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1、3.3.1 几何概型几何概型(2)例例 某公共汽车站每某公共汽车站每隔隔1515分钟有一辆汽分钟有一辆汽车到达，乘客到达车到达，乘客到达车站的时刻是任意车站的时刻是任意的，求一个乘客到的，求一个乘客到达车站后候车时间达车站后候车时间大于大于10 10 分钟的概率分钟的概率？例例 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于车站后候车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。解：设上辆车于时刻解：设
2、上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时刻到达，而下一辆车于时刻T T2 2到达，线段到达，线段T T1 1T T2 2的长度为的长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，上的点，且且T T1 1T=5T=5，T T2 2T=10T=10，如图所示，如图所示:答：侯车时间大于答：侯车时间大于10 分钟的概率是分钟的概率是1/3.T1T2T记候车时间大于记候车时间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车，则当乘客到达车站的时刻落在线段站的时刻落在线段T T1 1T T上时，事件发生，区域上时，事件发生，区域D D的测的测度为度为1515，区域，区域d d的
3、测度为的测度为5 5。所以所以变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.T1T2T分析：2 2某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔1515分钟有一辆汽车到达，并且出发前分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠在车站停靠3 3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于个乘客到达车站后候车时间大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？分析：设上辆车于时刻分析：设上辆车于时刻T T1 1到达，而下一辆车于时到达，而下一辆车于时刻刻T T0 0到达，到达，T T2 2时刻出发。线段时刻出发。线段T T1 1T T2 2的长度为的
4、长度为1515，设，设T T是是T T1 1T T2 2上的点，且上的点，且T T0 0T T2 2=3=3，TTTT0 0=10=10，如图所示，如图所示:记记候车时间大于候车时间大于1010分钟为事件分钟为事件A A，则当乘客到达车站的，则当乘客到达车站的时刻落在线段时刻落在线段T T1 1T T上时，事件上时，事件A A发生，区域发生，区域D D的测度为的测度为1515，区域，区域d d的测度为的测度为15-3-10=215-3-10=2。所以所以 T1T2TT01.某人一觉醒来某人一觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电想听电台整点报时台整点报时,求他等待的时间
5、不多于求他等待的时间不多于10分钟的概率分钟的概率.解解:设设事件事件A=A=等待的等待的时间时间不多于不多于1010分分钟钟 事件事件A A发发生的区域生的区域为时间为时间段段50,6050,60 巩固练习巩固练习2.2.教室后面墙壁上的时钟掉下来教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了面板摔坏了,刻度刻度5 5至至7 7的部分没了的部分没了,如图如图:但指针运行正常但指针运行正常,若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间时间,求不能看到准确时间的概率求不能看到准确时间的概率.1/61/6巩固练习巩固练习3 3 3 3.在直角坐标系内在直角坐标系内,射线
6、射线OTOT落在落在6060o o 角的终边上角的终边上,任作一条射线任作一条射线OA,OA,求射线求射线OAOA落在落在XOTXOT内的概率。内的概率。巩固练习巩固练习甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在1212点到点到5 5点之间在某地会面点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响且二人互不影响.求二人能会面的概率求二人能会面的概率.想一想想一想解解:以以 X,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻分别表示甲乙二人到达的时刻,于是于是 即点即点 M 落在图中的阴影部分落在图中的阴影部
7、分.所有的点构成一个正方形所有的点构成一个正方形,即即有无穷多个结果有无穷多个结果.由于每人在由于每人在任一时刻到达都是等可能的任一时刻到达都是等可能的,所以落在正所以落在正 方方 形形 内内 各各 点是点是等可能的等可能的.0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)二人会面的条件是：二人会面的条件是：0 1 2 3 4 5yx54321y-x=1y-x=-1我的收获我的收获3.3.几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式1.1.几何概型的几何概型的特征特征2.几何概型的几何概型的定义定义 每个基本事件出现的可能性每个基本事件出现的可能性 .几何概型中所有可能出现的基本事件有几何概
