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1、第三章 晶体的宏观对称第1页，本讲稿共47页第三章 晶体的宏观对称第2页，本讲稿共47页一 对称的概念 对称就是物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复.例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、雪花第3页，本讲稿共47页各各种种各各样样的的对对称称各各种种各各样样的的对对称称第4页，本讲稿共47页1)相同部分2)有规律的重复强强 调调第5页，本讲稿共47页 晶体的对称表现为晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有晶面、晶棱、角顶作有规律的重复规律的重复宏观对宏观对称。称。二二 晶体对称的特点晶体对称的特点 晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和晶体分类具有重要
2、意义。第6页，本讲稿共47页 完全性：所有晶体都具有对称性。完全性：所有晶体都具有对称性。如如L1（质点在三维空间有规律的重复（质点在三维空间有规律的重复格子构造所决定的）；格子构造所决定的）；有限性：晶体的对称要素是有限有限性：晶体的对称要素是有限的。要受到晶体对称规律的控制，即的。要受到晶体对称规律的控制，即不出现不出现5 5次或高于次或高于6 6次的对称轴；次的对称轴；一致性（表里如一）：晶体的对称一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。理化学意义。第
3、7页，本讲稿共47页 三 晶体的宏观对称操作和对称要素对称操作:对称操作（变换）就指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。如：旋转、反映、反伸、旋转反伸等。第8页，本讲稿共47页对称要素:对称要素就是指在进行对称操作时所凭借的几何要素。所凭借的点、线和面被分别称为对称中心（C）、对称轴（L）和对称面（P）。第9页，本讲稿共47页 1.对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称操作是对此平面反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。第10页，本讲稿共47页对称面的分布垂直并平分晶面 垂直并平分晶棱 包含晶棱并穿过角顶第11页，本讲稿共47页a.晶体中可以没有对称面，也可以有对称面
4、，但最多只能有9个对称面；b.必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c.对称面的数目写在前面：如，9P。注 意第12页，本讲稿共47页 2.对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转，旋转一定角度后可使相同(等）部分有规律地重复。第13页，本讲稿共47页 L1无实际意义，高于2次的对称轴称为高次轴（L3、L4、L6）第14页，本讲稿共47页 轴次轴次（n）:旋转一周重复的次数；旋转一周重复的次数；基基转转角角（）:重重复复时时所所旋旋转转的的最最小小角角度。度。n=360/第15页，本讲稿共47页对称轴的分布 通过晶棱中点且垂直该晶棱的直线L2;通
5、过晶面中心且垂直该晶面的直线L4;通过角顶的直线L3第16页，本讲稿共47页 晶体的对称定律：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴。晶体对称的有限性所决定第17页，本讲稿共47页 原理：L5、L7和L8等不符合空间格子的规律，在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应该符合于该面网上结点所围成的网孔。围绕L2、L3、L4、L6所形成的多边形，都能毫无间隙地布满平面，都可能符合空间格子的网孔。而垂直于L5、L7和L8等所形成的正五边形、正七边形和正八边形却不能毫无间隙地布满平面，不符合空间格子的网孔，所以在晶体中不可能存在
6、5次或高于6次的对称轴。第18页，本讲稿共47页 3.对称中心（C）对称中心为一假想的点，相对应的对称操作是对于此点反向延伸，通过此点，等距离两端必能找到相对应的点。第19页，本讲稿共47页 在晶体中可没有对称中心，若有则只能有1个，出现在晶体的中心。若晶体具有对称中心，其相应的晶面、晶棱、角顶都体现反向平行。其晶面必然都是两两平行而且相等的，这一点可以用来作为判别晶体有无对称中心的依据。规律第20页，本讲稿共47页 4.旋转反伸轴(倒转轴、反轴、反演轴)（Lin）旋转反伸轴为一假想的直线和此直线上的一个定点，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转和对此直线上的一个定点（相当于对称中心）反伸的复合
