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1、第三章 晶体的宏观对称第1页，共47页，编辑于2022年，星期二第三章第三章 晶体的宏观对称晶体的宏观对称第2页，共47页，编辑于2022年，星期二一一 对称的概念对称的概念 对称就是对称就是物体（或图形）中，其物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复相同部分之间的有规律的重复.例：蝴蝶、例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、雪花花冠、建筑物、面容、雪花第3页，共47页，编辑于2022年，星期二各各种种各各样样的的对对称称各各种种各各样样的的对对称称第4页，共47页，编辑于2022年，星期二1)相同部分相同部分2)有规律的重复有规律的重复强强 调调第5页，共47页，编辑于2022年，星期二 晶体
2、的对称表现为晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有晶面、晶棱、角顶作有规律的重复规律的重复宏观对宏观对称。称。二二 晶体对称的特点晶体对称的特点 晶体的对称性是由晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性对于认识晶体的各项性质和晶体分类具有重要质和晶体分类具有重要意义。意义。第6页，共47页，编辑于2022年，星期二 完全性：所有晶体都具有对称性。完全性：所有晶体都具有对称性。如如L1（质点在三维空间有规律的重复（质点在三维空间有规律的重复格子构造所决定的）；格子构造所决定的）；有限性：晶体的对称要素是有限的。有限性：晶体
3、的对称要素是有限的。要受到晶体对称规律的控制，即不出现要受到晶体对称规律的控制，即不出现5 5次或高于次或高于6 6次的对称轴；次的对称轴；一致性（表里如一）：晶体的对称一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。理化学意义。第7页，共47页，编辑于2022年，星期二 三三 晶体的宏观对称操作晶体的宏观对称操作和和对称对称要素要素 对称操作对称操作:对称对称操作操作（变换变换）就指）就指能够使对称物体中的各个相同部分作能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的
4、变换动作。有规律重复的变换动作。如：旋转、反映、反伸、旋转反伸如：旋转、反映、反伸、旋转反伸等。等。第8页，共47页，编辑于2022年，星期二 对称要素对称要素:对称要素就是指在进行对称操作对称要素就是指在进行对称操作时所凭借的几何要素。时所凭借的几何要素。所凭借的点、线和面被分别称为对所凭借的点、线和面被分别称为对称中心（称中心（C C）、对称轴（）、对称轴（L L）和对称面）和对称面（P P）。）。第9页，共47页，编辑于2022年，星期二 1.1.对称面（对称面（P）对称面为一假想对称面为一假想的面，相对应的对称的面，相对应的对称操作是对此平面反映，操作是对此平面反映，它使图形平分成两个
5、它使图形平分成两个镜像相等的部分。镜像相等的部分。第10页，共47页，编辑于2022年，星期二对称面的分布对称面的分布垂直并平分晶面 垂直并平分晶棱 包含晶棱并穿过角顶第11页，共47页，编辑于2022年，星期二a.晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9 9个对称面；个对称面；b.必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c.对称面的数目写在前面：如，9P。注注 意意第12页，共47页，编辑于2022年，星期二 2.2.对称轴（对称轴（Ln ）对称轴为一假想的直线，对称轴为一假想的直线，相对相对应的对称操作是应的对称操作是围绕此直线的旋转围绕此直线的旋转 ，旋转一定
