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1、欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式 3 初等函数初等函数为实数为实数为实数为实数 为整数为整数为整数为整数 11 1、指数函数、指数函数、指数函数、指数函数设设设设为为为为指数函数指数函数指数函数指数函数称称称称实部实部实部实部虚部虚部虚部虚部指数指数指数指数函数函数函数函数若若若若则幅角主值则幅角主值则幅角主值则幅角主值模模模模幅角幅角幅角幅角映射映射映射映射将将将将z z平面的平面的平面的平面的实轴实轴实轴实轴映射到映射到映射到映射到 w w平面的平面的平面的平面的正正正正实轴实轴实轴实轴时时时时指数函数指数函数指数函数指数函数其其其其周期周期周期周期为为为为是是是是周期周期周期周期函数函数
2、函数函数在复平面内在复平面内在复平面内在复平面内处处解析处处解析处处解析处处解析2证明证明证明证明设设设设则则则则在在在在C C内处处内处处内处处内处处例如例如例如例如实部实部实部实部虚部虚部虚部虚部幅角主值幅角主值幅角主值幅角主值模模模模幅角幅角幅角幅角不解析不解析不解析不解析32 2、对数函数、对数函数、对数函数、对数函数由方程由方程由方程由方程称为称为称为称为对数对数对数对数函数函数函数函数确定的函数确定的函数确定的函数确定的函数设设设设则则则则 的模的模的模的模的幅角的幅角的幅角的幅角等于等于等于等于z z的模的模的模的模等于等于等于等于z z的幅角的幅角的幅角的幅角作为作为作为作为的
3、实部的实部的实部的实部作为作为作为作为的虚部的虚部的虚部的虚部故故故故若若若若则则则则对数对数对数对数函数函数函数函数称称称称为为为为的主值的主值的主值的主值 特别若特别若特别若特别若 则则则则 是多值函数是多值函数是多值函数是多值函数4对数对数对数对数函数的主值函数的主值函数的主值函数的主值下面证明下面证明下面证明下面证明在除去原点在除去原点在除去原点在除去原点复平面内处处复平面内处处复平面内处处复平面内处处处处处处处处处处解析解析解析解析 实部实部实部实部 虚部虚部虚部虚部 在右半平面在右半平面在右半平面在右半平面内都内都内都内都可微可微可微可微满足满足满足满足解析解析解析解析 与负实轴的
4、与负实轴的与负实轴的与负实轴的 连续连续连续连续 在除去原点在除去原点在除去原点在除去原点复平面内处处复平面内处处复平面内处处复平面内处处与负实轴的与负实轴的与负实轴的与负实轴的 连续连续连续连续 在虚轴右边在虚轴右边在虚轴右边在虚轴右边的的的的解析解析解析解析情况情况情况情况 条件条件5若若若若则则则则例例例例1 1 计算计算计算计算 解解解解 例例例例2 2 计算计算计算计算 解解解解 例例例例3 3 计算计算计算计算 解解解解 6规定规定73 3、乘幂与幂函数、乘幂与幂函数、乘幂与幂函数、乘幂与幂函数设设设设a ab b为为为为任何任何任何任何复数复数复数复数,因为因为所以所以如果如果其
5、中其中n为整数为整数则则是单值的是单值的是单值的是单值的如果如果则则其中其中其中其中的复数的复数的复数的复数,为为为为不等于零不等于零不等于零不等于零8如果如果如果如果b b不是有理数不是有理数不是有理数不是有理数,则则则则有无穷多个值有无穷多个值有无穷多个值有无穷多个值例例1 计算计算解解解解例例2 计算计算解解解解令令令令得到它的主值是得到它的主值是得到它的主值是得到它的主值是正实数正实数正实数正实数主值是主值是主值是主值是9例例3 计算计算解解主值是主值是例例4 计算计算解解10幂函数幂函数幂函数幂函数如果如果如果如果其中其中其中其中n n为整数为整数为整数为整数,则则则则是单值函数，是
6、单值函数，是单值函数，是单值函数，如果如果如果如果则则则则其中其中其中其中在复平面内在复平面内在复平面内在复平面内是多值函数，是多值函数，是多值函数，是多值函数，有有有有n n个分支，个分支，个分支，个分支，每个分支每个分支每个分支每个分支如果如果如果如果b b不是有理数不是有理数不是有理数不是有理数,则则则则是多值函数，是多值函数，是多值函数，是多值函数，有无穷个分支，有无穷个分支，有无穷个分支，有无穷个分支，每个分支每个分支每个分支每个分支在除去原点在除去原点在除去原点在除去原点复平面内处处复平面内处处复平面内处处复平面内处处与负实轴的与负实轴的与负实轴的与负实轴的 解析解析解析解析 在除
7、去原点在除去原点在除去原点在除去原点复平面内处处复平面内处处复平面内处处复平面内处处与负实轴的与负实轴的与负实轴的与负实轴的 解析解析解析解析 处处处处处处处处解析解析解析解析114 4、三角函数、三角函数、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数余弦函数余弦函数同样可证同样可证同样可证同样可证所以所以所以所以是周期函数是周期函数是周期函数是周期函数,其周期为其周期为其周期为其周期为奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数12双曲函数双曲函数双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦双曲余弦双曲余弦三角正弦三角正弦三角正弦三角正弦三角余弦
8、三角余弦三角余弦三角余弦无界函数无界函数无界函数无界函数13指数函数指数函数指数函数指数函数是单值函数是单值函数是单值函数是单值函数,都是都是都是都是单值单值单值单值函数函数函数函数指数函数指数函数指数函数指数函数处处处处处处处处解析解析解析解析同样有同样有同样有同样有小结小结小结小结初等初等初等初等函数函数函数函数(1)(1)都在都在都在都在C C内内内内处处处处处处处处解析解析解析解析(2)(2)有理函数有理函数有理函数有理函数在除去在除去在除去在除去的零点的零点的零点的零点的复平面内的复平面内的复平面内的复平面内解析解析解析解析(3)(3)对数函数对数函数对数函数对数函数幂函数幂函数幂函
9、数幂函数处处处处处处处处解析解析解析解析在定义区域内在定义区域内在定义区域内在定义区域内非初等非初等非初等非初等函数函数函数函数处处处处处处处处不不不不解析解析解析解析在在在在C C内内内内关于关于关于关于z z的任何的任何的任何的任何多项式多项式多项式多项式在在在在C C内内内内等等等等在除去原点在除去原点在除去原点在除去原点复平面内处处复平面内处处复平面内处处复平面内处处与负实轴的与负实轴的与负实轴的与负实轴的 解析解析解析解析 14例例例例 找出下列方程找出下列方程找出下列方程找出下列方程 的全部解的全部解的全部解的全部解解解解解解解解解15例例例例 找出下列方程找出下列方程找出下列方程找出下列方程 的全部解的全部解的全部解的全部解解解解解解解解解两边乘以两边乘以两边乘以两边乘以得到得到得到得到16