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1、7.2.2 7.2.2 7.2.2 7.2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换在工程技术中在工程技术中在工程技术中在工程技术中,除了经常用到除了经常用到除了经常用到除了经常用到还经常用到还经常用到还经常用到还经常用到例如例如例如例如某一时刻进入一单位某一时刻进入一单位某一时刻进入一单位某一时刻进入一单位单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数.电量的脉冲电量的脉冲电量的脉冲电量的脉冲,电路中的电荷函数电路中的电荷函数电路中的电荷函数电路中的电荷函数电路中的电路中的电路中的电路中的电流电流电流电流强度强度强度强度不可能不可
2、能不可能不可能用用用用现有现有现有现有为了确定电路中的为了确定电路中的为了确定电路中的为了确定电路中的电流电流电流电流强度强度强度强度,必须引进一个新的函数必须引进一个新的函数必须引进一个新的函数必须引进一个新的函数,这个函数称为这个函数称为这个函数称为这个函数称为狄拉克狄拉克狄拉克狄拉克函数函数函数函数,函数函数函数函数简单记为简单记为简单记为简单记为函数函数函数函数.它没有普通意义的函数值它没有普通意义的函数值它没有普通意义的函数值它没有普通意义的函数值,但是它在工程技术中但是它在工程技术中但是它在工程技术中但是它在工程技术中 有非常重要的应用有非常重要的应用有非常重要的应用有非常重要的应
3、用.在积分变换中在积分变换中在积分变换中在积分变换中,一些基本初等函数一些基本初等函数一些基本初等函数一些基本初等函数必须用必须用必须用必须用函数表示函数表示函数表示函数表示函数可以看成是函数可以看成是函数可以看成是函数可以看成是型函数序列的型函数序列的型函数序列的型函数序列的弱弱弱弱极限极限极限极限1.1.1.1.函数的定义函数的定义函数的定义函数的定义前面讲过的函数外前面讲过的函数外前面讲过的函数外前面讲过的函数外,的象函数的象函数的象函数的象函数的函数表示出来的函数表示出来的函数表示出来的函数表示出来在原来在原来在原来在原来电流电流电流电流为零的电路中为零的电路中为零的电路中为零的电路中
4、,是一个广义函数是一个广义函数是一个广义函数是一个广义函数,1型函数序列型函数序列型函数序列型函数序列如果对于任何如果对于任何如果对于任何如果对于任何都满足都满足都满足都满足则称则称则称则称的的的的弱弱弱弱极限极限极限极限一个一个一个一个无穷无穷无穷无穷次次次次可微的函数可微的函数可微的函数可微的函数为为为为 函数函数函数函数,也称为也称为也称为也称为单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数.定义定义定义定义7.37.37.37.3在区间在区间在区间在区间具有如下性质的函数具有如下性质的函数具有如下性质的函数具有如下性质的函数且且且且称为称为称为称为函数函数函数函数定义定义定义定义7.
5、47.47.47.422.2.2.2.函数的性质函数的性质函数的性质函数的性质对于任何对于任何对于任何对于任何筛选性质筛选性质筛选性质筛选性质特别特别特别特别一个一个一个一个无穷无穷无穷无穷次次次次可微的函数可微的函数可微的函数可微的函数时时时时 证明证明证明证明根据定义根据定义根据定义根据定义罗必答法则罗必答法则罗必答法则罗必答法则时时时时 例如例如例如例如3例例1.已知某函数已知某函数求该函数求该函数解解的傅氏变换为的傅氏变换为4函数的函数的函数的函数的筛选筛选筛选筛选性质性质性质性质F F 的的的的象象象象函数函数函数函数3.3.3.3.函数的傅氏变换函数的傅氏变换函数的傅氏变换函数的傅
6、氏变换F F F F 特别特别特别特别例如例如例如例如F F F F F F F F 5F F 128128页页页页7.(4)7.(4)求函数求函数的傅氏变换的傅氏变换解解F F F F F F F F F F 6的的的的象象象象函数函数函数函数F F 的傅氏的傅氏的傅氏的傅氏逆逆逆逆变换变换变换变换是是是是偶偶偶偶函数函数函数函数补充公式补充公式补充公式补充公式F F 的的的的象象象象函数函数函数函数的的的的象象象象函数函数函数函数F F 7的的的的象象象象函数函数函数函数的的的的象象象象函数函数函数函数的的的的象象象象函数函数函数函数的的的的象象象象函数函数函数函数例如例如例如例如F F
