《线性代数》电子教案-第四章.ppt

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1、线性代数线性代数电子教案电子教案第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算 一一.n维向量的概念维向量的概念 n 维维向向量量 本本 质质 表现形式表现形式 几何背景几何背景 n个数个数a1,a2,an 构成的有序数组构成的有序数组 向量向量/点的坐标点的坐标 列矩阵列矩阵 行矩阵行矩阵 行向量行向量 列向量列向量 分量分量 n n维向量维向量维向量维向量的定义的定义的定义的定义一一对应一一对应一一对应一一对应第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.

2、1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 注意：注意：注意：注意：这里的“维”只是沿用一些几何术语，不一定有确定的几何形象（n3时）。二二.n维向量空间的概念维向量空间的概念 把n维向量的全体所组成的集合称为n维向量空间。三三.向量组的概念向量组的概念 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组。第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 用向量组表示矩阵用向量组表示矩阵用行向量组表示用列向量组表示第四章第四章第四章第四

3、章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 用矩阵表示向量组用矩阵表示向量组已知m个n维行向量，可用矩阵表示成mn的矩阵第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 用矩阵表示向量组用矩阵表示向量组已知m个n维列向量，可用矩阵表示成nm的矩阵显然，含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线

4、性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 与矩阵的线性运算相同都是对应分量的线性运算 四四.n维向量的线性运算维向量的线性运算 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 五五.n维向量的线性运算性质维向量的线性运算性质 与矩阵的线性运算性质相同第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.

5、1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 n维向量:1,2,s 六六.线性组合和线性表示线性组合和线性表示 常数:k1,k2,ks 线性组合:k11+k22+kss =k1 1+k2 2+ks s 对n维向量，若存在常数:k1,k2,ks使得 则称能由向量组1,2,s线性表示.或称能由向量组1,2,s生成.注意：这里没有强调常数全不为零注意：这里没有强调常数全不为零4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 例例1.n维基本单位向量组维基本单位向量组 1=100,2=010,n=001.,第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关

6、性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 任何一个n维向量 =a1a2an 都能由1,2,n线性表示.=a1 100+a2 010+an 001.事实上,第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 A=(1,2,s)=b1b2bn,已知能由1,2,s线性表示第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性

7、 a11 a12 a1sa21 a22 a2s an1 an2 ans=线性组合与线性方程组的关系线性组合与线性方程组的关系4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 根据线性表示的定义，必然有常数:x1,x2,xs使得 =x1 1+x2 2+xs s 注意：按照定义，向量相等的实质上就是各对应分量相等，则上式等价于线性方程组4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性

8、向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 写成矩阵形式为Ax=bx=x1x2xs 其中A=(1,2,s)a11 a12 a1sa21 a22 a2s an1 an2 ans=4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 能由 1,2,s线性表示 方程组Ax=有解.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 根据线性组合的定义，常数 x1,x2,xs必然存在，因此线性方程组Ax=b必然有解。故：由此，我们有理由推测向量的线性表示问题与线性方程组解的问题有更深入的联系。4.1.2 向量组之

9、间的关系向量组之间的关系 4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 能由 线性表示,例如:2030,1001,但2030不能由 线性表示.,1001,定义：定义：设有两个同维向量组A:a1,a2,am及B：b1,b2,bl,如果B中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。注意：向量组B能由向量组A线性表示方程AX=B有解.1.向量组的线性表示向量组的线性表示矩阵的乘积Cm n=Am s Bs n,=行向量 i=ai1 1+

10、ai2 2+ais s,i=1,2,m.列向量 j=b1j 1+b2j 2+bsj s,j=1,2,n,向量组的线性表示:4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 2.向量组的线性表示与矩阵乘积向量组的线性表示与矩阵乘积 简记为简记为简记为简记为A A :1 1,2 2,s s,C C :1 1,2 2,n n.若若若若 j j=b b1 1j j 1 1 +b b2 2j j 2 2 +b bsj sj s s ,j j=1 1,2 2,n n,

11、即即即即 =1 1 2 2 n n 1 1 2 2 s s4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 列向量组列向量组C能由能由A线性表示线性表示简记为简记为简记为简记为B B:1 1,2 2,s s,C C :1 1,2 2,mm.若若若若 i i=a ai i1 1 1 1 +a ai i2 2 2 2 +a ais is s s,i i=1 1,2 2,mm,即即即即 B B:C C:=1 1 2 2 s s 4.1.2 4.1.2 向量组之间

