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1、第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换与与S域分析域分析第一节第一节 引言引言一、拉氏变换的优点一、拉氏变换的优点把线性时不变系统的把线性时不变系统的时域模型时域模型简便地进行简便地进行变换变换，经求解再经求解再还原还原为时间函数。为时间函数。拉氏变换拉氏变换是求解是求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程的的工具工具。应用拉氏变换：应用拉氏变换：（1）求解方程求解方程得到得到简化简化。且。且初始条件初始条件自动包含自动包含在在变换式变换式里。里。（2）拉氏变换将）拉氏变换将“微分微分”变换成变换成“乘法乘法”，“积分积分”变换成变换成“除法除法”。即将。即将微分方程微分方程变成变成代数代数方
2、程方程。拉氏变换将时域中拉氏变换将时域中卷积运算卷积运算变换成变换成“乘法乘法”运算。运算。利用利用系统函数系统函数零点零点、极点分布极点分布分析系统的规律。分析系统的规律。第二节第二节拉氏变换的定义、拉氏变换的定义、收敛域收敛域一、单边拉氏变换定义正单边变换：拉氏拉氏变换对二、拉氏变换的物理意义二、拉氏变换的物理意义拉氏变换是将拉氏变换是将时间函数时间函数f(t)f(t)变换为变换为复变函数复变函数F(s)F(s)，或作相，或作相反变换。反变换。时域时域f(t)f(t)变量变量t t是实数是实数，复频域复频域F(s)F(s)变量变量s s是复数是复数。变量。变量s s又称又称“复频率复频率”
3、。拉氏变换建立了拉氏变换建立了时域与时域与复频域复频域(s(s域）域）之间的联系。之间的联系。看出：将看出：将 频率频率变换为变换为复频率复频率s,且且 只能描述只能描述振荡振荡的的重复频率重复频率，而，而s不仅不仅能给出能给出重复频率重复频率，还，还给出振荡幅给出振荡幅度度的的增长速率或衰减速率增长速率或衰减速率。三、从算子法的概念说明拉氏变换的定义四、拉氏变换收敛域收敛轴收敛坐标收敛区思考思考:指数信号指数信号eat收敛坐标是多少？收敛坐标是多少？指出了收敛条件拉氏变换收敛域举例拉氏变换收敛域举例五、五、常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏
4、变换常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换作业P2504-1第三节第三节拉氏变换的基本拉氏变换的基本性质性质一、拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质例41例45例46拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质作业P2504-2，4-3，4-5第四节第四节拉氏逆变换拉氏逆变换一、系统的s域分析方法（1）部分分式展开法）部分分式展开法用拉氏变换方法分析系统时，最后还要用拉氏变换方法分析系统时，最后还要将象函数进行将象函数进行拉氏反（逆）变换拉氏反（逆）变换。求解拉氏逆变换的方法有：
5、求解拉氏逆变换的方法有：（2）留数法）留数法二、部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法例题42例题41部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法+部分分式展开法部分分式展开法例题43部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法例题44三、留数法留数法举例举例4.1:4.1:举例举例4.1:4.1:s举例举例4.1:4.1:举例举例4.2:4.2:举例举例4.2:4.2:举例举例4.2:4.2:举例举例4.3:4.3:举例举例4.3:4.3:举例举例4.3:4.3:举例举例4.4:4.4:举例举例4.4:4.4:举例举例4.4:4.4:作
6、业P2514-4 第五节第五节拉氏变换法求拉氏变换法求解常微分方程解常微分方程一、一、拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程拉氏变换求解微分方程举例举例4.5:4.5:举例举例4.5:4.5:举例举例4.5:4.5:二、二、S域电路分析域电路分析S域电路分析域电路分析S域电路分析域电路分析举例举例4.16:4.16:举例举例4.5B:4.5B:举例举例4.5B:4.5B:举例举例4.5B:4.5B:举例举例4.5B:4.5B:第六节第六节系统函数系统函数（网络函数）（网络函数）H(s)一、一、系统函数定义系统函数定义二、系统函数求响应二、系统函数求响应系统函数求响应系统函
