《《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学物理方法》第1章复变函数与解析函数课件.ppt（122页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学物理方法第1章复变函数与解析函数数学物理方法的性质和目的性质 为信息工程与技术专业开设的专业基础必修课，在教学培养计划中列为主干课程。目的 通过本课程的学习，掌握数学物理中的常用方法，为学习理论物理课程与专业基础理论课程提供基础。2023/6/13教学内容与基本要求l教学内容u本课程主要讲述复幂级数展开、路径积分、积分变换、本课程主要讲述复幂级数展开、路径积分、积分变换、特殊函数与线性数学物理方程的定解方法特殊函数与线性数学物理方程的定解方法 u数学物理方法数学物理方法-教学内容与进度表教学内容与进度表-11级级.docl教学基本要求u以教师课堂讲授为主，精讲；学生以教师课堂讲授为主，精讲
2、；学生课前预习课前预习，多练，多练！u布置习题或讨论题，学生布置习题或讨论题，学生自学自学部分例题和部分章节；部分例题和部分章节；u因公式推导过多，部分（或全部）课时采用电子教案，因公式推导过多，部分（或全部）课时采用电子教案，便于学生理解全过程；便于学生理解全过程；2023/6/14l教学方式：课堂讲授课堂讲授 u教与学互动，要求课前必须预习；教与学互动，要求课前必须预习；u标有标有*的章节为自学内容的章节为自学内容。l成绩：成绩：u平时考勤：平时考勤：5%；u平时作业：平时作业：10%；u期中考试：期中考试：15%(第一篇的教学考核成绩第一篇的教学考核成绩)u期终考试：期终考试：70%(期
3、末考试成绩期末考试成绩)u本课程的考试均以闭卷方式进行本课程的考试均以闭卷方式进行。教学方式与过程教学方式与过程2023/6/15 教材教材：汪德新，数学物理方法数学物理方法，第三版，科学出，第三版，科学出版社，版社，2006年年8月月 参考书：参考书：u1吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社吴崇试，数学物理方法，北京大学出版社 2003-12-26出版出版u2胡嗣柱、倪光炯，胡嗣柱、倪光炯，数学物理方法数学物理方法，第二版，第二版，高等教育出版社，复旦大学出版社，高等教育出版社，复旦大学出版社，2002；u3梁昆森，梁昆森，数学物理方法数学物理方法，第三版，高等教，第三版，高等教育出版社，育
4、出版社，1998；u4郭敦仁，郭敦仁，数学物理方法数学物理方法，第二版，人民教，第二版，人民教育出版社，育出版社，1991。教材与参考书教材与参考书2023/6/16u5钟毓澍钟毓澍，数学物理方法习题指导，数学物理方法习题指导，北京大学出版社北京大学出版社 2004-09-01 出版出版u6姚端正，姚端正，数学物理方法数学物理方法 学习指导学习指导，第一版，科学出版社，第一版，科学出版社，2001；u7胡嗣柱，数学物理方法解题指导，高胡嗣柱，数学物理方法解题指导，高等教育出版社等教育出版社1998年年u8李惜雯，李惜雯，数学物理方法数学物理方法 典型题典型题 解解法法.技巧技巧.注释注释，西安
5、交通大学出版社，西安交通大学出版社，2001；习题参考书习题参考书7作业：请介绍你作业：请介绍你有关学习本课程的数学基础情况；你有关学习本课程的数学基础情况；你对本课程教学的建议与期望。对本课程教学的建议与期望。1.高等数学掌握程度自我评价。高等数学掌握程度自我评价。2.高等数学中：高等数学中：1.向量代数与空间解析几何学过吗向量代数与空间解析几何学过吗?2.常微分方程的解学过吗常微分方程的解学过吗?3.三重积分、曲线积分、曲面积分学过吗三重积分、曲线积分、曲面积分学过吗?4.无穷级数学过吗无穷级数学过吗?其中包括傅里叶级数吗其中包括傅里叶级数吗?5.线性代数学过吗线性代数学过吗?3.你对本课
6、程教学的建议与期望。你对本课程教学的建议与期望。第一篇 复变函数导论自变量为复数的函数称为复变函数 本篇讨论复变函数论的基本概念、基本定理和基本方法，以及若干实际运用解析函数是本篇研究的重点。复变函数导论是本书其后三篇的基础9l第第1章介绍复变函数的微分理论着重讨论章介绍复变函数的微分理论着重讨论解析函数的微分性质及其应用解析函数的微分性质及其应用l第第2章介绍复变函数的积分理论着重讨论章介绍复变函数的积分理论着重讨论解析函数的积分性质及其应用解析函数的积分性质及其应用l第第3章介绍复变函数的级数理论着重讨论章介绍复变函数的级数理论着重讨论解析函数与泰勒解析函数与泰勒(Taylor)级数、洛朗
