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1、第四章 导数的应用第一节 单调性与极值一、单调性设()在区间 I 上可导，若()0(0),则()在 I 上单调增加,减少-二、极值1.极值的定义设()在 U(1)内有定义，对任意一点 1的去心邻域，若有()(1),则称点1是()的极大值点,极小值点-，称(1)是()的极大值（极小值）1.极值的必要条件设()在1处可导，且在1处取得极值，则(1)=02.驻点函数的一阶导数为 0 的点称为驻点，驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点3.极值的第一充分条件设()在1处连续，在(1,)内可导9:（1）当 (1,1)时，()0,则()在1处取得极小值（2）当 (1,1)时，()0;当 (1,1+)时，
2、()0,则()在1处取得极大值（3）若()在1的两侧不变号，则1不是()的极值点4.极值的第二充分条件韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦
3、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化更多考研押题资料视频，【公众号：小盆考研】免费提供无水印版由【公众号：小盆考研】免费提供无水印版由【公众号：小盆考研】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆考研】，回复【数学预测】免费获取更多考研数学预测卷，【公众号：小盆考研】，回复【数学预测】免费获取更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆考研】，
4、回复【数学】免费获取设()在1处二阶可导，且(1)=0,(1)0.（1）若(1)0,则1是()的极小值点三、最值1.求()在闭区间,上最大值 M 和最小值 m 的步骤（1）求()在开区间(,)内的驻点和不可导点，以及其对应的函数值（2）求()在端点处的函数值(),()（3）比较()在驻点和不可导点及(),()的大小，最大者为()在,上最大值 M，最小者为()在,上最大值2.求()在开区间上(,)最大值 M 和最小值 m 的步骤（1）求()在开区间(,)内的驻点和不可导点（2）求 limGIJ()=A,limGLM()=B（3）比较()在驻点和不可导点的函数值与 A，B 的大小，便可求出()在开
5、区间上(,)最大值 M 和最小值 m韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林
6、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化典型例题分析类型题一 证明不等式O例 1P设 (0,1),证明：（1）(1+)S(1+)S（2）TUVS 1 TWX(TYG)TGTS韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文
7、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化O例 2P设 0 ,证明：2S+S 0,()=
8、13,f0,1g,则()A.当 0 1 时，f1g是()的最大值B.当 0 1 时，(0)是()的最大值C.当 1 时，f1g是()的最大值D.当 1 时，(0)是()的最大值韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化
9、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化O例 7P设=()由方程 2 2S+2 S=1 确定，求=()的极小值韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦
10、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦
11、林文化韦林文化韦林文化韦林文化O例 8P求()=m(S)opq的单调区间和极值GqT韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林
12、文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化第二节 凹凸性与拐点一、凹凸性的概念1.凹凸性的定义设函数()在区间 I 上连续，若对任意的T,S(T S),有fT+S2g(T)+(S)2,则称=()在 I 上是凸函数2.凹凸性的判别设()在区间 I 上二阶可导，（1）若()0,则()在 I 上是凹函数（2）若()0,则()在 I 上是凸函数二、拐点的概念1.拐点的定义
13、设()在某区间上连续，=()的凹凸性的分界点称为拐点2.拐点的判别（1）求(),令()=0，解得=1（2）若()在=1两侧临近异号，则,1,(1)-是拐点三、渐近线与曲率1.渐近线（1）水平渐近线：若 limGt()=,则称=为=()的水平渐近线（2）铅直渐近线：若 limGGu()=,则称=1为=()的铅直渐近线（3）斜渐近线：若limGtw(G)G=,且limGt()=,则称=+为=韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦
14、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化()的斜渐近线2.
15、曲率（仅数学一、数学二要求）在几何上，曲率表示曲线的=()的弯曲程度（1）曲率公式K=|y|TY(yz)qq（2）曲率半径R=T韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化
16、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化典型例题分析类型题一 讨论曲线的凹凸性与拐点例 1求曲线()=(5)q的凹凸区间与拐点韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦
17、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类
18、型题二 曲率与曲率圆例 2已知抛物线=S+经过点 P(1,2)，在该点与园 TSS+f 52gS=12相切，且有相同的曲率半径与凹向，求,韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文
19、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化例 3设=()有二阶连续导数，且()不变号，曲线=()在点(1,1)处的曲率园为S+S=2,则()在区间(1,2)内()A.有极值点，无零点B.无极值点，无零点C.有极值点，有零点D.无极值点，有零点韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文
20、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文
21、化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题三 讨论含参数方程的根例 4讨论方程2 9S+12+=0 不同实根的个数韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化
22、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化更多考研押题资料视频，【公众号：小盆考研】免费提供无水印版由【公众号：小盆考研】免费提供无水印版由【公众号：小盆考研】免费提供更多考研数学预测卷，【公众号：小盆考研】，回复【数学预测】免费获取更多考研数学预测
23、卷，【公众号：小盆考研】，回复【数学预测】免费获取更多考研数学视频文档资料，【公众号：小盆考研】，回复【数学】免费获取例 5求方程=不同实根的个数，其中为参数 韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化
24、韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化类型题四 求渐近线方程例 6求曲线=TG+ln(1+G)的渐近线方程 韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦
25、林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化韦林文化