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1、1考虑所有的n维行(或列)向量形成的集合,由于这些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩阵,可以进行加法运算和数乘运算,并且运算的结果仍然是n维行(列)向量.即该集合关于加法运算和数乘运算是封闭的，在数学上我们称该集合关于这两个运算构成了一个运算系统，这个系统就是我们本章要定义的向量空间.：第四章第四章向量间的线性关系与线向量间的线性关系与线性方程组空间性方程组空间2向量之间关于这两个运算的关系,即所谓的线性关系则是线性代数所要研究的核心内容.利用这些理论去解释线性方程组求解过程,将会发现对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其化为行阶梯型时,这些阶梯型矩阵中其元素不全为零的行的数目其实是该矩
2、阵行向量间和列向量间所共有的一个十分重要的数字特征,从而我们能够更深入地了解线性方程组解的结构.34.1向量空间向量空间和子空间的和子空间的定义定义4.2线性组合与线性表出线性组合与线性表出4.3线性相关与线性无关线性相关与线性无关4.4向量空间的基和维数向量空间的基和维数4.5极大无关组和向量组的秩极大无关组和向量组的秩4.6矩阵的秩矩阵的秩4.7线性方程组解的线性方程组解的结构结构4.8基变换和坐标变换基变换和坐标变换*44.1定义及性质定义及性质 一、一、向量空间的定义向量空间的定义如上定义的如上定义的n维向量也称为维向量也称为n维维行向量行向量.n维向维向量也可以用量也可以用列列的形式
3、写出的形式写出,称为称为列向量列向量:任意任意n个个(实实)数数a1,a2,an 构成的如下的构成的如下的n元有元有序组序组(a1,a2,an)称为称为n维维(实实)向量向量,每一每一ai称为此向量的第称为此向量的第i个个分量分量.5其中，其中，b1,b2,bn为任意（实）数为任意（实）数.如无特别申如无特别申明，明，n维向量均为实向量维向量均为实向量.6通常通常,记为记为R所有实数的集合所有实数的集合,并记并记Rn为所有为所有n维维行向量的集合或所有行向量的集合或所有n维列向量的集合维列向量的集合.现考虑为现考虑为所有所有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有维行向量的集合的情形（同理可讨
4、论为所有n维列向量的集合的情形）维列向量的集合的情形）.7向量的相等向量的相等:两个向量两个向量=(a1,a2,an)和和=(b1,b2,bn)相等相等，当且仅当，当且仅当ai=bi,i=1,2,n,并记为并记为=.零向量零向量:分量全为零的向量称为分量全为零的向量称为零向量零向量，记为，记为O=(0,0,0)负向量负向量:任一向量任一向量=(a1,a2,an)的各分量反号得的各分量反号得到的向量称为到的向量称为 的的负向量负向量，记为，记为 =(a1,a2,an)8向量的和向量的和:设设=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn),则则 与与 的的和和为为 +=(a1+b1,a2+b2,a
5、n+bn)数乘向量数乘向量:设设=(a1,a2,an)，k是任一实数，是任一实数，则数则数k与向量与向量 的的积积为为k =k(a1,a2,an)=(ka1,ka2,kan)向量的差向量的差:设设=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn),则则 与与 的的差差为为 =(a1 b1,a2 b2,an bn)9显然,关于向量的加法和数乘,定理中运算律成立.我们现在定义：10所有所有n维实向量的集合维实向量的集合Rn中定义了如上的向量加中定义了如上的向量加法和数乘向量两种运算法和数乘向量两种运算,(并满足如下的并满足如下的8条运算律条运算律)称为称为n维实向量空间维实向量空间.1 +=+（加法交
6、换律）（加法交换律）2 +(+)=(+)+（加法结（加法结合律）合律）3+O=4+(-)=O51=6k(l)=(kl)7.k(+)=k+k 8.(k+l)=k+l 其中其中,是任意向量是任意向量,k,l是任意的实数是任意的实数.11特别地我们有：设特别地我们有：设,是是Rn中任意两个向量，则中任意两个向量，则(i)0=O，kO=O；k为任意实数；为任意实数；(ii)如如k=O，那么那么k=0或者或者=O；(iii)如如+=O，那么那么=；(iv)(1)=12二二.向量子空间向量子空间定义定义4.1.3设设W是的是的Rn一个非空子集一个非空子集.如果如果(i)对任意的对任意的,W，均有均有+W;