7、级数、洛朗（Laurent）级数的关系及其应用）级数的关系及其应用10l第第4章介绍留数理论，它是复变函数积分理章介绍留数理论，它是复变函数积分理论与级数理论相结合的产物本章利用留数论与级数理论相结合的产物本章利用留数定理进行实变积分计算，整数与半整数级数定理进行实变积分计算，整数与半整数级数和的计算和的计算l第第5章介绍解析延拓与多值函数的一些基本章介绍解析延拓与多值函数的一些基本概念着重讨论扩大解析函数的定义域，以概念着重讨论扩大解析函数的定义域，以及将多值函数转化为黎曼及将多值函数转化为黎曼(Riemann)面上的面上的单值解析函数的问题单值解析函数的问题第1章复变函数与解析函数本章首先
8、介绍复数与复变函数的基本概念着重讨论解析函数的定义、充要条件，解析函数的共扼性、调和性和保角性，以及常用的解析函数的性质解析函数是本篇各章研究的主要对象12思考：复变函数和实变函数的区别和 联系。l实变函数：实变量的函数。例：x,y 实变量；f(x,y)实变函数l复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。l实数实变量实变函数l复数复变量复变函数13第第1章章 复变函数与解析函数复变函数与解析函数l内容内容u1.1 复数复数u1.2 复变函数复变函数 复变函数的极限与连续复变函数的极限与连续u1.3 复变函数的导数柯西一黎曼条件复变函数的导数柯西一黎曼条件u1.4 解析函数解析函数1.1 复数本节
9、讨论复数的基本概念，复数的几何表示法，复数的代数运算和复数序列的极限15 l1.1.1 复数的定义和基本概念复数的定义和基本概念l1.1.2 复数的几何表示复数的几何表示l1.1.3 复数的运算规则复数的运算规则161.1.1 复数的定义和基本概念复数的定义和基本概念l在实数范围内，代数方程在实数范围内，代数方程 z2+1=0 没有解没有解l如果把数域扩大，则可得到两个根，如果把数域扩大，则可得到两个根，我们把我们把 *称为称为虚数单位虚数单位，并规定它，并规定它与实数在一起可进行通常的四则运算与实数在一起可进行通常的四则运算l这样，形如这样，形如 z=x+iy 的数（其中的数（其中x,y为实
10、数）称为为实数）称为复数复数x与与y分别称为复数的分别称为复数的实部实部与与虚部虚部，记作，记作 x=Rez，y=Imz*i 为瑞士著名数学家和物理学家欧拉（Euler)1777年首次采用记号，称为虚数单位 17实数和纯虚数是复数的特殊情形实数和纯虚数是复数的特殊情形l如如 2=z=2+i0 实部为实部为2，虚部为虚部为0，是纯实数，是纯实数 4i=z=0+i4 实部为实部为0，虚部为，虚部为4，是纯虚数，是纯虚数l当当x1=x2，y1=y2时，则称时，则称z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2相相等。等。l 当当x1=x2，y1=-=-y2时，则称时，则称z1=x1+iy1与与z2=x2+
11、iy2 互为共轭复数。互为共轭复数。l常用常用z*表示表示z的的共扼复数共扼复数。(z*)*=zl例：例：z1=2+3i与与z2=2-3i 称称z1与与z2互为共轭复数。互为共轭复数。18复数能不能比较大小复数能不能比较大小?!191.1.2 复数的几何表示复数的几何表示l复数可以用平面上的点来表示，称为复复数可以用平面上的点来表示，称为复数的平面表示法；数的平面表示法；l球面上的点来表示，称为球面表示法。球面上的点来表示，称为球面表示法。201.复数平面表示法复数平面表示法l在复数平面中可以引入笛卡尔在复数平面中可以引入笛卡尔 直角坐标，也可以引人平面极坐标直角坐标，也可以引人平面极坐标l在
12、使用直角坐标时，用平面上的在使用直角坐标时，用平面上的 点点(x,y)表示复数表示复数 z=x+iyl平面上的一点平面上的一点(x,y)就与一个复数就与一个复数 z=x+iy 相对应，而相对应，而平面上所有的点就与全体复数一一对应，平面上所有的点就与全体复数一一对应，xoy平面就平面就称为称为复平面复平面 l每一复数还可以用一个矢量来表示矢量由坐标原点每一复数还可以用一个矢量来表示矢量由坐标原点指向点指向点(x,y)，如图，如图1.1所示，称为所示，称为复矢量复矢量 21l在使用平面极坐标时，复数平面上的点可用极坐标在使用平面极坐标时，复数平面上的点可用极坐标(，)表示，表示，它与它与x,y的
