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1、证明证明(二二)复习复习1.1.进一步理解掌握本章的有关概念进一步理解掌握本章的有关概念和定理和定理.2.2.能够熟练运用相关概念和定理解能够熟练运用相关概念和定理解决有关的计算和证明题决有关的计算和证明题.3.3.能够运用几种基本作图解决比较能够运用几种基本作图解决比较简单的作图题简单的作图题.角角的的角角的的平平分分线线平平分分线线通过探索通过探索通过探索通过探索,猜猜猜猜想想想想,计算和证计算和证计算和证计算和证明得到定理明得到定理明得到定理明得到定理与等腰三角形、等边三角形与等腰三角形、等边三角形与等腰三角形、等边三角形与等腰三角形、等边三角形有关的结论有关的结论有关的结论有关的结论与
2、与与与直直角角三三角角形形有有关关的的结结论论直直角角三三角角形形有有关关的的结结论论与与与与一一般般的的三三角角形形有有关关的的结结论论一一般般的的三三角角形形有有关关的的结结论论命命题题的的逆逆命命题题命命题题的的逆逆命命题题及及 其其 真真 假假及及 其其 真真 假假尺尺规规尺尺规规作作图图作作图图线线段段的的垂垂直直平平分分线线线线段段的的垂垂直直平平分分线线问题导学问题导学结合知识结构图通读本结合知识结构图通读本章内容章内容5分钟分钟定理定理定理定理:在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于如果一个锐角等于如果一个锐角等于30300
3、0,那么那么那么那么 这个锐角所对直角边等于斜边的一半这个锐角所对直角边等于斜边的一半这个锐角所对直角边等于斜边的一半这个锐角所对直角边等于斜边的一半ABC30300 0一个重要定理一个重要定理ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0书写格式书写格式w命题命题:在直角三角形中在直角三角形中,如果一条直角如果一条直角边等于斜边的一半边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等那么它所对的锐角等于于30300 0.w是真命题吗是真命题吗?w如果是如果是,请你证明它请你证明它.300ABC已知已知:如图如图,在在ABC,ACB=90ABC,ACB=900 0,BC=AB/2.,BC=AB/2
4、.求证求证:A=30:A=300 0.ACB=90ACB=900 0(已知已知),),AB=AD(AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等端的距离相等).).又又BC=AB/2(BC=AB/2(已知已知),),BC=BD/2(BC=BD/2(作图作图),),AB=BD(AB=BD(等量代换等量代换).).AB=BD=AD(AB=BD=AD(等式性质）等式性质）.ABD ABD是等边三角形是等边三角形(等边三角形意义等边三角形意义)B=60 B=600 0(等边三角形意义等边三角形意义).).A=30 A=300 0(直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互
5、余).).300ABCD证明证明:延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接AD.AD.两个重要的点三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点相交于一点相交于一点相交于一点,并且并且并且并且 这一点这一点这一点这一点到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等.三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线相交于一点相交于一点相交于一点相交于一点,并且并且并且并且 这一点这一点这一点这一点到三条边的距离相等到三条边的距离相等到三条边的距离相
6、等到三条边的距离相等.(这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的外心外心外心外心)(这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的这一点叫做三角形的内心内心内心内心)A AB BC CP P例例1.1.已知已知:如图如图,MNMN是是线段线段ABAB的的垂直平分线垂直平分线,C,DC,D 是是MNMN上的点上的点.求证求证:(1)(1)ABC,ABDABC,ABD是等腰三角形是等腰三角形;(2)(2)CAD=CBDCAD=CBD.合作探究合作探究1.1.已知已知:如图如图,AB=AC,ABD=ACEAB=AC,ABD=ACE.求证求证:(1)OB=OC;