12、的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1 1 2 2 mm 行向量组行向量组C能由能由B线性表示线性表示4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 思考 由于向量组可以用矩阵表示，而向量组B由A线性表示的实质是B中的每一个向量都可以用A中的向量通过线性运算得到，因此向量组线性表示的问题就转化为向量组A对应的矩阵经过变换化为向量组B所对

13、应的矩阵的问题。注意：这里的变换和初等变换有所不同，因为向量组线性表示是允许系数全部为零的，而初等变换则是不能乘以为零的系数。但仍然可以理解为：行(列)向量组B能由A线性表示可记为B对应的行(列)向量矩阵是由A对应的行(列)向量矩阵左(右)乘变换矩阵得到的。4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 3.向量组线性表示的传递性向量组线性表示的传递性 A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+2 2,3=1+2,1=2 1

14、+2 2=1 2+3=2(1+2)+(1+2 2)=3 1+4 2,=(1+2)(1+2 2)+(1+2)=1,4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 B能由A线性表示 A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,1 1 1 1 2 1=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)2 1 1 1 0 1=BF,=(1,2)2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1=(1,2)3 1 4 0C能由B线

15、性表示 一般地,C能由A线性表示.若向量组B能由向量组A线性表示;同时向量组A能由向量组B线性表示,则称这两个向量组等价.4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.向量组等价向量组等价 显然,(1)向量组A与其自身等价(反身性);(2)若A与B等价,则B与A等价(对称性);(3)若A与B等价且B与C等价,则C与A等价(传递性).A:1,2,r；B:1,2,s 给定两个向量组例例.设有两个向量组设有两个向量组 I:1=1,1,2=1,1,3=2,

16、1,II:1=1,0,2=1,2.即即I可以由可以由II线性表示线性表示.则则 1=1+2,2 1 2 1 2=1 2,2 3 2 1 3=1+2,2 3 2 1 即即II可以由可以由I线性表示线性表示.1=1+2+0 3,2 1 2 1 2=1 2+0 3,2 3 2 1 故向量组故向量组I与与II等价等价.4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 5.矩阵等价与向量组等价的关系矩阵等价与向量组等价的关系 初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换

17、 矩阵矩阵矩阵矩阵A A与与与与B B的的的的行行行行向量组等价向量组等价向量组等价向量组等价 B B的的的的行行行行向量组能由向量组能由向量组能由向量组能由 A A的的的的行行行行向量组向量组向量组向量组 线性表示线性表示线性表示线性表示 A A的的的的行行行行向量组能由向量组能由向量组能由向量组能由 B B的的的的行行行行向量组向量组向量组向量组 线性表示线性表示线性表示线性表示 初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性

18、向量组的线性相关性 矩阵矩阵矩阵矩阵A A与与与与B B的的的的列列列列向量组等价向量组等价向量组等价向量组等价 B B的的的的列列列列向量组能由向量组能由向量组能由向量组能由A A的的的的列列列列向量组向量组向量组向量组线性表示线性表示线性表示线性表示 A A的的的的列列列列向量组能由向量组能由向量组能由向量组能由B B的的的的列列列列向量组向量组向量组向量组线性表示线性表示线性表示线性表示初等初等初等初等列列列列变换变换变换变换 初等初等初等初等列列列列变换变换变换变换 4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量

19、组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 注注注注:初等初等初等初等行行行行变换变换变换变换 (1 1)无法通过初等无法通过初等无法通过初等无法通过初等列列列列变换实现变换实现变换实现变换实现矩阵矩阵矩阵矩阵A A与与与与B B的的的的行行行行向量组等价向量组等价向量组等价向量组等价,但但但但列列列列向量组向量组向量组向量组不不不不等价等价等价等价.初等初等初等初等列列列列变换变换变换变换 (1 1)无法通过初等无法通过初等无法通过初等无法通过初等行行行行变换实现变换实现变换实现变换实现矩阵矩阵矩阵矩阵C C与与与与B B的的的的列列列列向量组等价向量组等价向量组等

20、价向量组等价,但但但但行行行行向量组向量组向量组向量组不不不不等价等价等价等价.4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.1.1 n4.1.1 n维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算维向量及其运算 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 矩阵A和B行（或列）等价矩阵A和B的行（或列）向量组等价矩阵A和B行（或列）等价矩阵A经初等行（或列）变换变成B矩阵B(或A)的每个行（或列）向