13、关系为的关系为:l从笛卡尔直角坐标变换到平面极从笛卡尔直角坐标变换到平面极坐标，就可从复数的代数表示式坐标，就可从复数的代数表示式变换到三角表示式变换到三角表示式:l这里这里为复矢量的长度，称为复矢量的长度，称为复数的模为复数的模lj j为复矢量与为复矢量与x轴轴的夹角的夹角，称为，称为复数的辐角复数的辐角22l一个复数对应于一个复数对应于无限多个辐角，无限多个辐角，l设设j j0是其中的一个，则是其中的一个，则l通常用通常用argz表示辐角表示辐角Argz的的主值主值，主值的取值范围，主值的取值范围是是u复数复数z=0的辐角没有确定值，说的辐角没有确定值，说”z=0”的辐角等于多的辐角等于多
14、少少”是没有意义的是没有意义的。u用极坐标表示一个复数z 时，辐角Argz 的值不唯一23（3）指数表示）指数表示l复数的指数表示为复数的指数表示为 z r reij j（1.1.10)l利用欧拉公式利用欧拉公式eij j =cosj j+isinj j可以将复数的三可以将复数的三角表示变换为指数表示角表示变换为指数表示z r reij j =r r(cosj j+isinj j)（1.1.11)24下面举例说明从复数的代数表示式到三角表示式的变换。下面举例说明从复数的代数表示式到三角表示式的变换。例例1 求求 的三角表示式与指数表示式。的三角表示式与指数表示式。解解本题的关键在于求出所给的复
15、数的模与幅角，并注意到点位本题的关键在于求出所给的复数的模与幅角，并注意到点位于第二象限，故有于第二象限，故有252.用复数球面表示复数无穷远点用复数球面表示复数无穷远点l正如复数平面上的每正如复数平面上的每一点与一个复数一一一点与一个复数一一对应，因而可以用复对应，因而可以用复数平面上的点表示复数平面上的点表示复数；复数球面上的每数；复数球面上的每一点也可以与一个复一点也可以与一个复数一一对应，所以可数一一对应，所以可以用复数球面上的点以用复数球面上的点表示复数表示复数。26l首先，过复数平面的坐标原点。作一个球面与复数首先，过复数平面的坐标原点。作一个球面与复数平面相切（图平面相切（图1.
16、2).然后过。作复数平面的垂线交球然后过。作复数平面的垂线交球面于面于N点，称为北极点再作射线点，称为北极点再作射线NP交球面于交球面于P点点这样，球面上的这样，球面上的P点与平面上的点与平面上的P点一一对应，因点一一对应，因而球面上所有的点也与全体复数一一对应；而球面上所有的点也与全体复数一一对应；l由图由图1.2可见，复数平面上以可见，复数平面上以O为圆心的圆为圆心的圆L上的点上的点与复数球面纬线与复数球面纬线L上的点相对应；上的点相对应；l圆圆L内部的点与球面纬线内部的点与球面纬线L下方的点相对应下方的点相对应;l当平面上圆当平面上圆L的半径的半径时，球面上的纬线时，球面上的纬线L趋向球
17、趋向球顶并缩成一点顶并缩成一点N.27l由此可见，复平面的无限远处，对由此可见，复平面的无限远处，对应于球面上的一点应于球面上的一点N.l在这个意义上，在这个意义上，把复平面无限远把复平面无限远处看成一个处看成一个“点点”，称为无穷远称为无穷远点点l复平面的无限远处看成一个“点”-无限远点。281.1.3 复数的运算规则复数的运算规则l(1)加法加法 复数复数z1和和z2 的和定义为的和定义为 z=z1+z2=(=(x1+iy1)+()+(x2+iy2)=(=(x1+x2)+)+i(y1+y2)复数加法的几何意义是：两个复矢量的和遵守平行四边形法则。复数加法的几何意义是：两个复矢量的和遵守平行
18、四边形法则。从右图可以得到从右图可以得到两个重要不等式两个重要不等式：（三角形两边长之和不小于第三边）（三角形两边长之和不小于第三边）（三角形两边之差小于第三边）（三角形两边之差小于第三边）等号是在三角形变成直线时成立等号是在三角形变成直线时成立 这些不等式在这些不等式在导出复变函数积分的基本性质导出复变函数积分的基本性质时要用到时要用到l(1)加法加法 复数复数z1和和z2 的和定义为的和定义为 z=z1+z2=(=(x1+iy1)+()+(x2+iy2)=(=(x1+x2)+)+i(y1+y2)复数加法的几何意义是：两个复矢量的和遵守平行四边形法则。复数加法的几何意义是：两个复矢量的和遵守
19、平行四边形法则。从右图可以得到从右图可以得到两个重要不等式两个重要不等式：（三角形两边之差小于第三边）（三角形两边之差小于第三边）等号是在三角形变成直线时成立等号是在三角形变成直线时成立 这些不等式在这些不等式在导出复变函数积分的基本性质导出复变函数积分的基本性质时要用到时要用到29l(2）减法）减法 复数的减法是作加法的逆运算来定义的复数的减法是作加法的逆运算来定义的l若存在若存在z，使得，使得z2+z=z1，则称则称z为复数为复数z1与与z2之差，即之差，即 z=z1-z2=(=(x1+iy1)-()-(x2+iy2)=(=(x1-x2)+)+i(y1-y2)30（3）乘法）乘法 复数复数
