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1、空间向量的正交分解及其坐标表示平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo【温故知新】问题：我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP 由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结 论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x,y
2、,z，使都叫做基向量(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示特别提示:对于基底 除了应知道 不共面，还应明确：(2)由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。1、已知向量a，b，c是空间的一个基底求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底练习练2 设 且 是空间的一个基底,给出下列向量组 ,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个向量是否
3、共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设 ,易判断出答案C二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 e1,e2,e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz 点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。xyzOe1e2e3二、空间向量的直角坐
4、标系xyzOe1e2e3 给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)例例1 1平行六面体中,若MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c 表示MN,只要结合图形,充分运用空间向量加法和数乘的运算律即可.ABCDA1B1D1C1MNABCDA1B1D1C1MN解:连AN,则 MN=MA+ANMN=MA+ANMA=MA=AC=AC=(a+b)1313AN=AD+DNAN=AD+DN=(2=(2b+c)13=(=(a+b+c)13MN=MA+ANMN=MA+AN例例1 1平行六面体中,若MC=2=2AM,A1 1N=2=2ND,设AB=a,AD=b,AA1 1=c,试用a,b,c表示MN.练习小结与作业:习题3.1A组第11题