8、型中所有可能出现的基本事件有 个；个；如果某个事件发生的概率只与构成如果某个事件发生的概率只与构成如果某个事件发生的概率只与构成如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量该事件区域的几何度量该事件区域的几何度量该事件区域的几何度量(长度长度长度长度、面积面积面积面积或或或或 体积体积体积体积)成正比例成正比例成正比例成正比例,则称这样的概率则称这样的概率则称这样的概率则称这样的概率模型为几何概率模型。模型为几何概率模型。模型为几何概率模型。模型为几何概率模型。无限无限无限无限相等相等相等相等4.解决几何概型的关键是解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形构造随机事件对应的几何图形
9、.解题步骤解题步骤记事件记事件记事件记事件构造几何图形构造几何图形构造几何图形构造几何图形计算几何度量计算几何度量计算几何度量计算几何度量求概率求概率求概率求概率下结论下结论下结论下结论思考题：思考题：有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积，求图中五角星的面积.(计算结果保留计算结果保留）随堂练习，巩固提高随堂练习，巩固提高随堂练习，巩固提高随堂练习，巩固提高解：记解：记“蚂蚁最后
10、停在五角星内蚂蚁最后停在五角星内”为事件为事件A,解解:以以x x，y y分别表示两人的到达时刻，分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为则两人能会面的充要条件为试一试试一试:3.两人相约两人相约8点到点到9点在某地会面点在某地会面,先到者等候另一人先到者等候另一人20分钟分钟,过时就可离去过时就可离去,试求这两人能会面的概率试求这两人能会面的概率.思考与讨论 假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6 6：3030至至至至7 7：3030之间把报纸送到家，小明离开家
11、去上学的时间在之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早上早上早上早上7 7：0000至至至至8 8：0000之间，问小明在离开家之前能得到报之间，问小明在离开家之前能得到报之间，问小明在离开家之前能得到报之间，问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件纸（称为事件纸（称为事件纸（称为事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？）的概率是多少？）的概率是多少？（提示：可借助直角坐标系）（提示：可借助直角坐标系）（提示：可借助直角坐标系）（提示：可借助直角坐标系）课堂小结课堂小结1.几何概型的特点几何概型的特点.2.
12、几何概型的概率公式几何概型的概率公式.3.公式的运用公式的运用.本节本节核心内容核心内容是几何概型特点及概率是几何概型特点及概率 求法，求法，易错点易错点是容易找是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的规范的步骤和步骤和必要必要的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别.相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无
13、限多个几何概型要求基本事件有无限多个.2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式.复习回顾复习回顾3.3.3.3.在几何概型中，事件在几何概型中，事件在几何概型中，事件在几何概型中，事件A A A A的概率的求解步骤？的概率的求解步骤？的概率的求解步骤？的概率的求解步骤？记事件记事件记事件记事件构造几何图形构造几何图形构造几何图形构造几何图形指出概率类型指出概率类型计算几何度量计算几何度量计算几何度量计算几何度量求概率求概率求概率求概率 1.1.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，这两艘船在一昼夜内到达该码头的时刻的码头，这两艘船在一昼夜内到达该码
14、头的时刻是等可能的，如果甲船停泊时间为是等可能的，如果甲船停泊时间为1h1h，乙船停泊，乙船停泊时间为时间为2h2h，求甲、乙两船中任意一艘船都不需要，求甲、乙两船中任意一艘船都不需要等待码头空出才能进港的概率等待码头空出才能进港的概率.x xy yo o1 12 224242424练习练习解解.以以 7 点为坐标原点，点为坐标原点，小时为单位。小时为单位。x，y 分别表示分别表示两人到达的时间，两人到达的时间，(x，y)构成边长为构成边长为 60的正方形的正方形S，显然这是一个几何概率问题。显然这是一个几何概率问题。两人相约于两人相约于 7 7 时到时到 8 8 时在公园见面，先到者等候时在
15、公园见面，先到者等候 20 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。分钟就可离去，求两人能够见面的概率。6060 o x yS2020他们能见面应满足他们能见面应满足|x y|20，因此，因此，A x y =20 x y =20 P(A)=P(A)=6 64 46 6练习练习3.3.在线段在线段ADAD上任意取两个点上任意取两个点B B、C,C,在在B B、C C 处折断此处折断此线段而得三折线线段而得三折线,求此三折线能构成三角形的概率求此三折线能构成三角形的概率.P=1/41 1在数轴上，设点在数轴上，设点x-3,3x-3,3中按均匀分布出中按均匀分布出现，记现，记a(-1,2a(-1,
16、2】为事件为事件A A，则，则P P（A A）=（）A.1 B.0 C.1/2 D.1/3A.1 B.0 C.1/2 D.1/3C023-3-1考考你2、已知直线、已知直线y=x+b,b-2，3，则直线在，则直线在y 轴上的截距大于轴上的截距大于1的概率是（的概率是（）A、1/5 B、2/5 C、3/5 D、4/5321oB考考你3.3.如图是一个边长为如图是一个边长为1 1的正方形木板，上面的正方形木板，上面画着一个边界不规则的地图，板上的点是画着一个边界不规则的地图，板上的点是雨点打上的痕迹（雨点落在何处是等可能雨点打上的痕迹（雨点落在何处是等可能的），则这个地图的面积为的），则这个地图的