7、(ii)对任意的对任意的 W 和任意的和任意的kR，有有k W.则称则称W是是Rn的一个的一个子空间子空间.子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定义中的八条运算律义中的八条运算律.从而从而将向量空间和它的子空将向量空间和它的子空间均称为间均称为向量空间向量空间.13例例1证明证明:如果如果W是是Rn的一个子空间的一个子空间,则必有则必有O W.例例2设设S为为R2中所有形如中所有形如(a为为任意任意实实数数)的向的向量的集合量的集合,验证验证S是是R2的一个子空的一个子空间间.例例3验证下述集合是验证下述集合是Rn(n 2)的一个子空间的一个子空间.1
8、4例例4验证如下形式的向量的全体构成的集合验证如下形式的向量的全体构成的集合不是不是的子空间的子空间.明显地，明显地，Rn是是Rn自身的子空间自身的子空间;另外另外,只含零只含零向量的子集向量的子集=O也是也是Rn的一个子空间的一个子空间.154.2线性组合与线性表出线性组合与线性表出一、一、线性组合与线性表出线性组合与线性表出定义定义 设设 1,2,m Rn,k1,k2,km为为m个数个数,称向称向k1 1+k2 2+km m为向量组为向量组 1,2,m的一个线性组合的一个线性组合.，16定义定义 设设 1,2,m,Rn,如果存在数如果存在数l1,l2,lm使得使得=l1 1+l2 2+lm
9、 m则称则称向量向量可由向量组可由向量组 1,2,m线性表出线性表出.，17例例4.2.1线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式:给定一线性方给定一线性方程组程组令系数矩阵令系数矩阵 aijm n的列向量组为的列向量组为 1,2,n,而而且令向量且令向量 =(b1,b2,bm)T,则则该该线性方程组可以线性方程组可以表示为以下向量形式：表示为以下向量形式：x1 1+x2 2+xn n=从而从而,线性方程组线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程是否有解当且仅当该方程组的常数项向量组的常数项向量 是否可由其系数矩阵的列向量组是否可由其系数矩阵的列向量组 1,1,n线性表出线性表出.18例
10、例4.2.2试判定向量试判定向量=(1,2,0,2)T是否可由向是否可由向量组量组线性表出线性表出.1=(1,1,1,0)T,2=(1,1,0,1)T,3=(1,0,1,1)T,4=(0,1,1,1)T19定理定理4.2.1设设 1,2,m是一组向量，则是一组向量，则span(1,2,m)是一个向量空间是一个向量空间.二、生成子空间二、生成子空间*20推论推论设设W是是Rn的一个子空间的一个子空间,1,2,m是是W中一组向量中一组向量,则则W=span(1,2,m)（即即W由向由向量组量组 1,2,m所生成）的充分必要条件是：所生成）的充分必要条件是：W中每一向量可由中每一向量可由 1,2,m
11、线性表出线性表出.定理定理4.2.2设设W是是Rn的一个子空间的一个子空间,1,2,m是是W中一组向量中一组向量,则则span(1,2,m)W21注注.若若W=span(1,2,m),则称则称 1,2,m是子空间是子空间W的一组的一组生成元生成元,并称并称W为为 1,2,m生成的子空间生成的子空间.22一一 定义定义线性相关与线性无关是线性代数中十分重要的概线性相关与线性无关是线性代数中十分重要的概念，是理解向量空间构成的关键性概念念，是理解向量空间构成的关键性概念.4.34.3 线性相关与线性无关线性相关与线性无关23取取,为平面为平面上起点在原点且不共线的两个向量上起点在原点且不共线的两个
12、向量.则则,生成了生成了的一个子空间的一个子空间.由由,不共线知不共线知,对对任意的两个不全为零的数任意的两个不全为零的数k和和l,线性组合线性组合k+l 不不是零向量是零向量.否则否则,如有不全为零的数如有不全为零的数k和和l,使得使得k+l=O不妨设不妨设l0，则有，则有 =(k/l)从而从而 与与 共线共线(即即是是 的的倍倍),矛盾矛盾.因此因此,等式等式k+l=O，k，l R要成立要成立,必须有必须有k 0和和l 0同时成立同时成立.此时称此时称 与与 是线性无关的是线性无关的.24另外，由另外，由,生成生成W知，知，W中任意向量中任意向量 可由可由,线性表出线性表出,即存在实数即存