6、角度后可使相同旋转一定角度后可使相同(等）部等）部分有规律地重复分有规律地重复 。第13页，共47页，编辑于2022年，星期二 L L1 1无无实实际际意意义义，高高于于2 2次次的的对对称称轴轴称称为为高高次轴（次轴（L L3 3、L L4 4、L L6 6）第14页，共47页，编辑于2022年，星期二 轴次轴次（n）:旋转一周重复的次数；旋转一周重复的次数；基基转转角角（）:重重复复时时所所旋旋转转的的最最小小角角度。度。n=360/第15页，共47页，编辑于2022年，星期二对称轴的分布对称轴的分布 通过晶棱中点且垂直该晶棱的直线L2;通过晶面中心且垂直该晶面的直线L4;通过角顶的直线L
7、3第16页，共47页，编辑于2022年，星期二 晶晶体体的的对对称称定定律律：晶晶体体中中只只能能出出现现轴轴次次为为1 1、2 2、3 3、4 4、6 6的的对对称称轴轴，而而不不能能出出现现5 5次或高于次或高于6 6次的对称轴。次的对称轴。晶体对称晶体对称的有限性所的有限性所决定决定第17页，共47页，编辑于2022年，星期二 原原理理：L5、L7和和L8等等不不符符合合空空间间格格子子的的规规律律，在在空空间间格格子子中中，垂垂直直对对称称轴轴一一定定有有面面网网存存在在，围围绕绕该该对对称称轴轴转转动动所所形形成成的的多多边边形形应应该该符符合合于于该该面面网上结点所围成的网孔。网上
8、结点所围成的网孔。围围绕绕L L2 2、L L3 3、L L4 4、L L6 6所所形形成成的的多多边边形形，都都能能毫毫无无间间隙隙地地布布满满平平面面，都都可可能能符符合合空空间间格格子子的的网网孔孔。而而垂垂直直于于L L5 5、L L7 7和和L L8 8等等所所形形成成的的正正五五边边形形、正正七七边边形形和和正正八八边边形形却却不不能能毫毫无无间间隙隙地地布布满满平平面面，不不符符合合空空间间格格子子的的网网孔孔，所所以以在在晶晶体体中中不不可可能能存存在在5 5次或高于次或高于6 6次的对称轴。次的对称轴。第18页，共47页，编辑于2022年，星期二 3.3.对称中心（对称中心（
9、C C）对称中心为一假想对称中心为一假想的点，相对应的对称操的点，相对应的对称操作是对于此点反向延伸作是对于此点反向延伸 ，通过此点，等距离两，通过此点，等距离两端必能找到相对应的点端必能找到相对应的点 。第19页，共47页，编辑于2022年，星期二 在在晶晶体体中中可可没没有有对对称称中中心心，若若有有则则只只能能有有1 1个个，出出现现在在晶体的中心。晶体的中心。若若晶晶体体具具有有对对称称中中心心，其其相相应应的的晶晶面面、晶晶棱棱、角角顶顶都都体体现现反反向向平平行行。其其晶晶面面必必然然都都是是两两两两平平行行而而且且相相等等的的，这这一一点点可可以以用用来来作作为为判判别别晶晶体体
10、有无对称中心的依据。有无对称中心的依据。规律规律第20页，共47页，编辑于2022年，星期二 4.4.旋转反伸轴旋转反伸轴(倒转轴、反轴、反演倒转轴、反轴、反演轴轴)（Lin）旋转反伸轴为一假想的直线和此直线上旋转反伸轴为一假想的直线和此直线上的一个定点的一个定点 ，相对应的对称操作是围绕此直相对应的对称操作是围绕此直线的旋转和对此直线上的一个定点（相当于对线的旋转和对此直线上的一个定点（相当于对称中心）反伸的复合操作称中心）反伸的复合操作 ，图形围绕此直线旋图形围绕此直线旋转一定角度后，再对直线上的一个定点进行反伸，转一定角度后，再对直线上的一个定点进行反伸，可使相等部分重复可使相等部分重复
11、 。第21页，共47页，编辑于2022年，星期二Li4 的四方四面体及赤平投影的四方四面体及赤平投影其辅助的对称操作有其辅助的对称操作有2 2个个旋转旋转+反伸反伸第22页，共47页，编辑于2022年，星期二Li1=C各种旋转反伸轴的图解各种旋转反伸轴的图解Li6=L3+PLi4Li3=L3+CLi2=P第23页，共47页，编辑于2022年，星期二 5.5.旋转反映轴旋转反映轴(映转轴映转轴)（Lsn）旋转反映旋转反映轴为一假想的直线和轴为一假想的直线和垂直此垂直此直线的一个平面直线的一个平面，相对应的对称操作是围，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转后对绕此直线的旋转后对对垂直此直线上的一对垂
