若数列若数列an是公比是公比为为q的等比数列的等比数列,则则(1)当当q1,a10或或0q1,a11,a10,或或0q0时时,an是是递递减数列减数
4、列;(3)当当q=1时时,an是常数列是常数列;(4)当当q0(3)an=amqn-m(n,mN*).(4)当当n+m=p+q(n,m,p,qN*)时时,有有anam=apaq,(5)当当an是有是有穷穷数列数列时时,与首末两与首末两项项等距离的两等距离的两项项 的的积积都相等都相等,且等于首末两且等于首末两项项的的积积(7)(7)若若 b bn n 是公比是公比为为qq的等比数列的等比数列,则则数列数列an b bn n 是是公比公比为为qq q的等比数列的等比数列.(6)数列数列an(为为不等于零的常数不等于零的常数)仍是公比仍是公比为为q q的的 等比数列等比数列.(8)(8)数列数列是
5、公比是公比为为的等比数列的等比数列.(9)(9)在在an中中,每隔每隔k(kN*)项项取出一取出一项项,按原来按原来顺顺序序 排列排列,所得的新数列仍所得的新数列仍为为等比数列等比数列,且公比且公比为为qk+1.(10)若若m、n、p(m、n、pN*)成等差数列成等差数列时时，am,an,a p 成等比数列。成等比数列。例例1：1、在等比数列、在等比数列，已知，已知，求，求。解：解：2、在等比数列、在等比数列中，中，求，求该该数列前七数列前七项项之之积积。前七前七项项之之积积解：解：3、在等比数列、在等比数列中，中，求，求 另解：另解：是是与与的等比中的等比中项项，练习:在等比数列an中，a2
6、=-2,a5=54，a8=.在等比数列an中，且an0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_ .在等比数列an中，a15=10,a45=90,则 a60=_.在等比数列an中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_ .思考：在 等 比 数 列 an中，a1+a2=30,a3+a4 =120,则a5+a6=_ .-14586270480480或-270解题技巧的类比应用：解题技巧的类比应用：三个数成等比数列，它们的和等于三个数成等比数列，它们的和等于1414，它们的积等于，它们的积等于6464，求这三个数。，求这三个数。分析：若分析：若三个数成等差数列，则设
7、这三个数三个数成等差数列，则设这三个数 为为a-d,a,a+d.a-d,a,a+d.由由类比思想的应用可得，类比思想的应用可得，若若三个数成等比数列，则设这三个数三个数成等比数列，则设这三个数 为为：，：，a,a q.再由方程组可得：再由方程组可得：q=2 q=2 或既这三个数为既这三个数为2 2，4 4，8 8或或8 8，4 4，2 2。补充例题三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。则必有 由得：代入得：或故原来的三个数是：2,10,50.或练习:已知数列中，是它的前 项和，并且 2 设求证数列 1 设求证数列是等比数列；是等差数列。证:1 ,51421221=+=+aaSaa ,两式相减得：即：即是公比为2的等比数列 2 将代入得：成等差数列