20、z1与与z2的乘积定义为的乘积定义为z=z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2 y1y2)+i(x1y2+y1x2)l 特别是：特别是：(x+iy)(x-iy)=x2+y2，即两共扼复数的乘，即两共扼复数的乘积等于它们的模的平方（简称模方）积等于它们的模的平方（简称模方）l利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为利用复数的指数表示式计算复数的乘积，往往更为方便方便l两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角两复数乘积的几何意义是将两复数的模相乘而辐角相加相加31l（4）乘方）乘方 乘方可由乘法规则得到，用乘方可由乘法规则得到，用n个个z相乘相乘 32【例例1.1.1-A】
21、试证明棣莫弗试证明棣莫弗(De Moivre)公式公式证证 由欧拉公式由欧拉公式 代代 入入 式两边，即有式两边，即有令令=1=1，即为棣摩弗公式，即为棣摩弗公式 33【例例1.1.1-B】试用试用cos及及sin表示表示cosn及及sinn.解解 在棣摩弗公式中，利用牛顿二项式展开在棣摩弗公式中，利用牛顿二项式展开（cos+isin ）n n，即有，即有 cosn+isinn=（cos+isin）n l牛顿二项式展开公式牛顿二项式展开公式34ln/2记号常用来简化公式的表达，记号常用来简化公式的表达，6.1节将利用它来表示勒让节将利用它来表示勒让德多项式德多项式l由于求和式中由于求和式中k=
22、2l 的项为实数，的项为实数，k=2l+1的项为虚数，的项为虚数，根据上式两边的实部与虚部分别相等，即得根据上式两边的实部与虚部分别相等，即得(1.1.30)(1.1.29)(1.1.31)35l（5）除法）除法 复数的除法是作为乘法的逆运算来定义的，若存复数的除法是作为乘法的逆运算来定义的，若存在在z，使得，则称，使得，则称z2z=z1，则称则称z为为z1除以除以z2所得之商所得之商 l同样，利用复数的指数表示式将更方便同样，利用复数的指数表示式将更方便 36（6）开方 复数的开方是乘方的逆运算。复数的开方是乘方的逆运算。l将将 开开n次方，就是求满足方程次方，就是求满足方程 的复数的复数w
23、，记作，记作l为此，设为此，设 将将w及及z0代入代入 （k为整数）为整数）即有即有37这样，这样，复数的复数的n次根有次根有n个不同值个不同值l可见，可见，k=0与与k=n得到相同的得到相同的w，k=1与与k=n1得到的得到的w相同相同，l只有当只有当k=0，1，n-1时，得到的时，得到的w是不同是不同的，即仅有的，即仅有n个。个。3839【例例1.1.2-B】如图所示，已知如图所示，已知 求求解解 首先写出首先写出z0的指数表示式的指数表示式 ，k为整数为整数四个不同的根是四个不同的根是 401.1.4 复数序列的极限复数序列的极限1.复数序列复数序列l 按一定顺序排列的复数按一定顺序排列
24、的复数zn=xn+iyn，n=1，2，称为复数序列，记作称为复数序列，记作zn；l一个复数序列等价于两个实数序列一个复数序列等价于两个实数序列xn和和yn的有序组合。的有序组合。412.聚点与极限聚点与极限l(1)聚点聚点任给任给e e0，存在无穷多个，存在无穷多个zn 满足满足|zn z|0，存在，存在N(e e)0，使当，使当nN(e e)时，有时，有|zn z|0，存在自然数，存在自然数 N(e e)，当，当nN(e e)时，对任时，对任意正整数意正整数p，有，有|zn z|0，存在自然数，存在自然数N(e e)，使当，使当nN(e e)时，有时，有|zn|M（1.1.40)u则则zn
25、趋于无穷，记作趋于无穷，记作44作业作业-1.1 第第8页页Group 1Group 2Group 31.1.1.12.1.1.2(1)3.1.1.34.1.1.65.1.1.9 (3)，(6)，1.1.1.1 2.1.1.2(3)3.1.1.44.1.1.75.1.1.9(2)，(5)，1.1.1.1 2.1.1.2(4)3.1.1.54.1.1.85.1.1.9 (1)，(4)1.2 复变函数 复变函数的极限与连续本节介绍区域的概念，复变函数的定义及其几何意义，复变函数的极限与连续 461.2.1 区域区域l如果将函数的概念由实数域推如果将函数的概念由实数域推广到复数域，那么自变量取值广到