7、操作，图形围绕此直线旋转一定角度后，再对直线上的一个定点进行反伸，可使相等部分重复。第21页，本讲稿共47页Li4 的四方四面体及赤平投影的四方四面体及赤平投影其辅助的对称操作有其辅助的对称操作有2 2个个旋转旋转+反伸反伸第22页，本讲稿共47页Li1=C各种旋转反伸轴的图解Li6=L3+PLi4Li3=L3+CLi2=P第23页，本讲稿共47页 5.旋转反映轴(映转轴)（Lsn）旋转反映轴为一假想的直线和垂直此直线的一个平面，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转后对对垂直此直线上的一个平面的反映的复合操作，操作后可使图形相等的部分重复。第24页，本讲稿共47页各种旋转反映轴的图解第25页，本
8、讲稿共47页四 对称要素的组合 在结晶多面体中，当几种对称要素同时存在时，任意两种对称要素的组合必定要导出第三种对称要素。其作用等于前两种对称要素作用之和。但对称要素的组合不是任意的,必须符合对称要素的组合规律。第26页，本讲稿共47页 定理定理1（L2和和Ln的组合的组合,轴式组合）轴式组合）如如果果一一个个L L2 2垂垂直直于于L Ln n时时，则则必必有有n n 个个L L2 2同同时时垂垂直直此此L Ln n;相相邻邻两两个个L L2 2的的夹夹角角为为L Ln n的基转角的一半。的基转角的一半。Ln L2（）Ln n L2 例：例：3L2、L33L2、L44L2、L66L2 逆逆定
9、定理理：如如果果两两个个L L2 2相相交交,在在交交点点上上并并垂垂直直两两个个L L2 2必必产产生生一一个个L Ln n，其其基基转转角角是是两两个个L L2 2夹夹角角的的2 2倍倍,并并导导出出其其他他n n个个在在垂垂直直L Ln n平平面面内的内的L L2 2。第27页，本讲稿共47页 定理定理2 (P、Ln和和C的组合的组合,中心式组合中心式组合)如如果果有有一一个个对对称称面面P P垂垂直直偶偶次次对对称称轴轴L Ln n（n n为为偶偶数），则在其交点存在对称中心数），则在其交点存在对称中心C C。Ln C=Ln P（）LnPC（n为偶数）为偶数）例：例：L2PC、L4PC
10、、L6PC 逆逆定定理理：如如果果有有一一个个偶偶次次对对称称轴轴L2n与与对对称称中中心心共共存存，则则通通过过C且且垂垂直直该该对对称称轴轴必必有有一一对对称称面面P。或或如如果果有有一一个个对对称称面面P与与对对称称中中心心C共共存存，则则过过C且且垂垂直直P必必有有一一个个L2（这这个个L2可可能能包包含含在在其其他他偶偶次次轴轴中中而而不不独独立出现）。立出现）。第28页，本讲稿共47页 定理定理3（P和和Ln的组合的组合,面式组合）面式组合）如如果果有有一一个个对对称称面面（P P）包包含含一一个个对对称称轴轴L Ln n，则则必必有有n n个个P P同同时时包包含含此此L Ln
11、n；相邻两个相邻两个P P的夹角为的夹角为L Ln n的基转角的一半。的基转角的一半。Ln P()Ln n P 例：例：L22P、L33P、L44P、L66P 逆定理：逆定理：如果有两个对称面相交，则如果有两个对称面相交，则P的交线必为一个的交线必为一个Ln，其基转角等于相邻，其基转角等于相邻两个两个P的夹角的的夹角的2倍，并导出其他倍，并导出其他n个包含个包含Ln的的P。第29页，本讲稿共47页 定理定理4（P和和Lin的组合的组合,倒转面式组合）倒转面式组合）如如果果有有1 1个个L L2 2垂垂直直于于n n次次旋旋转转反反伸伸轴轴L Li in n，或或有有一一个个P P包包含含n n
12、次次旋旋转转反反伸伸轴轴L Li in n时时，则则当当n n为为奇奇数数时时，必必有有n n个个共共点点的的L L2 2垂垂直直此此L Li in n和和n n个个P P同同时时包包含含此此L Li in n；当当n n为为偶偶数数时时，必必有有n/2n/2个个共共点点的的L L2 2垂垂直直此此L Li in n和和n/2n/2个个P P同时包含此同时包含此L Li in n。Lin P()=Lin L2（）Linn L2 n P Lin n/2 L2 n/2 P 当当n为偶数时，例：为偶数时，例：Li42 L22P；L i63 L23P 当当n为奇数时，例：为奇数时，例：L i33 L2
13、3PL33L2 3PC第30页，本讲稿共47页 定理定理4 4逆定理：如果有一个逆定理：如果有一个L L2 2与一个与一个P P斜斜交，则交，则P P的法线与的法线与L L2 2的交角为的交角为，则平行，则平行于于P P且垂直于且垂直于L L2 2的直线必为一的直线必为一L Li in n，n n360/2360/2。定理定理5(欧拉定理欧拉定理,对称轴之间的组合对称轴之间的组合)两个对称轴的适当组合将产生第三个对两个对称轴的适当组合将产生第三个对称轴称轴第31页，本讲稿共47页五 32个对称型(点群)及其推导1.对称型的概念 晶体形态中，全部对称要素的组合称为该晶体的对称型。由于全部对称要素