7、(1)OB=OC;(2)BE=CD (2)BE=CD.A AB BC CE ED DOO随堂练习随堂练习2 2、已知、已知:如图如图,BD,CE,BD,CE是是ABCABC的高的高,且且BD=CE.BD=CE.求证求证:ABC:ABC是等腰三角形是等腰三角形.3 3、已知、已知:如图如图,ANOB,BMOA,ANOB,BMOA,垂足分别为垂足分别为 N,M,N,M,且且OM=ON.OM=ON.求证求证:PM=PN.PM=PN.例例例例2.2.在在在在ABCABCABCABC中中中中,C=90,C=90,C=90,C=900 0 0 0,B=30,B=30,B=30,B=300 0 0 0,AD
8、,AD,AD,AD是是是是BACBACBACBAC的平分线的平分线的平分线的平分线,已知已知已知已知 ,求求求求ADADADAD的长的长的长的长.ABCD思路探究：本题综合运用了勾股定理，含思路探究：本题综合运用了勾股定理，含思路探究：本题综合运用了勾股定理，含思路探究：本题综合运用了勾股定理，含30300 0角的直角三角形性角的直角三角形性角的直角三角形性角的直角三角形性 质质质质.它们都与直角有关它们都与直角有关它们都与直角有关它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时所以当问题中出现直角条件时所以当问题中出现直角条件时所以当问题中出现直角条件时,要善于联想到这些性质要善于联想到这些性质
9、要善于联想到这些性质要善于联想到这些性质.已知如图，已知如图，D为等腰三角形为等腰三角形ABC的底边的底边BC上任意一点上任意一点,AB=AC,DEAC,DFAB,CHAB，探索，探索DE、DF、CH的关系的关系?等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高DE+DF=CH例3.1 1.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,ACB,ACB 90900 0,A=30A=300 0,CDAB,CDAB,垂足为垂足为D.D.则则BDBD与与ABAB的
10、关的关系是系是_ACBD300训练反馈2.现有等腰三角形纸片现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶如果能从一个角的顶点出发点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数问此时的等腰三角形的顶角的度数?3690108 3 3.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中中,高线高线BDBD和和CECE相交于相交于H H，BHC=120BHC=120,HD=1,HE=3,HD=1,HE=3,求求BDBD和和CECE的长。的长。?CH=2CE=5BH=6BD=7ACDEBH131204 4.已知：如图，已知：如图，ABCABC是等边三角
11、形是等边三角形,D.E,D.E分别是分别是BC,ACBC,AC上的点上的点,且且AE=CDAE=CD,BE,BE和和ADAD相交于相交于P,BQAD,P,BQAD,垂足是垂足是Q,(1)Q,(1)求求BPDBPD的度数的度数 (2)(2)求证求证:BP=2PQBP=2PQACDBPEQ605 5.如图如图,ABC,ABC,CDECDE是等边三角形是等边三角形 (1)(1)求证求证:AE=BD:AE=BDA AB BC CD DE E(2)若若BD和和AC交于点交于点M,AE和和CD交于点交于点N,求证求证:CM=CNMN(3)连结连结MN,猜想猜想MN与与BE的位置的位置 关系关系.并加以证明
12、并加以证明思路探究思路探究思路探究思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这这这这是是是是 一种常见的证明方法一种常见的证明方法一种常见的证明方法一种常见的证明方法.本题我们应注意用到等边三角本题我们应注意用到等边三角本题我们应注意用到等边三角本题我们应注意用到等边三角形形形形 的性质以及平行法的判定方法的性质以及平行法的判定方法的性质以及平行法的判定方法的性质以及平行法的判定方法.当图形较复杂时当图形较复杂时当图形较复杂时当图形较复杂时,注意注意注意注意
13、 分清条件与图形中的对应关系分清条件与图形中的对应关系分清条件与图形中的对应关系分清条件与图形中的对应关系6 6.如图：如图：已知已知ABC 中，中，AD平分平分BAC，EF是是AD的中垂线，的中垂线，EF 交交BC的延长线于的延长线于F.求证：求证：FD2=FCFBFEDCBA分析：分析：要证要证FD2=FCFB，但但FD、FC、FB都在都在同一直线上，无法同一直线上，无法利用相似三角形利用相似三角形.由于由于FD=FA，替替换后可形成相似三换后可形成相似三角形角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要证只要证FABFCA即可即可.思路探究思路探究:由已知条件逐个分析得出相应的结论由已知条件逐个分析得出相应的结论,再通过分析比较再通过分析比较,从中找到从中找到证明的方法证明的方法,这也是我们学习中常用的分析问题的方法这也是我们学习中常用的分析问题的方法.