13、在实数c和和d，使得，使得 =c+d 即有即有 c+d =O (4.3.1)从而从而,有不全为零的数有不全为零的数c,d,和和 1,使得使得(4.3.1)成立成立.这时称这时称向量组向量组 ,是线性相关的是线性相关的.25设设 1,2,m是向量空间是向量空间V的一组向量的一组向量.如存如存在一组不全为零的数在一组不全为零的数k1,k2,km使得使得k1 1+k2 2+km m=O(4.3.2)则称则称 1,2,m是是线性相关线性相关的；的；否则否则,当且仅当当且仅当k1,k2,km全为零时全为零时(4.3.2)式才成式才成立立,则称则称 1,2,m是是线性无关线性无关的的.26 单单独一个向量
14、独一个向量线线性相关当且性相关当且仅仅当它是零向当它是零向量量 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量向量两向量线性相关两向量线性相关两向量对应元素成比例两向量对应元素成比例两向量线性无关两向量线性无关两向量不对应成比例两向量不对应成比例注注.27 一向量组中存在一个一向量组中存在一个向量，则一定线性相向量，则一定线性相关关 几何上：两向量线性相关几何上：两向量线性相关两向量共线；两向量共线；三向量线性相关三向量线性相关三向量共面三向量共面.2829分析分析.判断判断 1，2，3是否线性相关，即，求是否是否线性相关，即，求是否存在非零常数存在非零常数k1，
15、k2，k3使得使得k1 1k2 2k3 30写成方程组的形式为写成方程组的形式为利用行初等变换的方法解此方程组利用行初等变换的方法解此方程组.30(1)解解.因为因为故故 1，2，3线性无关线性无关.31(2)解解.因为因为故故 1，2，3，4线性相关线性相关.3233小结：判定给定的一向量组小结：判定给定的一向量组 1,2,m是否线是否线性相关或线性无关，通常运用性相关或线性无关，通常运用“待定系数法待定系数法”，即，即设待定系数设待定系数满足关系式满足关系式再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一再根据向量相等则各对应分量分别相等而得到一个关于这个关于这m个待定系数（做为未知量）的齐次线
16、个待定系数（做为未知量）的齐次线性方程组，并进一步求解性方程组，并进一步求解.如有非零解如有非零解,则则 1,2,m线性相关线性相关.否则否则,1,2,m线性无关线性无关.在在本章第六节我们还将引入初等变换的方法对向量本章第六节我们还将引入初等变换的方法对向量组的线性相关性进行判定组的线性相关性进行判定.3435向量组向量组(m 2)线性相关的充分必要条件是此向量线性相关的充分必要条件是此向量组中组中至少至少有一个向量是其余向量的线性组合有一个向量是其余向量的线性组合.二二.性质性质证证.必要性必要性.线线性相关，性相关，至少有一个系数至少有一个系数ki0，使得，使得36充分性充分性.所以所以
17、A线线性相关性相关.37设设 1,2,m和和 1,2,s是两组向量是两组向量.如如果每一果每一 i均可由均可由 1,2,m线性表出线性表出,则称向则称向量组量组 1,2,s可由向量组可由向量组 1,2,m线性线性表出表出;进一步进一步,如果向量组如果向量组 1,2,m也可由向也可由向量组量组 1,2,s线性表出线性表出,则称两向量组则称两向量组等价等价.38注注线性表出具有线性表出具有“传递性传递性”，即，设向量组，即，设向量组 1,2,m也可由向量组也可由向量组 1,2,s线性表出，线性表出，而而 1,2,s可由可由 1,2,t 线性表出，则线性表出，则 2,m也可由向量组也可由向量组 1,
18、2,t线性表出线性表出.39设向量组设向量组 1,2,m可由向量组可由向量组 1,2,s线性表出线性表出,即，即，写成矩阵形式写成矩阵形式40设向量组设向量组 1,2,m可由向量组可由向量组 1,2,s线性表出线性表出,并且并且ms，则，则 1,2,m线性相关线性相关.通俗地：通俗地：“多的如能被少的表出，则相关多的如能被少的表出，则相关”.*如向量组如向量组 1,2,m可由向量组可由向量组 1,2,s线性表出，并且线性表出，并且 1,2,m线性无关，则必有线性无关，则必有m s.此定理可等价地叙述为：此定理可等价地叙述为：通俗地说，通俗地说，“少的不能表出多的无关组少的不能表出多的无关组”.