14、都通过一点(几何点)，进行对称操作时该点不移动，因此对称型也称为点群。第32页，本讲稿共47页2.32种对称型 由于晶体对称要素的有限性，对称要素组合的有规律性，因此，晶体中的对称型也是有限的。这种有限性表现在实际晶体中只有32种对称型（赫赛尔 Hessel，1830）。第33页，本讲稿共47页3.32种对称型的推导 32种对称型可以分成A类（27种）和B类（5种）。A、B类对称型都可以用投影的方式表达（推导）出来。32种对称型要求重点掌握的对称型有11种。第34页，本讲稿共47页第35页，本讲稿共47页 A A类对称型的推导类对称型的推导原始式原始式:L1、L2、L3、L4、L6倒转原始式倒
15、转原始式:Li4、L i6中心式中心式(C):C、L3C、L4PC、L6PC轴式轴式(L2（）):3L2、L33L2、L44L2、L66L2面式面式(P():P、L22P、L33P 、L44P、L66P倒转面式倒转面式(P()C C):Li42L22P、L i63L23P 面面 轴轴 式式(P()L2（）):L2PC、3L23PC、L33L23PC、L44L25PC、L66L27PC第36页，本讲稿共47页 B B类对称型类对称型推导从略推导从略共有共有5种：种：原始式原始式 3L 3L2 24L4L3 3 中心式中心式 3L3L2 24L4L3 33PC3PC 轴轴 式式 3L3L2 24L
16、4L3 36L6L2 2 面面 式式 3L 3Li i4 44L4L3 36P6P 面轴式面轴式 3L3L4 44L4L3 36L6L2 29PC9PC第37页，本讲稿共47页3.对称型的符号 A 习惯符号 习惯符号（全面符号）以对称要素总和的形式来代表对称型。如：3L23PC 这种表示方法可以使全部对称要素一目了然，但它不能反映出各对称要素间的组合关系。第38页，本讲稿共47页 B 国际符号 在现代文献中一般都采用的比较简明的对称型符号。由Hermann和Mauguin创立的，亦称HM符号。国际符号既能表明了对称要素的组合，也能表明了对称要素的方位，这就要求读者要有明确的晶体定向的空间概念。
17、第39页，本讲稿共47页 国际符号中以1，2，3，4，6（n）和1，2，3，4，6（n）分别表示各种轴次的对称轴和旋转反伸轴；以m表示对称面。若对称面与对称轴垂直,则两者之间以斜线或横线隔开,如：L2PC以2/m表示;L4PC以4/m表示。在国际符号中有1-3个序位,每一序位代表一定的方向,并且在不同晶系中,同一序位所代表的方向不同。第40页，本讲稿共47页各晶系对称型的国际符号中各位序所代表的方向晶 系国际符号中的位序代 表 的 方 向等轴晶系123x或y或z轴方向(a)三次轴方向(a+b+c)x、y或x、z或y、z轴之间(a+b)三方及六方晶系123六次或三次轴，即z轴方向(c)与六次或三
18、次轴垂直,在x或y或u轴方向上(a)与六次或三次轴垂直,与位2的方向成30角(2a+b)四方晶系123四次轴,即z轴方向(c)与四次轴垂直,在x或y轴方向(a)与四次轴垂直,与位2成45角(a+b）斜方晶系123x轴方向(a)y轴方向(b)c轴方向(c)单斜晶系1y轴方向(b)三斜晶系1任意方向第41页，本讲稿共47页 C 圣弗利斯符号圣弗利斯符号 Schoenflies早早期期根根据据对对称称要要素素组组合合的规律创立的符号。的规律创立的符号。Cn表示表示Ln，如，如C1、C2、C3、C4、C6 h表示水平，表示水平，v表示直立；如表示直立；如C C2h2h ，C6v Dn表示表示Ln L2
19、（）组合，如组合，如D D3 3，D D3h3h i i表示反伸；表示反伸；s s表示反映；表示反映；V V代表代表D D2 2，T T代表代表3L3L2 24L4L3 3；O O代表代表3L3L4 44L4L3 36L6L2 2等等 第42页，本讲稿共47页 六 晶体的对称分类 晶类：属于同一对称性（点群）的晶体为一晶类。晶体的对称分类 根据晶体的对称特点，可以将其划分为三个晶族（根据是否有高次轴或高次轴的多少来划分）、七个晶系（在晶族中，根据对称型的特点来划分晶系）。第43页，本讲稿共47页晶族晶族特点晶系对称型数量对称特点高级晶族多个高次轴等轴晶系5有4 L3中级晶族一个高次轴四方晶系7有1个L4六方晶系7有1个L6三方晶系5有1个L3低级晶族没有高次轴斜方晶系3多于1个L2或P单斜晶系31个L2或P三斜晶系2无L2和P各晶族、晶系晶体对称的特点第44页，本讲稿共47页低级晶族晶体的对称分类第45页，本讲稿共47页中级晶族晶体的对称分类第46页，本讲稿共47页高级晶族晶体的对称分类第47页，本讲稿共47页