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1、第第2 2章章 解析函数解析函数2.1 解析函数的概念解析函数的概念2.2 柯西柯西-黎曼条件黎曼条件2.3 初等函数初等函数11.1.复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1 解析函数的概念解析函数的概念导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义设设设设在在在在区域区域区域区域D D内内内内D D如果极限如果极限如果极限如果极限存在存在存在存在,则称则称则称则称在在在在处处处处可导可导可导可导如果如果如果如果在在在在区域区域区域区域D D内处处可导内处处可导内处处可导内处处可导则称则称则称则称在在在在D D内可导内可导内可导内可导有定义有定义有定义有定
2、义22.2.复变函数的微分复变函数的微分复变函数的微分复变函数的微分设函数设函数设函数设函数在在在在区域区域区域区域D D内内内内D D如果如果如果如果,则称则称则称则称在在在在处处处处可微可微可微可微在在在在处的处的处的处的微分微分微分微分定理定理定理定理如果如果如果如果在在在在处处处处可导可导可导可导,则则则则在在在在处处处处可微可微可微可微且且且且如果如果如果如果在在在在处处处处可微可微可微可微,则则则则在在在在处处处处可导可导可导可导定义定义定义定义 如果如果如果如果在在在在区域区域区域区域D D内内内内则称则称则称则称在在在在D D内可微内可微内可微内可微处处可微处处可微处处可微处处
3、可微有定义有定义有定义有定义3例例 求求的导数的导数解解是常数是常数特别特别4例例1求求的导数的导数解解为正整数为正整数求求的导数的导数解解5求导法则求导法则求导法则求导法则=6例例例例2 2 问问问问是否可导？是否可导？是否可导？是否可导？解解解解极限极限极限极限不存在不存在不存在不存在不可导不可导不可导不可导可可可可导导导导不可导不可导不可导不可导是常数是常数是常数是常数可可可可导吗？导吗？导吗？导吗？只有当只有当只有当只有当时时时时才可才可才可才可导导导导 动点沿动点沿y轴轴趋向趋向z动点沿动点沿x轴轴趋向趋向z7例例3只有在只有在原点原点证证证证动点沿动点沿y轴轴趋向趋向z动点沿动点沿
4、x轴轴趋向趋向z极限极限极限极限不存在不存在不存在不存在在在在在原点原点原点原点以外的任何以外的任何以外的任何以外的任何一点都一点都一点都一点都不可导不可导不可导不可导可可导导83.3.解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念定义定义定义定义 如果如果如果如果在在在在OO的的的的某一某一某一某一个邻域内个邻域内个邻域内个邻域内可微可微可微可微,则称则称则称则称在在在在解析解析,如果如果如果如果在区域在区域在区域在区域D D内内内内则称则称则称则称在在在在D D内解析内解析内解析内解析,或称或称或称或称在在在在D D内内内内如果如果如果如果在在在在不不不不解析解析解析解析,则称则
5、称则称则称为为为为的的的的奇点奇点奇点奇点例如例如例如例如在整个复平面内在整个复平面内在整个复平面内在整个复平面内解析解析解析解析为正整数为正整数为正整数为正整数)处处不处处不处处不处处不解析解析解析解析处处不处处不处处不处处不解析解析解析解析只有在只有在只有在只有在原点原点原点原点可可可可导导导导前面证明前面证明前面证明前面证明在在在在原点原点原点原点以外的任何以外的任何以外的任何以外的任何 一点都一点都一点都一点都不可导不可导不可导不可导即即即即在原点可在原点可在原点可在原点可导导导导,但在原点但在原点但在原点但在原点不不不不解析解析解析解析只有在原点只有在原点只有在原点只有在原点也也也也
6、不不不不解析解析解析解析每一点解析每一点解析每一点解析每一点解析,是一个解析函数是一个解析函数是一个解析函数是一个解析函数,不不不不可可可可导导导导,9定理定理定理定理2.12.1 在区域在区域在区域在区域D D内内内内的和、差、积、商的和、差、积、商的和、差、积、商的和、差、积、商(除去分母为零的点除去分母为零的点除去分母为零的点除去分母为零的点)在在在在D D内内内内解析解析解析解析两个两个两个两个解析解析解析解析函数函数函数函数 组成的复合函数也组成的复合函数也组成的复合函数也组成的复合函数也解析解析解析解析因为因为因为因为在整个复平面内在整个复平面内在整个复平面内在整个复平面内解析解析