26、复数域，那么自变量取值的范围就是复平面上的区域的范围就是复平面上的区域（称为定义域），如图（称为定义域），如图1.4所所示，开区域示，开区域D是指边界线是指边界线L所所包围的区域（不含边界线包围的区域（不含边界线L)l如果要给区域作出严格的定义，则要介绍有关点如果要给区域作出严格的定义，则要介绍有关点集（点的集合）的一些基本概念集（点的集合）的一些基本概念47点集（点的集合）的一些基本概念点集（点的集合）的一些基本概念(1-a)点点z0的的e e邻域邻域它是指以点它是指以点z0 为圆心，任意小的正实数为圆心，任意小的正实数e e为半径的一个为半径的一个开圆，即满足开圆，即满足|z-z0|e e
27、 (1.2.1)的点的集合。的点的集合。(1-b)点点z0的无心邻域的无心邻域它是指满足它是指满足0|z-z0|e e （1.2.2)的点的集合，与前者的区别就是不包含点的点的集合，与前者的区别就是不包含点z0.48(2)点集点集D D的内点的内点l若某点的。邻域中所若某点的。邻域中所有的点都属于点集有的点都属于点集D，则此点称为点集，则此点称为点集D的内点，如图的内点，如图1.4中中的的a点。点。49(3)区域区域l满足如下两个条件的点集满足如下两个条件的点集D称为称为区域（开区域）：区域（开区域）：u每一点都是内点（开集性）；每一点都是内点（开集性）；u点集点集D中的任意两点都可以中的任意
28、两点都可以用一条由该点集用一条由该点集D的点构成的的点构成的曲线连接起来（连通性）区域曲线连接起来（连通性）区域D通常用不等式表示，例如通常用不等式表示，例如|z|R（1.2.3)表示以表示以O为圆心，为圆心，R为半径的开圆，为半径的开圆，如图如图1.5所示所示50l(4)边界点边界点u若某点不属于若某点不属于D，但其，但其e e邻域中含有属于邻域中含有属于D的点，的点，则该点称为则该点称为D的边界点。在图的边界点。在图1.4的的b点就是区域点就是区域D的边界点（注意，的边界点（注意，b点不属于点不属于D）u边界点的全体就构成边界边界点的全体就构成边界L；在图；在图1.5中，中，|z|=R就是
29、区域就是区域D的边界线的边界线51l开区域开区域D加上边界加上边界L称为称为 闭区域闭区域l例如，开圆例如，开圆|z|l的区域称复通区域的区域称复通区域两者的本质区别是：两者的本质区别是：区域中任一闭合曲线能区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点否连续变形而缩成一点“连续变形连续变形”是指曲是指曲线变形时不跨越不属于线变形时不跨越不属于D的的(标有斜线的标有斜线的)区域区域53l以后常常要将在单通区域成立的定理推广以后常常要将在单通区域成立的定理推广到复通区域，这只要通过作割线到复通区域，这只要通过作割线(见图见图1.7中中的割线的割线L”)将图将图1.7复通区域割开，变成单通复通区域割开，
30、变成单通区域即可区域即可54例例1.2.1 在复平面上画出下述区域，并指出区域的连通性：在复平面上画出下述区域，并指出区域的连通性：55(2)首先把辐角不等式变为关于首先把辐角不等式变为关于x,y的不等式令的不等式令56 图图1.9的区域的区域(以灰色作标记以灰色作标记)在在w平面和平面和z平面分别由下面平面分别由下面三个方程界定：三个方程界定：57u如图如图 所示，给出几种典型的区域所示，给出几种典型的区域581.2.2 复变函数的定义及几何意义复变函数的定义及几何意义l复变函数的定义复变函数的定义 u 如果区域如果区域D内的每一个内的每一个z值，均有一个或多个值，均有一个或多个w值与值与之
31、对应，则之对应，则w称为称为z的函数，记作的函数，记作 wf(z)(1.2.15)u 如果令如果令 wu+iv (1.2.16)并将并将z=x十十iy代入，则有代入，则有wf(z)u(x,y)十十iv(x,y)(1.2.17)u这表明，复变函数其实是两个二元实变函数的有序这表明，复变函数其实是两个二元实变函数的有序组合因此，复变函数的许多性质组合因此，复变函数的许多性质(当然不是全部当然不是全部)都是实变函数相应性质的直接推广都是实变函数相应性质的直接推广59l如果一个如果一个z值仅对应一个值仅对应一个w值，则值，则 w=f(z)称为称为单值函数，否则称为多值函数单值函数，否则称为多值函数u本