21、量都是A(或B)的行（或列）向量的线性组合矩阵A和B的行（或列）向量组等价第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 两个关于方程组有解的定理线性方程组线性方程组AX=b有解有解 R(A)=R(A,b b)矩阵方程矩阵方程AX=B有解有解 R(A)=R(A,B B)线性方程组AX=b有解 R(A)=R(A,b b)向量b能由向量组A线性表示 R(A)=R(A,b b)矩阵方程AX=B有解 R(A)=R(A,B B)向量组B能由向量组A线性表示 R(A)=R(A,B B)定理定理24.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量

22、组之间的关系向量组之间的关系 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理定理3：如果向量组B:b1,b2,bl 能由向量组A:a1,a2,am线性表示，则：R(b1,b2,bl)R(a1,a2,am)由定理由定理2和和3可知可知定理：定理：向量组A:a1,a2,am和B：b1,b2,bl,等价的充要条件是：R(A)=R(B)=R(A,B B)其中矩阵A和B分别是向量组A和B构成的矩阵。4.1.2 4.1.2 向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系向量组之间的关系 4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的

23、线性相关性向量组的线性相关性 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 一一.基本概念基本概念 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理：向量组线性相关向量组中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 证明4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理：向量组线性相关向量组中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性

24、向量组的线性相关性向量组的线性相关性 本例说明：单位坐标向量组是线性无关的4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 设m个n维列向量组（a1,a2,am）线性相关，则其中存在一组不全为0的数x1,x2,xm，满足 x1a1+x2a2,xmam=0将上式用线性方程组表示a1a2am4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 二二.向量组的线性相关性与线性方程组的联系向量组的线性相关性与线性方程组的联系 第

25、四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组线性相关性的问题可等价于齐次线性方程组解的问题或者相应矩阵方程秩的问题。（注意：这里的等价是严格意义上的）有非零解只有零解线性相关线性无关用矩阵表示：Ax=0其中A=(a1,a2,am),x=(x1 x2 xm)T结合前面的定理可得：R(A)mR(A)=m向量组齐次线性方程组矩阵方程Ax=04.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 例：4.2 4

26、.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1,2,s线性相关 1T,2T,sT线性相关 几个显然的结论:(1)注意:不要混淆:“矩阵A的列向量组线性相关”“矩阵A的行向量组线性相关”与如:A=1 0 10 1 0第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性(2)只含有一个向量的向量组线性相关 =0.(4)含有两个向量,的向量组线性相关 ,的分量成比例.(5)当s n时,任意s个n维向量都线性相关.课本P89页例6.

27、设1,2,3线性无关,1=1+2,2=2+3,3=3+1.证明:1,2,3线性无关.(3)含有零向量的向量组一定线性相关.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 证法一：利用线性相关性的概念，建立方程，判断有无非零解。证法二：利用线性相关性的概念，借助线性方程组相关性与齐次线性方程组解的关系，用矩阵代替证法一中的线性方程。证法三：由于向量组B能够由

28、向量组A线性表示，通过两个向量组构成的矩阵的秩的关系判断向量组B的线性相关性。4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 思考问题：给向量组增加向量，其线性相关性是否改变？向量组线性无关，则其中部分向量构成的向量组线性相关性如何？向量组中向量的维数和向量的个数之间有什么联系？4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的

29、线性相关性 4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 若向量组A：a1,a2,am线性相关，则向量组B：a1,a2,am,am+1也线性相关，反言之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关；m个n维向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关。特别地，n+1个n维向量一定线性相关；设向量组A：a1,a2,am线性无关，而向量组B：a1,a2,am,b线性相关，则向量b一定能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的。定理5（证明略）第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.2 4.2

30、 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 若一个向量组的部分向量线性相关，则该向量组线性相关；若向量组线性无关，则该向量组的任何部分组都线性无关；线性相关的向量组的部分向量构成的向量组的线性相关性不确定；含有零向量的向量组一定线性相关。推论参考课本P90页例7进一步理解定理5第三章第三章第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 本节作业课本P108：2,4,5，6，7，8，11，124.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.