7、解析解析为正整数为正整数为正整数为正整数)所以关于所以关于所以关于所以关于z z在整个复平面内在整个复平面内在整个复平面内在整个复平面内解析解析解析解析设设设设是关于是关于是关于是关于z z则则则则在除去分母在除去分母在除去分母在除去分母复平面内复平面内复平面内复平面内解析解析解析解析使使使使等于零的点等于零的点等于零的点等于零的点的的的的奇点奇点奇点奇点的的的的奇点奇点奇点奇点在除去在除去在除去在除去外的复平面内外的复平面内外的复平面内外的复平面内解析解析解析解析的两个的两个的两个的两个解析解析解析解析函数函数函数函数的任何的任何的任何的任何多项式多项式多项式多项式的的的的多项式多项式多项式
8、多项式,为零的点外的为零的点外的为零的点外的为零的点外的都是都是都是都是102 解析函数的充要条件解析函数的充要条件定理定理2.1在点在点可导可导与与在点在点可微可微,证明证明必要性必要性动点动点动点动点(x,x,y)y)沿着沿着沿着沿着任何任何任何任何路径接近路径接近路径接近路径接近(0,0)(0,0)位于位于位于位于(0,0)(0,0)的的的的任何任何任何任何一个方向一个方向一个方向一个方向令令得得而且满足而且满足:11证明证明证明证明必要性必要性必要性必要性动点动点动点动点(x,x,y)y)沿着沿着沿着沿着任何任何任何任何路径接近路径接近路径接近路径接近(0,0)(0,0)位于位于位于位
9、于(0,0)(0,0)的的的的任何任何任何任何一个方向一个方向一个方向一个方向令令令令得得得得即即即即 若若若若可导可导可导可导在在在在则则则则因此因此因此因此还可以证明还可以证明还可以证明还可以证明可微可微可微可微反过来也正确，反过来也正确，反过来也正确，反过来也正确，在此不证明在此不证明在此不证明在此不证明12定理定理2.2在区域在区域D内内解析解析与与在在D内内可微可微，而且满足而且满足此时此时的导数的导数或者或者只对只对x求偏导数求偏导数先对先对y求偏导数求偏导数,再乘以再乘以条件条件:13例例例例1 1 证明证明证明证明可导可导.只有在只有在证明证明在在C上上处处处处不解析不解析只有
10、在只有在条件条件.满足满足可导可导.只有在只有在在在C上上处处不处处不解析解析所以所以14例例2 下列函数下列函数何处何处可导可导？何处何处解析解析？解解由由得得满足满足因此因此只有在直线只有在直线上上可导可导在复平面上处处在复平面上处处解解由由得得由由得得因此因此只有在只有在原点原点可导可导在复平面上处处在复平面上处处不解析不解析不解析不解析15例例2 设设是是C上上试求试求的值的值解解由由得得由由得得因此因此的的解析解析函数，函数，16在区域在区域D内内解析解析，如果如果在在D内内解析解析，证明证明是是常数常数证证 在区域在区域D内解析，内解析，在区域在区域D内解析，内解析，在在D内恒有内
11、恒有故故是是常数常数在在D内有内有在在D内有内有3232页页页页7(2).7(2).设设设设17在在在在D D内内内内解析解析解析解析，如果如果如果如果其中其中其中其中证明证明证明证明是常数是常数是常数是常数为不全为零为不全为零为不全为零为不全为零证证证证 在区域在区域在区域在区域D D内解析，内解析，内解析，内解析，根据解析性得到根据解析性得到根据解析性得到根据解析性得到:关于关于关于关于x x的偏导数的偏导数的偏导数的偏导数关于关于关于关于y y的偏导数的偏导数的偏导数的偏导数解解解解(1)(1)、(2)(2)故故故故是常数是常数是常数是常数组成的组成的组成的组成的 方程组得到方程组得到方
12、程组得到方程组得到的的的的实实实实常数，常数，常数，常数，3232页页页页7(5).7(5).设设设设183232页页页页9.9.设设设设是是是是Z Z的解析函数，的解析函数，的解析函数，的解析函数，证明证明证明证明证证证证左边左边左边左边左边左边左边左边=右边右边右边右边(1)(1)19例例例例.如果如果如果如果是区域是区域是区域是区域D D内内内内且且且且则则则则的两组的两组的两组的两组正交正交正交正交为常数）为常数）为常数）为常数）定义：如果两条曲线在交点处定义：如果两条曲线在交点处定义：如果两条曲线在交点处定义：如果两条曲线在交点处的的的的切向量切向量切向量切向量互相垂直互相垂直互相垂
13、直互相垂直,或或或或法法法法向量互相垂直向量互相垂直向量互相垂直向量互相垂直,则称这两条曲线则称这两条曲线则称这两条曲线则称这两条曲线 互相互相互相互相正交正交正交正交证明证明证明证明曲线曲线曲线曲线的法向量的法向量的法向量的法向量曲线曲线曲线曲线的法向量的法向量的法向量的法向量根据解析性得到根据解析性得到根据解析性得到根据解析性得到:因此曲线族因此曲线族因此曲线族因此曲线族和和和和一定互相一定互相一定互相一定互相正交正交正交正交的解析函数的解析函数的解析函数的解析函数是区域是区域是区域是区域D D内内内内的曲线族的曲线族的曲线族的曲线族20第二章作业第二章作业32页习题页习题22，3，4,6 7，8，13，14,15,1621