32、书主要讨论单值函数，后者仅于本书主要讨论单值函数，后者仅于1.4节，节，5.2节及节及6.4节涉及节涉及60l复变函数的几何意义复变函数的几何意义由由Z平面到平面到W平面的映射平面的映射u设设w=f(z)是在区域是在区域D中的单值函数，即中的单值函数，即Z平面上的一点平面上的一点z=x+iy与与W平面上的一点平面上的一点w=u+iv相对应相对应 u例如，对于复变函数例如，对于复变函数 w=f(z)=z+1 来说，来说，Z平面上平面上的 z=1+i 点与点与W平面上的平面上的w=z+1=2+i 点相对应。当点相对应。当z在在Z平面上沿平面上沿某一曲线某一曲线L变动时，与它相应的变动时，与它相应的
33、w也将在也将在W-平面沿另一曲平面沿另一曲线线L变动。曲线变动。曲线L与与L上的点根据上的点根据w=f(z)的关系一一对应，的关系一一对应，这种对应关系称为由这种对应关系称为由Z平面到平面到W平面的一个映射平面的一个映射u这就是复变函数的几何意义。这就是复变函数的几何意义。616263 1.2.3 复变函数的极限复变函数的极限1.函数极限的定义函数极限的定义l设设w=f(z)是在是在z0点的无心邻域中定义的单值函数点的无心邻域中定义的单值函数若任给实数若任给实数e 0e 0，存在实数，存在实数d d 0，使当，使当0|z-z0|d d 时，有时，有|f(z)-w0|e e (1.2.25)则称
34、则称zz0时时f(z)的极限为的极限为w0，记作，记作l由定义可见，极限值由定义可见，极限值w0是与是与zz0的方式无关的，换的方式无关的，换句话说，当句话说，当z以不同方式趋于以不同方式趋于z0，如果，如果f(z)的取值不的取值不同，则其极限不存在。同，则其极限不存在。64l由于由于w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因此复变函数中，因此复变函数中极限的定义可以归结为实变二元函数极限的极限的定义可以归结为实变二元函数极限的定义，并且复变函数极限的性质就是实变函定义，并且复变函数极限的性质就是实变函数极限性质的自然推广数极限性质的自然推广 65 2.函数极限的性质函数极限的性质 66
35、1.2.4 复变函数的连续复变函数的连续1.连续函数的定义连续函数的定义l设设w=f(z)是在是在z0点邻域中定义的函数若任给点邻域中定义的函数若任给实数实数e 0e 0，存在实数存在实数d d 0，使当，使当|z-z0|d d 时，时，有有|f(z)-w0|e e (1.2.30)则称函数则称函数w=f(z)在在z0处连续。处连续。67 1.2.4 复变函数的连续复变函数的连续l在极限的定义中，只要求在在极限的定义中，只要求在z0点的无心邻域点的无心邻域 0|z-z0|d d 中中|f(z)-w0|e e，w0 可以不等于可以不等于f(z0)；l在连续的定义中要求在在连续的定义中要求在z0
36、点的邻域点的邻域|f(z)-f(z0)|e e f(z)是是 x,y的函数，因而的函数，因而w=u+iv也是也是 x,y的函数，的函数，f(z)在在z0=x0+iy0连续与连续与u(x,y)，v(x,y)必在必在(x0,y0)连续是等连续是等价的，价的，f(z)=f(z0)。l如果如果w=f(z)在在D内每一点连续，则称函数在内每一点连续，则称函数在D内连续。内连续。68 2.连续函数的性质连续函数的性质l在实变函数中有关连续函数的性质，可以自然地推在实变函数中有关连续函数的性质，可以自然地推广到复变函数中来广到复变函数中来l首先，如果首先，如果f(z)在在D上连续，则上连续，则f(z)在在D
37、上一致连续上一致连续即任给实数即任给实数e e 0，存在实数，存在实数d d 0，使，使D上任何两点上任何两点z 和和z 满足满足|z -z|d d 时，必有时，必有|f(z )一一f(z )|e e (1.2.31)l在连续的定义中，只要求在连续的定义中，只要求f(z)在在z0点的邻域中有定义，点的邻域中有定义，并且并且z0是定点，是定点，z为动点；在一致连续的定义中，要为动点；在一致连续的定义中，要求求f(z)闭区域闭区域D上连续，且上连续，且z 和和z“为为 D上的两动点上的两动点69 2.连续函数的性质连续函数的性质l类似地，连续函数的和、差、积、商类似地，连续函数的和、差、积、商(在