19、41推论推论4.3.1两组线性无关的向量组如果等价则所含两组线性无关的向量组如果等价则所含向量个数相等向量个数相等.推论推论4.3.2多于多于n个的个的n维向量组线性相关维向量组线性相关.证明证明.由与由与例例3可以得出结论可以得出结论.42434445定理定理4.3.3一组线性无关的一组线性无关的n维向量添加维向量添加k个同序个同序号分量后得到的号分量后得到的n+k维向量组仍然线性无关维向量组仍然线性无关.（“原无关，添加分量后仍无关原无关，添加分量后仍无关”）此定理可等价地表述为此定理可等价地表述为:定理定理4.3.3*设设 i=(ai1,ai2,aim),i=1,2,s是一组线性相关的是
20、一组线性相关的n维向量维向量.则去掉每一则去掉每一 i中第中第j1,j2,jk 位上的分量位上的分量(1j1j1jkm)后得到向后得到向量组也线性相关量组也线性相关.（“原相关，去掉分量后仍相关原相关，去掉分量后仍相关”）.46注注：“原无关，去掉分量后可能相关原无关，去掉分量后可能相关”；“原相关，添加分量后可能无关原相关，添加分量后可能无关”.47定理定理 一个向量一个向量组组中若部分向量中若部分向量线线性相关，性相关，则则整个向量整个向量组组也也线线性相关性相关证证.设设向量向量组组 中有中有r个向量个向量线线性相关，性相关，不妨不妨设设 线线性相关，性相关，则则存在一存在一组组不全不全
21、为为零的数零的数 ，使得，使得因而存在不全因而存在不全为为零的数零的数 使得使得故故 线线性相关性相关.48定理定理*线线性无关的向量性无关的向量组组中任一部分向量中任一部分向量组组也也线线性无关性无关49答案答案：应用定理：应用定理4.3.5.50例例6.6.若向量若向量组组 线线性相关，而向性相关，而向量量组组 线线性无关，性无关，则则向量向量 可由可由 线线性表出，且表示法唯一性表出，且表示法唯一.证证明明.514.4向量空间的基和维数向量空间的基和维数向量空间向量空间V 中一组向量中一组向量 1,2,m如满足如满足(i)1,2,m线性无关线性无关;(ii)V 中任一向量可由此向量组线性
22、表出中任一向量可由此向量组线性表出.则称则称 1,2,m为为V 中的一个中的一个基基.5253设设 1,2,s和和 1,2,t均为向量空间均为向量空间W的基的基.那么必有那么必有s=t.证明证明.由由推论推论直接可得直接可得.一向量空间一向量空间V O时时,V 的任一基所含向量个数的任一基所含向量个数称为称为V的的维数维数;当当V=O时时,称称V 的维数为的维数为0.54注注.由此例子可看到由此例子可看到,一向量空间的向量是一向量空间的向量是n维的维的,但此空间的维数却可能小于但此空间的维数却可能小于n.例例取上一节例取上一节例5中的向量组中的向量组554.5极大无关组与向量组的秩极大无关组与
23、向量组的秩给定一组向量给定一组向量,它们可能是线性相关的它们可能是线性相关的,但其部但其部分向量组可能是线性无关的分向量组可能是线性无关的.而确定其部分向量而确定其部分向量组线性无关向量的组线性无关向量的最大个数最大个数则十分重要则十分重要.它不但它不但可确定这组向量生成的子空间的维数可确定这组向量生成的子空间的维数,而且在定而且在定义矩阵的秩义矩阵的秩,讨论线性方程组解的结构等都起着讨论线性方程组解的结构等都起着关键的作用关键的作用.56例如例如,下述五个四维向量显然线性相关下述五个四维向量显然线性相关.57称一向量组称一向量组 1,2,m的部分向量组的部分向量组 i1,i2,ir(i1i2
24、ir)为一为一极大线性无关组极大线性无关组(简称简称极大无关组极大无关组),如果如果(i)i1,i2,ir线性无关线性无关;(ii)每一每一 j,1 j m,可由可由 i1,i2,ir 线性表线性表出出.注注.由由例例6可知，可知，(ii)可等价地表示为可等价地表示为(ii)每一每一 j(1 j m),j,i1,i2,ir 线性相关线性相关.58一向量组的任一极大无关组所含向量的个数称为一向量组的任一极大无关组所含向量的个数称为此向量组的此向量组的秩秩.一向量组的任意两个极大无关组所含向量个数一向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等相等.证明证明.由由推论推论直接可得直接可得.59定理定理