7、数求响应系统函数求响应系统函数求响应第七节由系统函数零、极点分布决定时域特性一、系统函数的零、极点分布一、系统函数的零、极点分布H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应的对应H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应的对应H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应的对应H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应的对应H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应图解的对应图解（1）极点在原点：为单极点，则系统冲激响应为阶跃函）极点在原点：为单极点，则系统冲激响应为阶跃函数；为多重极点，则系统为增长函数，为不稳定系统。数；为多重极点，则系统为增长函数，为不稳
8、定系统。变换到时域变换到时域H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应图解的对应图解变换到时域变换到时域（2）极点在）极点在s的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统。的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统。变换到时域H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应图解的对应图解（3）极点在）极点在s的虚轴上：单极点（一定为一对共轭极点），则的虚轴上：单极点（一定为一对共轭极点），则系统为振荡系统，则系统为临界稳定系统。若系统为多重极点，系统为振荡系统，则系统为临界稳定系统。若系统为多重极点，系统为增长系统，则系统为不稳定系统。系统为增长系统，则系统为不稳定系统。变换时域变换时域H(s
9、)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应图解的对应图解(4)极点在极点在s的右半平面：系统为增长函数，则系统为不稳定系统。的右半平面：系统为增长函数，则系统为不稳定系统。变换到时域变换时域H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应的对应第八节由系统函数零、极点分布决定频响特性一、一、H(s)零、极点分布与频响特性的对应零、极点分布与频响特性的对应H(s)零、极点分布与频响特性的对应零、极点分布与频响特性的对应系统正弦稳态响应系统正弦稳态响应系统频响特性系统频响特性二、举例二、举例-滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频
10、响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性三、三、S平面几何分析法平面几何分析法S平面几何分析平面几何分析S平面几何分析平面几何分析 当当 沿虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都沿虚轴移动时，各复数因子（矢量）的模和辐角都随之改变，于是就得出随之改变，于是就得出幅频特性曲线幅频特性曲线和和相频特性曲线相频特性曲线。这种。这种方法称为方法称为“s平面几何分析法平面几何分析法”S平面几何分析平面几何分析讨论讨论H(s)极点位于极点位于s平面实轴平面实轴的情况，包括一阶与二阶系统。的情况，包括一阶与二阶系统。函数仅有 ，且位于实轴上：仅含一个储能元件，或将几个同类储能元件等效为一个储能元件，系
11、统转移一个极点一阶系统S平面几何分析平面几何分析举例举例4.20:4.20:举例举例4.7:4.7:举例举例4.7:4.7:举例举例4.7:4.7:此点为高通滤波器的截止频率点。举例举例4.7:4.7:举例举例4.7:4.7:举例举例4.22:4.22:举例举例4.22:4.22:举例举例4.12:4.12:举例举例4.12:4.12:举例举例4.12:4.12:举例举例4.12:4.12:举例举例4.12:4.12:举例举例4.12:4.12:举例举例4.12:4.12:第十一节线性系统的稳定性一、一、线性系统的稳定性线性系统的稳定性线性系统的稳定性线性系统的稳定性例例4-24已知两因果系统
12、的系统函数激励信号分别为求两种情况的响应并讨论系统稳定性。例例4-24解：激励信号的拉氏变换为：系统响应的拉氏变换为例例4-24系统响应的时域表达式：看出：激励信号有界，而产生无界信号的输出。说明：系统属不稳定。从系统函数的极点看：系统在虚轴上有一阶极点，属临界稳定系统。二、系统稳定性在电路中的具体体现二、系统稳定性在电路中的具体体现稳定系统：稳定系统：通常不含有受控源的RLC电路，一定为稳定系统。振荡系统：振荡系统：只有LC元件构成的电路会出现H(s)极点位于虚轴的情况，h(t)呈等幅振荡。以上两种情况都是无源网络无源网络，它们不能对外部供给能量，响应函数幅度有限的，属稳定或临界稳定系统。含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况。实际上由于电子器件的非线性，电路可从不稳定状态逐步调整至临界稳定状态。利用它可产生自激振荡。举例举例4.25:4.25:举例举例4.25:4.25:举例举例4.25:4.25: