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1、空间向量的正交分解第1页，共14页，编辑于2022年，星期日一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做单位正交基底，常用来基底叫做单位正交基底，常用来 i,j,k 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 i、j、k 。以点。以点O为原点，为原点，分别以分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建
2、立了这样就建立了一个空间直角坐标系一个空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量都叫做坐标向量.通通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。第2页，共14页，编辑于2022年，星期日二、向量的直角坐标表示二、向量的直角坐标表示 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设i、j、k为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组一的有序实数组(,)使使 =i+j+k 有序数组有序数组(,)叫做叫做 在空在空间直角坐标系间直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，记作记作
3、.xyzOA(x,y,z)ijk第3页，共14页，编辑于2022年，星期日 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，中，对空间任一点，A,对应一个向量对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数，于是存在唯一的有序实数组组x,y,z，使，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底在单位正交基底i,j,k中与向量中与向量OA对应的有对应的有序实数组序实数组(x,y,z)，叫做点，叫做点A在此空间直角坐标系在此空间直角坐标系中的坐标，记作中的坐标，记作A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标
4、.xyzOA(x,y,z)ijk第4页，共14页，编辑于2022年，星期日三、三、空间向量基本定理空间向量基本定理第5页，共14页，编辑于2022年，星期日四、向量的直角坐标运算四、向量的直角坐标运算第6页，共14页，编辑于2022年，星期日五、距离与夹角五、距离与夹角1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。线的长度。第7页，共14页，编辑于2022年，星期日在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式第8
5、页，共14页，编辑于2022年，星期日2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？第9页，共14页，编辑于2022年，星期日六、应用举例六、应用举例例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；解：设是的中点，则解：设是的中点，则点的坐标是点的坐标是.第10页，共14页，编辑于2022年，星期日（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。解：点到的距离
6、相等，则解：点到的距离相等，则化简整理，得化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是第11页，共14页，编辑于2022年，星期日例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则第12页，共14页，编辑于2022年，星期日例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。第13页，共14页，编辑于2022年，星期日练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：第14页，共14页，编辑于2022年，星期日