25、4.5.2*i1,i2,ir是向量组是向量组 1,2,m的极大无关组，当且仅当的极大无关组，当且仅当 i1,i2,ir是向量空是向量空间间span(1,m)的的基基.注注.向量组向量组 1,2,m与它的任一极大无关组与它的任一极大无关组 i1,i2,ir等价等价.定理定理设向量组可由向量组1,2,s线性表出,则向量组60定理定理4.5.3设向量组设向量组 1,2,m可由向量组可由向量组 1,2,s线性表出线性表出,则向量组则向量组 1,2,m的秩不的秩不大于向量组大于向量组 1,2,s的秩的秩.定理定理设向量组可由向量组1,2,s线性表出,则向量组61例例求向量组求向量组 1=(0,2,6,0
26、,8)，2=(1,3,2,0,4),3=(1,2,5,0,0)，4=(3,8,5,2,11)的秩，一个极大无关组，的秩，一个极大无关组，并将其它向量用此极大并将其它向量用此极大无关组线性表出无关组线性表出解解.626364故向量组故向量组 1,2,3,4的秩为的秩为3，1,2,4是是一一个极大无关组，且有个极大无关组，且有654.6矩阵的秩矩阵的秩66定理定理4.6.1初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.由于任意矩阵的行秩与列秩相等，则统称矩阵由于任意矩阵的行秩与列秩相等，则统称矩阵的行秩和列秩为此的行秩和列秩为此矩阵的秩矩阵的秩,并记一矩阵并记一矩阵A的秩为的秩为r(A).一矩阵一
27、矩阵A的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为A的的行秩行秩;而其列而其列向量组的秩称为向量组的秩称为A的的列秩列秩.定理定理4.6.2矩阵的行秩与列秩相等矩阵的行秩与列秩相等.由此定理和定理由此定理和定理2.4.1(3),我们得到又一个方阵我们得到又一个方阵可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件:推论推论一阶方阵可逆的充分必要条件为一阶方阵可逆的充分必要条件为r(A)=n.67在一个在一个m n级矩阵级矩阵A中中,任取其中不同的任取其中不同的k行和行和不同的不同的k列列(k m,n)交叉位上的交叉位上的k2个元素构成的个元素构成的k阶行列式称为阶行列式称为A的一个的一个k阶子式阶子式.定理定理4.
28、6.3矩阵矩阵A的秩为的秩为r当且仅当当且仅当A中存在一个中存在一个不等于不等于0的的r阶子式，并且阶子式，并且A中所有中所有r+1子式子式(如存在如存在)均等于均等于0.68对于对于向量组向量组，将此向量组作为列行向量构造一个，将此向量组作为列行向量构造一个矩阵矩阵A，并对并对A仅施行初等行变换将其化为行最仅施行初等行变换将其化为行最简形矩阵简形矩阵B，则则B保持保持A的列向量组间的线性关的列向量组间的线性关系系.从而有从而有:求矩阵的秩以及向量组的秩的方法求矩阵的秩以及向量组的秩的方法：对于对于矩阵矩阵，对其施行初等行变换化成行阶梯形，对其施行初等行变换化成行阶梯形，而阶梯形中不全为零的行
29、的个数即为其秩，而这而阶梯形中不全为零的行的个数即为其秩，而这些不全为零的行对应于原矩阵的行的行向量组即些不全为零的行对应于原矩阵的行的行向量组即为原矩阵行向量组的一个极大无关组为原矩阵行向量组的一个极大无关组.69(i)如如 j1,j2,jr是是B的不全为零的行的第一个的不全为零的行的第一个不为零的数所在列的列向量不为零的数所在列的列向量,则则A中对应于中对应于 j1,j2,jr的列向量是的列向量是 j1,j2,jr的列向量组的极大的列向量组的极大无关组；无关组；(ii)如如 j是是B的一个列向量的一个列向量,且且 j=k1 j1+k2 j2+kr jr,则则A中对应于中对应于 j的列向量的