12、直此直线上的一个平面的反映的复合操作，个平面的反映的复合操作，操作后可使操作后可使图形相等图形相等的的部分重复。部分重复。第24页，共47页，编辑于2022年，星期二各种旋转反映轴的图解各种旋转反映轴的图解第25页，共47页，编辑于2022年，星期二四四 对称要素的组合对称要素的组合 在在结结晶晶多多面面体体中中，当当几几种种对对称称要要素素同同时时存存在在时时，任任意意两两种种对对称称要要素素的的组组合合必必定定要要导导出出第第三三种种对对称称要要素素。其其作作用用等等于于前前两两种种对对称称要要素素作作用用之之和和。但但对对称称要要素素的的组组合合不不是任意的是任意的,必须符合对称要素的组
13、合规律。必须符合对称要素的组合规律。第26页，共47页，编辑于2022年，星期二 定理定理1（L2和和Ln的组合的组合,轴式组合）轴式组合）如如果果一一个个L L2 2垂垂直直于于L Ln n时时，则则必必有有n n 个个L L2 2同同时时垂垂直直此此L Ln n;相相邻邻两两个个L L2 2的的夹夹角角为为L Ln n的基转角的一半。的基转角的一半。Ln L2（）Ln n L2 例：例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2 逆逆定定理理：如如果果两两个个L L2 2相相交交,在在交交点点上上并并垂垂直直两两个个L L2 2必必产产生生一一个个L Ln n，其其基基转转角角是是两两个个
14、L L2 2夹夹角的角的2 2倍倍,并导出其他并导出其他n n个在垂直个在垂直L Ln n平面内的平面内的L L2 2。第27页，共47页，编辑于2022年，星期二 定理定理2 (P、Ln和和C的组合的组合,中心式组合中心式组合)如如果果有有一一个个对对称称面面P P垂垂直直偶偶次次对对称称轴轴L Ln n（n n为为偶偶数数），则在其交点存在对称中心，则在其交点存在对称中心C C。Ln C=Ln P（）LnPC（n为偶数）为偶数）例：例：L2PC、L4PC、L6PC 逆逆定定理理：如如果果有有一一个个偶偶次次对对称称轴轴L2n与与对对称称中中心心共共存存，则则通通过过C且且垂垂直直该该对对称
15、称轴轴必必有有一一对对称称面面P。或或如如果果有有一一个个对对称称面面P与与对对称称中中心心C共共存存，则则过过C且且垂垂直直P必必有有一一个个L2（这个（这个L2可能包含在其他偶次轴中而不独立出现）。可能包含在其他偶次轴中而不独立出现）。第28页，共47页，编辑于2022年，星期二 定理定理3（P和和Ln的组合的组合,面式组合）面式组合）如如果果有有一一个个对对称称面面（P P）包包含含一一个个对对称称轴轴L Ln n，则则必必有有n n个个P P同同时时包包含含此此L Ln n；相相邻邻两个两个P P的夹角为的夹角为L Ln n的基转角的一半。的基转角的一半。Ln P()Ln n P 例：
16、例：L22P、L33P、L44P、L66P 逆定理：逆定理：如果有两个对称面相交，则如果有两个对称面相交，则P的交线必为一个的交线必为一个Ln，其基转角等于相邻两，其基转角等于相邻两个个P的夹角的的夹角的2倍，并导出其他倍，并导出其他n个包含个包含Ln的的P。第29页，共47页，编辑于2022年，星期二 定理定理4（P和和Lin的组合的组合,倒转面式组合）倒转面式组合）如如果果有有1 1个个L L2 2垂垂直直于于n n次次旋旋转转反反伸伸轴轴L Li in n，或或有有一一个个P P包包含含n n次次旋旋转转反反伸伸轴轴L Li in n时时，则则当当n n为为奇奇数数时时，必必有有n n个