38、在分母不为零的点分母不为零的点)仍为连续函数，连续函仍为连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数数的复合函数仍为连续函数l以上性质的证明，可参看实变函数相应以上性质的证明，可参看实变函数相应性质的证明性质的证明70作业作业-1.2 第第14页页Group 1Group 2Group 31.1.2.1(1)、（4）2.1.2.2 1.1.2.1(1)、（3）2.1.2.2 1.1.2.1(1)、（2）2.1.2.2 1.3 复变函数的导数 柯西-黎曼条件本节首先介绍复变函数导数和微分的定义，进而导出复变函数可导的充分必要条件；定理的证明过程表明，柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)条件是复
39、变函数可导的必要条件；最后，讨论复变函数导数的几何意义72 1.3.1 导数与微分导数与微分1.导数的定义与导数公式导数的定义与导数公式l设设w=f(z)是区域是区域D中定义的单值函数，若在中定义的单值函数，若在D内内某点某点z，极限，极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在在z点可导，并称此极限值点可导，并称此极限值为为f(z)在在z点的导数，记作点的导数，记作73l讨论讨论 第一，由极限的定义可知，无论第一，由极限的定义可知，无论D D z以任何方式趋于零，以任何方式趋于零，式式(1.3.1)均应趋于同一有限的极限值均应趋于同一有限的极限值l第二，第二，f(z)在在z点可导，则点可导，
40、则f(z)必在必在z点连续。因为，若点连续。因为，若f(z)不不连续，即当连续，即当D D z0 0 时，时，D Dw=f(z+D D z)-f(z)不趋于零，式不趋于零，式(1.3.1)必定没有有限的极限，与必定没有有限的极限，与f(z)在在z点可导矛盾。点可导矛盾。l第三，由于复变函数导数的定义与实变函数导数的定义在第三，由于复变函数导数的定义与实变函数导数的定义在形式上相同，实变函数所有导数公式都可以推广到复变函形式上相同，实变函数所有导数公式都可以推广到复变函数中来数中来l特别是，当特别是，当f1(z)和和f2(z)都存在时，都存在时，f1(z)和和f2(z)的和、差、的和、差、积、商
41、以及复合函数的导数公式也具有与实变函数相同的积、商以及复合函数的导数公式也具有与实变函数相同的形式例如，复合函数导数的公式为形式例如，复合函数导数的公式为742.微分的定义与微分公式微分的定义与微分公式75l 这样，导数也可理解为函数微分除以自变量这样，导数也可理解为函数微分除以自变量微分之商，称为微商微分之商，称为微商l复变函数的微分公式也具有与实变函数相同复变函数的微分公式也具有与实变函数相同的形式，此处不再赘述的形式，此处不再赘述l现在，我们转向研究函数现在，我们转向研究函数w=f(z)可导的条件可导的条件是什么是什么76 1.3.2 复变函数可导的充分必要条件复变函数可导的充分必要条件
42、定理定理 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在(x,y)点可导的充要条点可导的充要条件是件是l(1)u(x,y)与与v(x,y)在在(x,y)点可微；点可微；l(2)u(x,y)与与v(x,y)在在(x,y)点满足柯西一黎曼条件点满足柯西一黎曼条件(简称简称C-R条件条件)采用简写记号采用简写记号 C-R条件可简写为条件可简写为采用简写记号采用简写记号 C-R条件可简写为条件可简写为77证明证明 (1)充分性充分性l由由u，v可微，可知可微，可知u，v的全微分存在，即的全微分存在，即其中其中1和和2是无穷小量（当是无穷小量（当x与与y0）对于任意的）对于任意的z=x+iy有有78
43、l利用利用C-R条件，把对条件，把对y的偏导改为对的偏导改为对x的偏导，消去的偏导，消去公因子，即有公因子，即有l利用利用 ，当，当z0时，时，即即x0及及y0时，上式第二项趋于零，时，上式第二项趋于零，即即即即f(z)可导，充分性得证可导，充分性得证 79(2)必要性必要性l若若f(z)在在z点可导，则式点可导，则式(1.3.1)有确定的极限有确定的极限80将式将式(1.3.19)与式与式(1.3.20)联立即得联立即得C-R条件，必要性得条件，必要性得证证81讨论讨论 l第一，从第一，从“函数可微函数可微”的定义可见，判断式的定义可见，判断式(1.3.4)的第二项是否关于的第二项是否关于r
44、 r的高阶小量要费些周折通常的高阶小量要费些周折通常以可微的充分条件以可微的充分条件(u，v有连续的偏导数有连续的偏导数)来代替来代替*因为要判断因为要判断u，v是否遵守是否遵守C-R条件就要计算条件就要计算ux，uy，vx，vy，考察它们是否连续是轻而易举的，考察它们是否连续是轻而易举的 第二，从定理的证明过程可见；第二，从定理的证明过程可见；C-R条件是条件是f(z)可导可导的必要条件，而不是充分条件例的必要条件，而不是充分条件例1.3.1是一个非常是一个非常形象的例子形象的例子828384 1.3.3 复变函数导数的几何意义复变函数导数的几何意义l设函数设函数w=f(z)在在z=z0点有