17、面积为考考你4.4.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现发现30min30min的磁带上，从开始的磁带上，从开始30s30s处起，有处起，有10s10s长的长的一段内容包含间谍犯罪的一段内容包含间谍犯罪的 信息后来发现信息后来发现,这段谈话这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多
18、大？部分或全部擦掉的概率有多大？解解:记事件记事件A:A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉全部擦掉当按错键时刻在当按错键时刻在30-40s时间段部分被时间段部分被擦擦掉掉,当当按错键时刻在按错键时刻在0-30s0-30s时间段全部被时间段全部被擦掉擦掉,则事件则事件A A发生就是在发生就是在0-40s,0-40s,即即-minmin时间段内按错时间段内按错键故键故 P(A)=2 2 3 330=1 1 45455.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，在斜边中，在斜边AB上任取一点上任取一点M，求，求AM小于小于AC的概率的概率.分析：分析：点点
19、M M随机地落在线段随机地落在线段ABAB上，故线段上，故线段ABAB为区域为区域D D。当点。当点M M位于图中的线段位于图中的线段ACAC上时，上时，AMAMACAC，故线段，故线段ACAC即为区域即为区域d d。解：解：在在ABAB上截取上截取AC=ACAC=AC，于是，于是 P P（AMAMACAC）=P=P（AMAMACAC）则则AMAM小于小于ACAC的概率为的概率为ABCC考考你6.在半径为在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？BCDE.0解解：记事件：记事
20、件A=弦长超过圆内接弦长超过圆内接等边三角形的边长等边三角形的边长，取圆内接，取圆内接等边三角形等边三角形BCD的顶点的顶点B为弦为弦的一个端点，当另一点在劣弧的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，上时，|BE|BC|，而弧，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有所以可用几何概型求解，有则则“弦长超过圆内接等边三角形的边长弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为的概率为考考你 7 7 如图，在三角形如图，在三角形AOBAOB中中,已知已知AOB=60AOB=60,OA=2,OA=2，OB=5OB=5，在线段，在线段OBOB上任取一上任取一点点C C，
21、求，求AOCAOC为钝角三角形的概率为钝角三角形的概率.D DE EA AB BO OC C8.8.假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早送报人可能在早上上6:306:307:307:30之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家,你父亲你父亲离开家去工作的时间在早上离开家去工作的时间在早上7:007:008:008:00之间之间,问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少?解解:以横坐标以横坐标X表示报纸送到时间表示报纸送到时间,以纵坐标以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标表示父亲离家时间建立平面直角坐标系系,
22、假设随机试验落在方形区域内任何一假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的点是等可能的,所以符合几何概型的条件所以符合几何概型的条件.根据题意根据题意,只要点落到阴影部只要点落到阴影部分分,就表示父亲在离开家前能就表示父亲在离开家前能得到报纸得到报纸,即时间即时间A发生发生,所以所以9.9.某某商商场场为为了了吸吸引引顾顾客客,设设立立了了一一个个可可以以自自由由转转动动的的转转盘盘,并并规规定定:顾顾客客每每购购买买100100元元的的商商品品,就就能能获获得得一一次次转转动动转转盘盘的的机机会会.如如果果转转盘盘停停止止时时,指指针针正正好好对对准准红红、黄黄或或绿绿的的区区域域,顾顾客
23、客就就可可以以获获得得100100元元、5050元元、2020元元的的购购物物券券(转转盘盘等等分分成成2020份份).).某顾客购物某顾客购物120120元元.问问:(1)(1)他获得购物券的概率是多少？他获得购物券的概率是多少？(2)(2)他得到他得到100100元、元、5050元、元、2020元的购物券的概率分别元的购物券的概率分别 是多少？是多少？解解:甲甲顾顾客客购购物物的的钱钱数数在在100100元元到到200200元元之之间间，可可以以获获得得一一次次转转动动转转盘盘的的机机会会,转转盘盘一一共共等等分分了了2020份份,其其中中1 1份份红红色色、2 2份份黄黄色色、4 4份份
24、绿绿色色,因因此此对对于于顾客来说：顾客来说：P(P(获得购物券获得购物券)=)=P(P(获得获得100100元购物券元购物券)=)=P(P(获得获得5050购物券购物券)=)=P(P(获得获得2020购物券购物券)=)=思考题：思考题：有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积，求图中五角星的面积.(计算结果保留计算结果保留）巩固提高巩固提高巩固提高巩固提高解：记解：记“蚂蚁最后停在五角星内蚂蚁最后停在五角星内”为事件为事件A,