17、个共共点点的的L L2 2垂垂直直此此L Li in n和和n n个个P P同同时时包包含含此此L Li in n；当当n n为为偶偶数数时时，必必有有n/2n/2个个共共点点的的L L2 2垂垂直直此此L Li in n和和n/2n/2个个P P同时包含此同时包含此L Li in n。Lin P()=Lin L2（）Linn L2 n P Lin n/2 L2 n/2 P 当当n为偶数时，例：为偶数时，例：Li42 L22P；L i63 L23P 当当n为奇数时，例：为奇数时，例：L i33 L23PL33L2 3PC第30页，共47页，编辑于2022年，星期二 定理定理4 4逆定理：如果有
18、一个逆定理：如果有一个L L2 2与一个与一个P P斜斜交，则交，则P P的法线与的法线与L L2 2的交角为的交角为，则平行，则平行于于P P且垂直于且垂直于L L2 2的直线必为一的直线必为一L Li in n，n n360/2360/2。定理定理5(欧拉定理欧拉定理,对称轴之间的组合对称轴之间的组合)两个对称轴的适当组合将产生第三个两个对称轴的适当组合将产生第三个对称轴对称轴第31页，共47页，编辑于2022年，星期二五五 32 32个对称型个对称型(点群点群)及其推导及其推导1.1.对称型的概念对称型的概念 晶晶体体形形态态中中，全全部部对对称称要要素素的的组组合合称称为该晶体的对称型
19、。为该晶体的对称型。由由于于全全部部对对称称要要素素都都通通过过一一点点(几几何何点点)，进进行行对对称称操操作作时时该该点点不不移移动动，因因此对称型也称为此对称型也称为点群点群。第32页，共47页，编辑于2022年，星期二 2.32 2.32种对称型种对称型 由由于于晶晶体体对对称称要要素素的的有有限限性性，对对称称要要素素组组合合的的有有规规律律性性，因因此此，晶晶体体中中的的对对称称型型也也是是有有限限的的。这这种种有有限限性性表表现现在在实实际际晶晶体体中中只只有有32种种对对称称型型（赫赛尔（赫赛尔 Hessel，1830）。）。第33页，共47页，编辑于2022年，星期二 3.3
20、2 3.32种对称型的推导种对称型的推导 3232种种对对称称型型可可以以分分成成A A类类（2727种种）和和B B类（类（5 5种）种）。A A、B B类类对对称称型型都都可可以以用用投投影影的的方方式式表表达达（推推导导）出出来来。3232种种对对称称型型要要求求重重点点掌握的对称型有掌握的对称型有1111种种。第34页，共47页，编辑于2022年，星期二第35页，共47页，编辑于2022年，星期二 A A类对称型的推导类对称型的推导原始式原始式:L1、L2、L3、L4、L6倒转原始式倒转原始式:Li4、L i6中心式中心式(C):C、L3C、L4PC、L6PC轴式轴式(L2（）):3L
21、2、L33L2、L44L2、L66L2面式面式(P():P、L22P、L33P 、L44P、L66P倒转面式倒转面式(P()C C):Li42L22P、L i63L23P 面面 轴轴 式式(P()L2（）):L2PC、3L23PC、L33L23PC、L44L25PC、L66L27PC第36页，共47页，编辑于2022年，星期二 B B类对称型类对称型推导从略推导从略共有共有5种：种：原始式原始式 3L 3L2 24L4L3 3 中心式中心式 3L3L2 24L4L3 33PC3PC 轴轴 式式 3L3L2 24L4L3 36L6L2 2 面面 式式 3L 3Li i4 44L4L3 36P6P
22、 面轴式面轴式 3L3L4 44L4L3 36L6L2 29PC9PC第37页，共47页，编辑于2022年，星期二 3.3.对称型的符号对称型的符号 A A 习惯符号习惯符号 习习惯惯符符号号（全全面面符符号号）以以对对称称要要素素总总和的形式来代表对称型。和的形式来代表对称型。如：如：3L23PC 这这种种表表示示方方法法可可以以使使全全部部对对称称要要素素一一目目了了然然，但但它它不不能能反反映映出出各各对对称称要要素素间间的的组组合合关系。关系。第38页，共47页，编辑于2022年，星期二 B B 国际符号国际符号 在现代文献中一般都采用的比较简在现代文献中一般都采用的比较简明的对称型符