31、3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩4.3 向量组的秩向量组的秩 一一.基本概念基本概念 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 思考：向量组的秩和向量组所对应的矩阵的秩是否相等？两者有何联系？4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 上面的问题实际上就是矩阵A=(1,2,s)矩阵矩阵A A的秩的秩R(A A)列向量

32、组列向量组列向量组列向量组:1 1,2 2,s s 向量组 1,2,s的秩RT？注：行向量的问题与列向量相同由于向量组和矩阵之间可以相互表示，因此有理由推测向量组的秩和矩阵的秩相同，只是表达方式不同而已。4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 下面来证明上述推测：已知矩阵A=(a1,a2,am)的秩R(A)=r。由于矩阵与向量组的可以相互表示，因此矩阵A可以看作是列向量组A*：a1,a2,am对应的矩阵。A*=a1akak+r-1am，)(4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量

33、组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 若设A的一个r r阶非零子式为DrDr=4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 记Dr所在的r r列向量构成的向量组为B,B,显然B是A*的一个部分组。显然向量组B是A*的一个部分组。akak+r-1记 B=)(A*=a1akak+r-1am，)(4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向

34、量组的线性相关性向量组的线性相关性 因Dr0，向量组B对应的矩阵的秩R(B*)=r,而向量组B中向量个数亦为r，故由定理4可知向量组B线性无关。则向量组B构成的矩阵为B*=4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 又因矩阵A的秩R(A)=r，因此A*中任意r+1个向量构成矩阵的秩不会超过r，则根据定理4可知：A*中任意r+1个向量线性相关。故：RA*=R(A)综上可得：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它行向量组的秩。（定理6）即矩阵的秩等于它的列向量组的秩。同理可证：矩阵的秩等

35、于它的行向量组的秩。故Dr所在的r列是向量组A*的一个最大无关组(给我们提供了一种求最大无关组的方法)，同时RA*=r。4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它行向量组的秩。（定理6）定理6根进一步说明了矩阵和它的行（列）向量组的等价关系，以后我们讨论向量组问题是可以不再强调“向量组构成（或对应）的矩阵”这些概念，并将也可以向量组A：a1,a2,am的秩直接记为R(A)或R(a1,a2,am)。同时可以将矩阵向量组线性方程组的联系进一步加深（

36、请大家课后自己体会）。4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩定理.秩为r的向量组1,2,s一定有由r个向量构成的极大无关组.推论.秩为r的向量组中任何r个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 1.若向量组1,2,t可由向量组1,2,s线性表示,则R(1,2,t)R(1,2,s).推论1.1.若向量组 1,2,t可由向量组 1,2,s线性表示,并且t s,则向量组 1,2,t是线性相关的.第四章第四章第四章第四章 向量组的

37、线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 二.向量组秩的性质 证明:记A=(1,2,s),B=(1,2,t),则存在C使得B=AC,故R(B)R(A).4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩证：证：R(B)R(A)st，即秩小于向量个数推论1.3.若向量组 1,2,s 和 1,2,t 都线性无关,并且这两个向量组等价,则s=t.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 推论1.2.若向量组 1,2,t与向量组 1,2,s等价,R(1,2,t)=R(1,2,s).推论1.4.若 1,2,s线性相关

38、,反之,若 1,2,s,s+1,t线性 无关,则 1,2,s也线性无关.则 1,2,s,s+1,t也线性相关.4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩2.若向量组,线性相关,其中 1,2,s是维数相同的列向量,1,2,s也是维数相同的列向量,则1,2,s也是线性相关的.反之,若 1,2,s线性无关,则也是线性无关的.,1 1 2 2 s s 1 1 2 2 s s 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关

39、性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩如:A=1 0 10 1 14.向量组的最大无关组不是唯一的5.任何n个线性无关的n维向量都是向量空间Rn 的最大无关组6.向量组和它的最大无关组等价3.一个向量组的任何两个极大无关组都是等价的,因而任意两个极大无关组所含向量的个数都相同,且等于这个向量组的秩.例.证明:n个n维列向量 1,2,n线性无关的充分必要条件是:任何一个n维列向量都能由 1,2,n线性表示.证明:(充分性)任何一个n维列向量 都能由 1,2,n线性表示 1=100,2=010,n=001 都能由 1,2,n线性表示 n=R

40、(1,n)R(1,n)n 1,2,n线性无关第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩证明:(必要性)根据本章定理5可知，由于n+1个n维列向量总是线性相关的,所以 1,2,n,线性相关.又因为 1,2,n线性无关,根据本章定理5可知都能由 1,2,n线性表示.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩例.证明:n个n维列向量 1,2,n线性无关的充分必要条件是:任何一