30、列向量 j=k1 j1+k2 j2+kr jr.707172即，即，1,2,s可由可由 1,2,n线性表出，线性表出，同理可证同理可证总之，总之，故故 1,2,s的任一极大无关组可由的任一极大无关组可由 1,2,n的任一极大无关组线性表出的任一极大无关组线性表出，从而，从而734.线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.7.1.齐次线性方程组的基础解系和通解齐次线性方程组的基础解系和通解从第一章我们知道，齐次线性方程组若有非零解，从第一章我们知道，齐次线性方程组若有非零解，则必有无穷多解当然，人们不可能逐一写出全则必有无穷多解当然，人们不可能逐一写出全部解但是，这些解之间存在一定的线性关系部解
31、但是，这些解之间存在一定的线性关系由这些线性关系，就可给出齐次线性方程组的由这些线性关系，就可给出齐次线性方程组的通通解解74定理定理.7.1齐次线性方程组齐次线性方程组(4.7.1)有非零解的有非零解的充分必要条件为充分必要条件为r(A)n；而只有零解的充分必要而只有零解的充分必要条件为条件为r(A)n75如果向量如果向量 1,2是齐次线性方程组是齐次线性方程组(4.7.1)解向量，解向量，k是任意常数，则是任意常数，则 1 2，k 1均是均是(4.7.1)的解的解向量向量推论推论n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是r(A)=n从而，从而，(4.7.1)的全体解向量构成了
32、一个向量空的全体解向量构成了一个向量空间，称为间，称为(4.7.1)的的解空间解空间.76定义定义.7.1一齐次线性方程组如有非零解，一齐次线性方程组如有非零解，则其解空间的一个基称为此齐次线性方程组的一则其解空间的一个基称为此齐次线性方程组的一个个基础解系基础解系设齐次线性方程组设齐次线性方程组(4.7.1)的系数矩阵的秩的系数矩阵的秩r n,则则(4.7.1)的基础解系由的基础解系由n r 个解向量组成个解向量组成77此行最简型作为系数矩阵所对应的方程组为，即此行最简型作为系数矩阵所对应的方程组为，即78令令79显然显然是齐次方程组的一组解，且由于是齐次方程组的一组解，且由于右边的向量组无
33、关，故以上的向右边的向量组无关，故以上的向量组也是一个无关组量组也是一个无关组.80另一方面，把上述方程组写成向量的形式，另一方面，把上述方程组写成向量的形式，这表示，方程组的任意一组解均可表示为向量的这表示，方程组的任意一组解均可表示为向量的 线性组合线性组合,故其为故其为基础解系基础解系.81定义定义.7.2设齐次线性方程组设齐次线性方程组(16)的系数矩阵的系数矩阵的秩的秩rn，而向量组而向量组 1,2,n-r 是其基础解是其基础解系，则称向量系，则称向量 k1 1+k2 2+kn-r n-r为为(16)的的通解通解，其中，其中k1,k2,kn-r为任意常数为任意常数82例例求下述齐次线
34、性方程组的一个基础解系，并写求下述齐次线性方程组的一个基础解系，并写出其通解出其通解.解解.对系数矩阵作初等行变换对系数矩阵作初等行变换83所以所以84从而基从而基础础解系解系为为通解通解为为85解解.对系数矩阵作初等行变换对系数矩阵作初等行变换补充例补充例1 1 求下列齐次线性方程组求下列齐次线性方程组的基的基础础解系与通解解系与通解.86从而基从而基础础解系解系为为通解通解为为所以所以87补充例补充例2求下列以求下列以A为系数矩阵齐次方程组的基为系数矩阵齐次方程组的基础解系与通解础解系与通解88所以，基所以，基础础解系解系为为所以所以线线性方程性方程组组的通解的通解为为894.7.2.非齐
35、次的线性方程组的解的讨论非齐次的线性方程组的解的讨论设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组AX=(4.7.5)其中其中A=(aij)m n,X=(x1,x2,xn)T,(b1,b2,bm)T,并且并且b1,b2,bm 不全为零不全为零.上述方程组有解时上述方程组有解时,其解与对应的齐次线性方程其解与对应的齐次线性方程组组AX=O(4.7.6)的解有着密切的联系的解有着密切的联系.90定义定义4.7.3称齐次线性方程组称齐次线性方程组(4.7.6)为线性方程组为线性方程组(4.7.5)的的导出方程组导出方程组设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组(4.7.5)有解有解,并且其系数并且其系数矩阵矩阵A