7、F F F F F F F F F F F F F F F F 特别特别特别特别复习复习复习复习8F F F F F F F F F F F F F F F F 正弦余弦正弦余弦正弦余弦正弦余弦的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换9F F F F 128 128页页页页7(5)7(5)求函数求函数求函数求函数的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换解解解解F F F F 10119页例页例7.6 证明证明的傅氏变换为的傅氏变换为的傅氏变换为的傅氏变换为证证 已知已知则则单位阶跃函数单位阶跃函数11练习练习求函数求函数的傅氏变换的傅氏变换解解F F F F F F F F F F F F 1
8、2 例例例例3 3求函数求函数求函数求函数的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换的傅氏变换解解解解F F F F F F F F 137.2.3 7.2.3 7.2.3 7.2.3 傅氏变换的物理意义傅氏变换的物理意义傅氏变换的物理意义傅氏变换的物理意义频谱频谱频谱频谱设设设设是一个非正弦的周期函数是一个非正弦的周期函数是一个非正弦的周期函数是一个非正弦的周期函数,它的周期为它的周期为它的周期为它的周期为T,T,T,T,在一个周期上在一个周期上在一个周期上在一个周期上满足狄氏两个条件满足狄氏两个条件满足狄氏两个条件满足狄氏两个条件.若若若若的傅氏级数为的傅氏级数为的傅氏级数为的傅氏级数为三角三角三角三
9、角形式：形式：形式：形式：则则则则的的的的振幅振幅振幅振幅它的第它的第它的第它的第n n n n次谐波次谐波次谐波次谐波若若若若的傅氏级数为的傅氏级数为的傅氏级数为的傅氏级数为指数指数指数指数形式：形式：形式：形式：则则则则的的的的振幅振幅振幅振幅它的第它的第它的第它的第n n n n次谐波次谐波次谐波次谐波描述了各次谐波的振幅描述了各次谐波的振幅描述了各次谐波的振幅描述了各次谐波的振幅 随频率变化随频率变化随频率变化随频率变化 的分布情况的分布情况的分布情况的分布情况频率和振幅的关系图频率和振幅的关系图频率和振幅的关系图频率和振幅的关系图 称为称为称为称为频谱图频谱图频谱图频谱图也称为振幅也
10、称为振幅也称为振幅也称为振幅频谱频谱频谱频谱,简称为简称为简称为简称为频谱频谱频谱频谱14若若若若在在在在上有定义上有定义上有定义上有定义且绝对可积且绝对可积且绝对可积且绝对可积,收敛收敛收敛收敛,即即即即 在任何一个有限区间上在任何一个有限区间上在任何一个有限区间上在任何一个有限区间上满足狄氏两个条件满足狄氏两个条件满足狄氏两个条件满足狄氏两个条件则在则在则在则在的的的的连续连续连续连续点处点处点处点处其中其中其中其中为为为为的傅氏的傅氏的傅氏的傅氏变换变换变换变换也称为也称为也称为也称为的的的的频谱频谱频谱频谱函数函数函数函数,频谱频谱频谱频谱函数的模函数的模函数的模函数的模 称为称为称为
11、称为的振幅的振幅的振幅的振幅频谱频谱频谱频谱,简称为简称为简称为简称为频谱频谱频谱频谱由于由于由于由于是连续变化的是连续变化的是连续变化的是连续变化的,我们称之为连续频谱我们称之为连续频谱我们称之为连续频谱我们称之为连续频谱,对一个时间函数进行对一个时间函数进行对一个时间函数进行对一个时间函数进行傅氏傅氏傅氏傅氏变换变换变换变换,就是求这个就是求这个就是求这个就是求这个时间函数的时间函数的时间函数的时间函数的频谱频谱频谱频谱单位脉冲函数的单位脉冲函数的单位脉冲函数的单位脉冲函数的频谱频谱频谱频谱函数函数函数函数的频谱函数的频谱函数的频谱函数的频谱函数15例例例例1 1 1 1 矩形脉冲函数矩形脉冲函数矩形脉冲函数矩形脉冲函数的频谱函数的频谱函数的频谱函数的频谱函数F F 例例例例2 2 2 2 指数衰减函数指数衰减函数指数衰减函数指数衰减函数的频谱函数的频谱函数的频谱函数的频谱函数16