23、号。由明的对称型符号。由HermannHermann和和MauguinMauguin创立的，亦称创立的，亦称HMHM符号。符号。国际符号既能表明了对称要素的组国际符号既能表明了对称要素的组合，也能表明了对称要素的方位，这就合，也能表明了对称要素的方位，这就要求读者要有明确的晶体定向的空间概要求读者要有明确的晶体定向的空间概念。念。第39页，共47页，编辑于2022年，星期二 国国际际符符号号中中以以1 1，2 2，3 3，4 4，6 6（n n）和和1 1，2 2，3 3，4 4，6 6（n n）分分别别表表示示各各种种轴轴次次的的对称轴和旋转反伸轴；以对称轴和旋转反伸轴；以m m表示对称面。
24、表示对称面。若对称面与对称轴垂直若对称面与对称轴垂直,则两者之间以则两者之间以斜线或横线隔开斜线或横线隔开,如：如：L L2 2PCPC以以2/m2/m表示表示;L;L4 4PCPC以以4/m4/m表示。表示。在国际符号中有在国际符号中有1-31-3个序位个序位,每一序位代每一序位代表一定的方向表一定的方向,并且在不同晶系中并且在不同晶系中,同一序位同一序位所代表的方向不同。所代表的方向不同。第40页，共47页，编辑于2022年，星期二各晶系对称型的国际符号中各位序所代表的方向各晶系对称型的国际符号中各位序所代表的方向晶 系国际符号中的位序代 表 的 方 向等轴晶系123x或y或z轴方向(a)
25、三次轴方向(a+b+c)x、y或x、z或y、z轴之间(a+b)三方及六方晶系123六次或三次轴，即z轴方向(c)与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向上(a)与六次或三次轴垂直,与位2的方向成30角(2a+b)四方晶系123四次轴,即z轴方向(c)与四次轴垂直,在x或y轴方向(a)与四次轴垂直,与位2成45角(a+b）斜方晶系123x轴方向(a)y轴方向(b)c轴方向(c)单斜晶系1y轴方向(b)三斜晶系1任意方向第41页，共47页，编辑于2022年，星期二 C 圣弗利斯符号圣弗利斯符号 Schoenflies早早期期根根据据对对称称要要素素组组合合的的规律创立的符号。规律创立的符号。Cn表示
26、表示Ln，如，如C1、C2、C3、C4、C6 h表示水平，表示水平，v表示直立；如表示直立；如C C2h2h ，C6v Dn表示表示Ln L2（）组合，如组合，如D D3 3，D D3h3h i i表示反伸；表示反伸；s s表示反映；表示反映；V V代表代表D D2 2，T T代表代表3L3L2 24L4L3 3；O O代表代表3L3L4 44L4L3 36L6L2 2等等 第42页，共47页，编辑于2022年，星期二 六六 晶体的对称分类晶体的对称分类 晶类：属于同一对称性（点群）的晶晶类：属于同一对称性（点群）的晶体为一晶类。体为一晶类。晶体的对称分类晶体的对称分类 根据晶体的对称特点，可
27、以将其根据晶体的对称特点，可以将其划分为三个晶族（根据是否有高次划分为三个晶族（根据是否有高次轴或高次轴的多少来划分）、七个轴或高次轴的多少来划分）、七个晶系（在晶族中，根据对称型的特晶系（在晶族中，根据对称型的特点来划分晶系）。点来划分晶系）。第43页，共47页，编辑于2022年，星期二晶族晶族特点晶系对称型数量对称特点高级晶族多个高次轴等轴晶系5有4 L3中级晶族一个高次轴四方晶系7有1个L4六方晶系7有1个L6三方晶系5有1个L3低级晶族没有高次轴斜方晶系3多于1个L2或P单斜晶系31个L2或P三斜晶系2无L2和P各晶族、晶系晶体对称的特点各晶族、晶系晶体对称的特点第44页，共47页，编辑于2022年，星期二低级晶族晶体的对称分类低级晶族晶体的对称分类第45页，共47页，编辑于2022年，星期二中级晶族晶体的对称分类中级晶族晶体的对称分类第46页，共47页，编辑于2022年，星期二高级晶族晶体的对称分类高级晶族晶体的对称分类第47页，共47页，编辑于2022年，星期二