41、个n维列向量都能由 1,2,n线性表示.定理5.m个n维向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关。特别地，n+1个n维向量一定线性相关；若向量组1 1,2 2,s s线性无关,而 1 1,2 2,s s,线性相关,则 一定能由 1 1,2 2,s s线性表示,并且表示的方式是唯一的.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 三.计算 理论依据:(1)秩为r的向量组中任何r个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.(2)初等变换不改变矩阵的秩.4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量

42、组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩列第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩B=第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩

43、B=第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩向量组的秩向量组的秩本节作业课本P108：13，14（1），15，18，19，204.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 向量空间向量空间 一一.向量空间的概念向量空间的概念 1.n维实(列)向量的全体 Rn=(x1,x2,xn)T|x1,x2,xnR 关于向量(即列矩阵)的加法和数乘运算 满足如下8条基本性质:关于加法:(1)交换律;(2

44、)结合律;(3)0;(4)关于数乘:(5)1=;(6)k(l)=(kl);(7)(k+l)=k+l;(8)k(+)=k+k.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 2.设V是n维向量的集合，如果V非空,且对向量的加法及数乘封闭,即 注意：仅含有零向量0的集合0关于向量的线性运算也构成一个向量空间,我们称之为零空间.Rn就是一个向量空间（对加法和数乘封闭）.则称V(实)向量空间.,V,kR,有+V,kV,第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量

45、组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 例10.检验下列集合是否构成向量空间.(1)V=(x,y,0)|x,y R;(2)V=(x,y,z)|x,y,z R,x+yz=0;(3)ARmn,bRm,b0,KA=Rn|A=0;SB=Rn|A=b.(4)1,2,sRn,L(1,2,s)=|诸kiR.s kii i=1 称为由1,2,s生成的向量空间,1,2,s称为生成元.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性

46、相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 二二二二.向量空间的基与维数向量空间的基与维数向量空间的基与维数向量空间的基与维数 设V是一个向量空间,1,2,r是V中一线性无关向量组,并且V中任一向量都能由1,2,r 线性表示,则称(有序)向量组1,2,r 是向量空间V的一组基.r称为V的维数.记为维(V)或dim(V).n维基本单位向量组就是Rn的一组基,dimRn=n;例11.求例10中的各向量空间的基与维数.零空间没有基,规定dim0=0.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4

47、.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 若向量组1,2,r 是向量空间V的一组基.则向量空间V可以表示为：V=x=k11+k22+krrk1,kr R即V是基所生成的向量空间。请判断命题：向量空间的基与向量空间是等价的。第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 定理:向量组1,2,s的任一极大无关组都是L(1,2,s)的一组基,故dimL(1,s)=R(1,s).特别地,设矩阵ARns,A1,A2,As依次为矩阵A的s个列向量.则称L(A1,A2,As)为矩阵A的列空间.dim(

48、L(A1,A2,As)=R(A).注意：上面的定理告诉我们一种求向量空间基的方法。可以用求向量组的最大无关组的做法求向量空间的基。第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 求L(A1,A2,A3,A4)的一组基和维数.例12.设A=A1,A2,A3,A4=,问题：对一个含有无限多个向量的向量空间，不可能写出所有的向量，此时如何求该向量组的基？考虑一下向量组等价的含义，只要能够找到含有限个向量的与原向量空间等价的向量组，则该向量组的任意一个最大无关组就是向量空间的基。第四章第四章第四章第四

49、章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 解:初等 行变换 可见dim L(A1,A2,A3,A4)=2,A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.注:此外A1,A3也是L(A1,A2,A3,A4)的一组基.还有A1,A4.事实上,对于这个例子,除了A3,A4以外,A1,A2,A3,A4中任意两个向量都构成L(A1,A2,A3,A4)的一组基.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 三三.向量

50、在基下的坐标向量在基下的坐标 设V是一个向量空间,1,2,r是V 的一组基.对V,唯一的一组有序实数k1,k2,kr使得=k11+k22+krr.我们把r维向量k1,k2,krT 称为 在1,2,r 这组基下的坐标.第四章第四章第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性 4.4 4.4 向量空间向量空间向量空间向量空间 特别地，取单位坐标向量组e1,e2,en为n维向量空间Rn的基，则n维向量x(x=(x1,x2,xn)可表示为：x=x1e1+x2e2+xnen这说明：向量在基e1,e2,en下的坐标就是该向量的分量，因此e1,e2,en也被称作是n