45、导数点有导数l由复变函数的几何意义可知，当由复变函数的几何意义可知，当z在在z平面沿曲线平面沿曲线L变动时，变动时，w在在w平面沿曲线平面沿曲线L变动变动(图图1.12)(1.3.22)8586由等式两边复数的模与辐角相等由等式两边复数的模与辐角相等(一般来说，两者辐一般来说，两者辐角可相差角可相差2kp p，便有，便有由此可得导数的几何意义：由此可得导数的几何意义：l导数的模导数的模|f(z0)|表示通过点表示通过点z0 的无穷小线段的无穷小线段D Dz映射映射为为w平面的平面的D Dw时，长度的放大系数时，长度的放大系数l 导数的辐角导数的辐角argf(z0)表示曲线表示曲线L上上z。点的
46、切线与曲。点的切线与曲线线L上的上的w0点的切线的夹角，即从点的切线的夹角，即从z平面到平面到w平面映平面映射前后切线的转动角射前后切线的转动角87作业作业-1.3 第第19页页Group 1Group 2Group 31.1.3.2 2.1.3.33.1.3.4(1)(3)1.1.3.2 2.1.3.33.1.3.4(2)(5)1.1.3.2 2.1.3.33.1.3.4(1)(4)1.4 解析函数本节介绍解析函数的定义;函数解析的充要条件及解析函数的共扼性、调和性和保角性;在此基础上介绍从解析函数的虚部(或实部)求解析函数的四种常用方法最后介绍初等解析函数89 1.4.1 解析函数的定义解
47、析函数的定义l若函数若函数f(z)在区域在区域D内点点可导，则称内点点可导，则称f(z)为为D内的解析函数内的解析函数l若函数若函数f(z)在在z0点的邻域点的邻域(|z-z0|e e)点点可导，点点可导，则称则称f(z)在在z0点解析，它比点解析，它比“f(z)在在z0点可导点可导”要求为高要求为高(参看例参看例1.4.1).l若函数若函数f(z)在包含在包含D的某个开区域的某个开区域D+内解析，内解析，则称则称f(z)在闭区域在闭区域D中解析中解析90l如果如果f1(z)和和f2(z)在在D内解析，即内解析，即f1(z)与与f2(z)在在D内点点可导，内点点可导，1.3节指出节指出f1(z
48、)和和f2(z)的和、差、的和、差、积、商积、商(f2(z)0)也在也在D内点点可导，可见它们内点点可导，可见它们均为解析函数均为解析函数l特别是，令特别是，令f1(z)=1，则解析函数，则解析函数f2(z)的倒函数的倒函数g(z)也是解析函数也是解析函数(当然，仍要求当然，仍要求f2(z)0)91【例例1.4.1】函数函数f(z)=|z|2在在z=0点是否可导？是否解析？点是否可导？是否解析？解解 由由f(z)=|z|2=x2+y2，得，得 u=x2+y2，v=0，由此得，由此得ux=2x，uy=2y，vx=0，vy=0 即即u，v在在z=0点可微且满足点可微且满足C-R条件，可见条件，可见
49、f(z)仅于仅于 z=0 点可导点可导 因为因为f(z)在在z=0的邻域除的邻域除z=0点外均不可导，故点外均不可导，故f(z)在在z=0不解析不解析l若函数若函数f(z)在某点在某点a没有定义，或者在没有定义，或者在a点不解析，则点不解析，则称称a点为点为f(z)的奇点例如的奇点例如z=a就是函数就是函数f(z)=1/(1-z)的的奇点奇点92 1.4.2 1.4.2 函数解析的充要条件函数解析的充要条件l定理定理:函数函数f(z)在区域在区域D内解析的充要条内解析的充要条件为件为u(1)(1)f(z)在在D内连续；内连续；u(2)(2)u，v遵守遵守C-R条件条件93l既然既然f(z)在在
50、D内解析定义为内解析定义为f(z)在在D内点点可导，内点点可导，而而f(z)可导的充要条件是可导的充要条件是u，v可微且满足可微且满足C-R条件，自然会得出函数解析的充要条件是条件，自然会得出函数解析的充要条件是u，v在在D内可微且满足内可微且满足C-R条件条件l19231923年，年，LoomanLooman等试图利用等试图利用f(z)连续代替连续代替u，v可微作为函数解析的充要条件，可惜他们的可微作为函数解析的充要条件，可惜他们的证明有缺陷证明有缺陷1010年之后前苏联数学家在年之后前苏联数学家在19331933年完成了这一证明，定理的证明超出本书的年完成了这一证明，定理的证明超出本书的范