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1、第四章第四章 连续时间系统连续时间系统(CTS)的频域分析的频域分析4.1 引言引言时域 e(t)频域 E(j)h(t)H(j)r(t)R(j)频域分析法频域分析法时域和频域分析法的共同点：线性系统具有迭加性与奇次性。主要区别：1.时域中信号分解的基本单元是冲激函数或阶跃函数；频 等幅正弦波。2.时域中求系统对信号的总响应是求解微分方程；频 代数 。3.时域中直接解得系统的总响应；频域分析法则需经过正、反两次 积分变换才能求得总响应。4.2 非周期正弦信号通过线性电路的稳态分析求响应的步骤：1.将所给的非正弦周期信号，用付氏级数分解为直流分量及各次谐波分量。2.分别求出各分量单独作用于系统时的
2、响应。联系激励与响应的函数 H(j )称为转移函数或系统函数称为转移函数或系统函数。例：当激励-电压源 E(j)，响应-输入电流 Ii(j)，则 H(j)表示输输 入导纳入导纳 Y(j)=Ii(j)/E(j)。若激励-某一端口上的电压源 Ei j(j)，响应-另一端口上的电压 Uo j(j),则 H(j)为响应两端口间的电压传输系数电压传输系数 K(j)=Uo j(j)/Ei j(j)。R(jn)=H(jn)E(jn)Rm(jn)=H(jn)Em(jn)或对于基波 ，其x1L=L；x1C=1/C。对于 n 次谐波，x nL=n L；x nC=1/n C。对于直流x0L=0；x0C=。3.将第二
3、步所求得的结果迭加即得总响应。（瞬时值迭加）平均功率为式中 T-信号的周期，p-瞬时功率，u、i-电压及电流的瞬时值。设激励则响应4.3 有始信号通过线性电路的瞬态分析有始信号通过线性电路的瞬态分析e(t)(t)频域分析的步骤：（1）将激励信号分解，即求信号的频谱函数。e(t)(t)E(j)（2）找出系统函数 H(j)。（3）求响应的频谱函数R(j)=E(j)H(j)。（4）从R(j)求付氏反变换得到时域中的零状态响应r(t)。例：求图中以 uR(t)为输出的H(j)。(a)时域电路(b)频域电路U(j)I(j)jLRUR(j)L+-u(t)i(t)RuR(t)+-解:(1)作频域的等效电路。
4、(2)根据稳态分析相量法求H(j)。例：求图中以 i2(t)为输出时的H(j)。i(t)I(j)LjLRi2(t)I2(j)解：I(j)I2(j)H(j)=讨论：H(j)的物理意义。h(t)H(j)e(t)=(t)r(t)=h(t)E(j)=1 R(j)=H(j)FT反FT系统在零状态下的冲激响应 h(t)的频谱函数H(j)，就是系统的系统函数。即H(j)=h(t)=或h(t)H(j)系统函数只与系统本身的特性有关而与外加激励无关。系统函数只与系统本身的特性有关而与外加激励无关。例：求图中以 UC(t)为输出时的H(j)。+-u(t)U(j)RC1juC(t)UC(j)解法一：用相量法求解。（
5、1）作频域等效电路。（2）用稳态分析相量法求H(j)。UC(j)U(j)H(j)=解法二：由h(t)求 H(j)。(t)作用于 RC 电路的零状态响应为故H(j)=h(t)=4.4 阶跃信号通过理想低通滤波器（阶跃信号通过理想低通滤波器（ILPF）1.ILPF 的阶跃响应、带宽与上升时间ILPF 的特性：(1)矩形幅度；（2）线性相移。|H(j)|Hco-co0H()t00co 称为截止频率ILPF 系统函数的数学表达式为ILPF 在阶跃信号电压作用下的响应。e(t)=E U(t)的频谱为E(j)=EU(t)=E U(t)=E()+1/jILPF 输出电压的频谱为U(j)=E(j)H(j)=H
6、E()+1/j0|co=HE()+1/ju(t)=-1U(j)=令 y=(t-t0),则=d=yt-t0，t-t01dy当=co 时，y=co(t-t0)，=0 时 y=0 则有式中称为正弦积分0Si(x)4-/2/22-01Sa(y)yx(a)(b)00U(t)Ettu(t)HE10.5ABtbtAt0(c)(d)可见，响应与激励不同：（1）响应比激励滞后 t0。(2)输出电压的前沿是倾斜的。若以 0(A 点)到 1(B点）作为计算建立时间的标准，则在A点，有 u(tA)=0，即故查正弦积分表，可得)(0w-1.92=-ttAco或)(0-1.92=-ttAwco同理在B点，有u(tB)=H
7、E2)(0pw-ttSiBco=或)(0w-ttBco=1.92)(0-ttB=wco1.92因此可得结论：IPLF 的阶跃响应上升时间 tr 与网络截止频率w co(即网络通频带宽度)成反比。2.系统的因果性与物理可实现性（佩利-维纳准则）时域：因果性表示为响应必须出现在激励之后。即一个物理可实现网络的 冲激响应 h(t)在 t 0 时必须为零。频域：因果性意味着系统转移函数的幅值|H(j)|必须是平方可积的，即 且有佩利-维纳准则物理可实现系统允许|H(j)|特性在某些不连续点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。3.可实现的典型滤
8、波器-最平坦滤波器（巴特沃兹滤波器）|H(j)|2=11+Bn2 n 式中：=/c o 为归一化的频率值；Bn 为由通带边界衰减量的要求所确 定的常数。一般通带边界处（归一化频率=1的位置）的衰减量常 取为3分贝，此时Bn=1；|H(j)|=1/n 为正整数,称为滤波器的阶 数。n=1n=3n=510.501|H(j)|2“最平坦”的含义。令Bn=1，则有|H(j)|2=11+2 n|H(j)|=或运用二项式定理将上式展开为幂级数，则在通带内它与|Hi(j)|=1 的差即为误差函数 容易看出，在 =0 时，误差函数 及其前（2n-1）阶导数均为零，这表示|H(j)|在=0 点附近一段范围内“最
9、平直”，也即滤波器在通带内幅频特性能够最好地逼近“理想平坦”。3.5 信号通过线性系统不产生失真的条件信号通过线性系统不产生失真的条件1.幅度失真。2.相位失真。设激励信号为 e(t)，响应为 r(t)，在时域中无失真传输的条件是r(t)=Ke(t t 0)式中K是一常数，t 0 为滞后时间。e(t)e(t)r(t)r(t)h(t)tt00无失真传输时，系统的激励与响应波形频域无失真传输对H(j)的要求：设 e(t)R(j)，由延时特性，可得E(j)，r(t)式 r(t)=Ke(t t 0)的付氏变换式为R(j)=K E(j)e j t0 由于R(j)=H(j)E(j)比较上两式，有H(j)=Ke j t0 =|H(j)|式中|H(j)|=K，H()=t0 。|H(j)|K00H()不失真传输系统的幅度和相位特性设激励信号 e(t)由基波与二次谐波组成，表示式为响应为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间应有2H1H2=2=t 0=常数因此H2H12=结论：为了使信号传输时不产生相位失真，信号通过系统时谐波的相移必 须与其频率成正比，相频特性应该是一条经过原点的直线，即H（)=t 0 t0即为相位特性的斜率，t0=dH（）d 信号通过线性系统不产生波形失真的理想条件：1.系统的幅频特性在整个频率范围内为一常数。2.系统的相频特性是经过原点的直线。