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1、空间向量的正交分解第1页，本讲稿共14页一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来 i,j,k 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz 点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。第2页，本讲稿共14页二、向量的直角坐标表示二、向量的直角坐标表示 给定一个空间坐标系和向量 ,且设i、j、k为坐标向量，由空
2、间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,)使 =i+j+k 有序数组(,)叫做 在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.xyzOA(x,y,z)ijk第3页，本讲稿共14页 在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底i,j,k中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)ijk第4页，本讲稿共14页三、三、空间向量基本定理空间向量基本定理第5页，本讲
3、稿共14页四、向量的直角坐标运算四、向量的直角坐标运算第6页，本讲稿共14页五、距离与夹角五、距离与夹角1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。的长度。第7页，本讲稿共14页在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式第8页，本讲稿共14页2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：（1）当 时，同向；（2）当 时，反向；（3）当 时，。思考：当 及 时，的夹角在什么范围内？第9页，本讲稿共14页六、应用举例六、应用举例例1已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；解：设是的中点，则点的坐标是点的坐标是.第10页，本讲稿共14页（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。解：点到的距离相等，则化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是第11页，本讲稿共14页例2如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则第12页，本讲稿共14页例2如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。第13页，本讲稿共14页练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：第14页，本讲稿共14页