36、的秩为的秩为rn,0是其一个特定的解向量是其一个特定的解向量(称为称为特解特解)，而，而 1,2,n-r 是导出方程组是导出方程组(4.7.6)的的一个基础解系，则非齐次线性方程组的全部解一个基础解系，则非齐次线性方程组的全部解(也也称为称为(4.7.5)的的通解通解)为为 0+k1 1+k2 2+kn-r n-r（）（）其中其中k1,k2,kn-r为任意常数为任意常数91推论推论4.7.1线性方程组线性方程组(4.7.5)的任意两个解向量的任意两个解向量的差是其导出方程组的差是其导出方程组(4.7.6)的一个解向量；线性的一个解向量；线性方程组方程组(4.7.5)的一个解向量与其导出方程组的
37、一个解向量与其导出方程组(4.7.6)的一个解向量的和是线性方程组的一个解向量的和是线性方程组(4.7.5)的一个解的一个解向量向量.注注通解不要写成通解不要写成k0 0+k1 1+k2 2+kn-r n-r 92结合第一章的讨论结合第一章的讨论,得如下结论得如下结论.设线性方程组设线性方程组(20)的系数矩阵的秩为的系数矩阵的秩为r,增广矩阵增广矩阵的秩为的秩为r.那么那么(i)r r,则方程组则方程组(20)无解无解;(ii)r=r=n,则方程组则方程组(20)的解唯一的解唯一;(iii)r=rn,则方程组则方程组(20)有无穷多的解有无穷多的解,其通解由其通解由(22)式给出式给出.93
38、例例4.7.2求下述非齐次线性方程组的通解：求下述非齐次线性方程组的通解：解解.对方程组的增广矩阵进行行初等变换：对方程组的增广矩阵进行行初等变换：94所以所以原方程组的一个特解为原方程组的一个特解为95导导出出组组的基的基础础解系解系为为通解通解为为96因因所以线性方程组有无穷多解所以线性方程组有无穷多解.解解.对增广矩阵进行行初等变换：对增广矩阵进行行初等变换：补充例补充例3求解下列非齐次线性方程组求解下列非齐次线性方程组97令令，求得基础解系为，求得基础解系为98令令，得一特解，得一特解故所求通解为故所求通解为99求该方程组的通解求该方程组的通解.补充例补充例4设四元非齐次线性方程组设四
39、元非齐次线性方程组Axb的系数的系数矩阵矩阵A的秩为的秩为3，已知它的解向量为，已知它的解向量为 ，其，其中中解解.方程组的导出组基础解系含方程组的导出组基础解系含4 3=1个向量，为个向量，为100故方程组的通解为故方程组的通解为1012)有解时，进一步将此阶梯形矩阵化为有解时，进一步将此阶梯形矩阵化为行最简形行最简形,并利用此行最简形的系数矩阵部分并利用此行最简形的系数矩阵部分(去掉最后一列去掉最后一列),求以此为系数矩阵的齐次线性方程组的一个基求以此为系数矩阵的齐次线性方程组的一个基础解系，例如：础解系，例如：总结：总结：求非齐次线性方程组的通解的步骤如下：求非齐次线性方程组的通解的步骤
40、如下：1)将其增广矩阵经初等行变换化为将其增广矩阵经初等行变换化为行阶梯形行阶梯形后判后判断是否有解；断是否有解；1023)再利用此行最简形矩阵为增广矩阵求对应的再利用此行最简形矩阵为增广矩阵求对应的非齐次线性方程组的一个特解非齐次线性方程组的一个特解 0令自由变元全取令自由变元全取零即可（便于计算）零即可（便于计算）.1034.8基变换与坐标变换基变换与坐标变换*104105106问题问题是：作为同一向量在不同基下的坐标向量，是：作为同一向量在不同基下的坐标向量，(d1,d2,dn)T与与(c1,c2,cn)T之间的关系如何表之间的关系如何表示？示？107108109定理定理4.8.2向量空间向量空间V的任两个基之间的过渡矩阵的任两个基之间的过渡矩阵可逆可逆.110111小小结结112113114若已知具体的向量数值若已知具体的向量数值115116117118119作业：作业：pp.?-?，1,2，3,5(1)，6(2),(4)，8，11,13,18,19,22,23(2),25(2),26(1),27.