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1、关于空间向量的正交分解及坐标表示现在学习的是第1页，共34页学习目标学习目标1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示向量的正交分解及坐标表示2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示量基本定理及坐标表示。3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展变化的。识到事物都是在不断的发展变化的。学习重点学习重点 空间向量基本定理空间向量基本定理学习难点学习难点 探
2、究空间向量基本定理的过程及定理的应用探究空间向量基本定理的过程及定理的应用现在学习的是第2页，共34页1211122122e eae eaee 如如果果，是是同同一一平平面面内内的的两两个个向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量，有有且且只只有有一一对对实实数数，使使。（、叫叫做做表表示示这这一一平平面面内内所所有有向向量量的的一一组组不不共共线线基基底底。）1、平面向量基本定理：一、预备知识一、预备知识现在学习的是第3页，共34页apbyaxp 一、预备知识一、预备知识2、下图中，如何用两个不共线向量下图中，如何用两个不共线向量 来表来表示示？ba,paxbybO
3、P现在学习的是第4页，共34页yx12312ij3、在平面直角坐标系中，取与在平面直角坐标系中，取与X轴轴Y轴方向轴方向相同的两个单位向量相同的两个单位向量 、作为基底，在图中、作为基底，在图中作出作出 =，并写出，并写出 的坐标。的坐标。ijpji23 ppp=（3，2）i3j2O现在学习的是第5页，共34页pxyzoijkijk二、探究与发现二、探究与发现 探究一探究一设设 、为由公共起点为由公共起点O的三个两两互相垂直的向量的三个两两互相垂直的向量，那么对于空间任意一个向量，那么对于空间任意一个向量 ，如何用，如何用 、来表示？来表示？ijkpQkzjyi xpP现在学习的是第6页，共3
4、4页abpc探究二探究二如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直的向量直的向量 ，还有类似结论吗？，还有类似结论吗？cba,cbyaxpzOPQ现在学习的是第7页，共34页 空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一不共面，那么对空间任一向量向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z，使得，使得p xaybzc。把不共面的三个向量把不共面的三个向量a、b、c叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底 a,b,c都叫做都叫做基向量基向量现在学习的是第8页，共34页注意：注意：2.空间向量的基底唯一
5、吗？空间向量的基底唯一吗？1.空间向量的基底可以为零向量吗？空间向量的基底可以为零向量吗？任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。基向量不能为零向量基向量不能为零向量现在学习的是第9页，共34页 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1,e2,e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3,以点以点O
6、为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一这样就建立了一个空间直角坐标系个空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向量坐标向量.通过每两个坐通过每两个坐标轴的平面叫做标轴的平面叫做坐标平面坐标平面。xyzOe1e2e3（2）空间向量的坐标表示）空间向量的坐标表示现在学习的是第10页，共34页 给定一个空间坐标系和向量给定一个空间坐标系和向量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向为坐标向量，由空间向量基本定理，存在
7、唯一的有序实数量基本定理，存在唯一的有序实数组组(x,y,z)使使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组(x,y,z)叫做叫做p在空间直角坐在空间直角坐标系标系O-xyz中的坐标，记作中的坐标，记作.P=(x,y,z)p（2）空间向量的坐标表示）空间向量的坐标表示xyzOe3e1e2P现在学习的是第11页，共34页三、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOijkP记作 =(x,y,z)p由空间向量基本定理，对由空间向量基本定理，对于空间任一于空间任一向量向量 存在唯存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y,z)使使 pkzj yi xpPP现在学习的是第12页，共34页练习练习.正方
8、体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2，以，以A为为坐标原点，以坐标原点，以 AB,AD,AA1为为x轴、轴、y轴、轴、z轴正轴正方向建立空间直角坐标系，设向量方向建立空间直角坐标系，设向量 ，为，为x轴、轴、y轴、轴、z轴正方向的单位向量，用向量轴正方向的单位向量，用向量 ，表示向量表示向量AC1和和BD1。ijkijkijk现在学习的是第13页，共34页三、定理应用三、定理应用例例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用向量 、表示 和 。OAOBOCOPOQ OABCMNPQ现在学习的是第14页，共34页MNOAMQOMOQ3121
9、)(3121OMONOA)21(3121OAONOA)(213131OCOBOA )(3221OMONOA)21(3221OAONOA)(213261OCOBOAOCOBOA313161MNOAMPOMOP3221解：OABCMNPQ现在学习的是第15页，共34页练习3（1）cbaBObcABcbaACcbaOG2121(2)现在学习的是第16页，共34页四、学后反思四、学后反思1、知识点：2、问题探究过程的思路剖析：课下探究 空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？五、作业：五、作业：P106 A组1.2.现在学习的是第17页，共34页ABCDABCD现在
10、学习的是第18页，共34页ABCDABCD现在学习的是第19页，共34页谢谢！再见！现在学习的是第20页，共34页练习练习.空间四边形空间四边形OABCOABC中中,OA=,OA=a,OB=,OB=b,OC=,OC=c点点M M在在OAOA上上,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC的中点的中点,则则MN=().MN=().OABCMN(A)a b+c 122312(B)a+b+c 122312(C)a+b c 122312(D)a+b c 122323现在学习的是第21页，共34页练习练习2现在学习的是第22页，共34页空间向量运算的坐标表示现在学习的是第23页，共34页,则则设设
11、123123(,),(,)aa a abb b b ababa a b /ab ab112233(,)ab ab ab 112233(,)ab ab ab 123(,)()aaaR 1 12233a ba ba b 112233,()ab ab abR 1 12 23 30.(,)aba ba ba b 都都不不是是零零向向量量一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算现在学习的是第24页，共34页若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(=(x2 2-x1 1 ,y2 2-y1 1,z2 2-z1 1)空间一个向
12、量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标.现在学习的是第25页，共34页二、距离与夹角的坐标表示二、距离与夹角的坐标表示1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。线的长度。现在学习的是第26页，共34页|ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐
13、标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式现在学习的是第27页，共34页2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab现在学习的是第28页，共34页现在学习的是第29页，共34页yzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1,0),1,1,4BE1
14、1(0,0,0),0,1.4DF，1311,1(1,1,0)0,1,44BE 例例1如图如图,在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110,1(0,0,0)0,1.44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17|171744BE DFBEDFBEDF 现在学习的是第30页，共34页现在学习的是第31页，共34页证明证明:设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1),2ADD F 则则11(1,0,0)(0,1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1,),2AE 又又111(0,1,)(0,1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证 可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证现在学习的是第32页，共34页a b c 现在学习的是第33页，共34页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第34页，共34页