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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第1页，共82页，编辑于2022年，星期二1 二二维维随机随机变变量量第2页，共82页，编辑于2022年，星期二为什么需要讨论多维随机变量？为什么需要讨论多维随机变量？前两章前两章,我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到
2、他的身高对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重和体重W。在这里，样本空间。在这里，样本空间S=e某地区的全部学龄前儿童某地区的全部学龄前儿童，而，而H(e)和和W(e)是定义在是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。定义在同一个样本空间的两个随机变量。第3页，共82页，编辑于2022年，星期二设设X1,X2,Xn时定义在同一样本空间时定义在同一样本空间S上的随机变量，则向量上的随机变量，则
3、向量(X1,X2,Xn)称为称为n维随机变量或维随机变量或n维随机向量。维随机向量。当当n=2时，称为二维随机变量，记为时，称为二维随机变量，记为(X,Y).二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数设设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：，二元函数：F(x,y)=P(Xx)(Yy)=P(Xx,Yy)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量的分布函数，或称为随机变量X,Y的联合的联合分布函数。分布函数。二维随机变量二维随机变量第4页，共82页，编辑于2022年，星期二二维随机变量二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布
4、函数F(x,y)的含义的含义第5页，共82页，编辑于2022年，星期二Px1Xx2,y1xx1 1时时F(xF(x2 2,y)F(x,y)F(x1 1,y),y)；对于任意固定的；对于任意固定的x x，当，当y y2 2yy1 1时，时，F(x,yF(x,y2 2)F(x,yF(x,y1 1)。第7页，共82页，编辑于2022年，星期二 思考思考 问问G(x,y)G(x,y)能否作为分布函数？能否作为分布函数？答答 不能。不能。虽然虽然G(x,y)G(x,y)满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性质。满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性质。当当x1=0,x2=1,y1=0,y2=1x
5、1=0,x2=1,y1=0,y2=1时，时，G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0)G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0)=1-1-1+0=-10 =1-1-1+0=-10第8页，共82页，编辑于2022年，星期二 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列无限的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称多对，则称(X,Y)为离散型随机变量。为离散型随机变量。二维离散型随机变量的概念二维离散型随机变量的概念第9页，共82页，编辑于2022年，星期二 称称PXxi,Y=yjpij，i,j=1,2,为为(X,Y)的概率函数。列成表格的概率函数
6、。列成表格称联合分布律。称联合分布律。概率函数概率函数pij满足满足 XYx1 x2 xn y1p11 p12 p1n ympm1 pm2 pmn 二维离散型随机变量的概率函数二维离散型随机变量的概率函数第10页，共82页，编辑于2022年，星期二 二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数定义为的分布函数定义为二维离散型随机变量的分布函数二维离散型随机变量的分布函数第11页，共82页，编辑于2022年，星期二第12页，共82页，编辑于2022年，星期二二维连续型随机变量、概率密度函数二维连续型随机变量、概率密度函数 如果对于二维随机变量如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数的分
7、布函数F(x,y)，存在非，存在非负可积函数负可积函数f(x,y)，使对于任何实数，使对于任何实数x,y，有有则称则称(X,Y)为二维连续型随机变量。函数为二维连续型随机变量。函数f(x,y)称为称为(X,Y)的的概率密度函数（或联合密度函数）。概率密度函数（或联合密度函数）。第13页，共82页，编辑于2022年，星期二二维连续性随机变量概率密度函数的性质二维连续性随机变量概率密度函数的性质 由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：(1)f(x,y)0；第14页，共82页，编辑于2022年，星期二 注意注意 第15页，共82页，编辑于20
8、22年，星期二第16页，共82页，编辑于2022年，星期二设设E是一个随机试验，它的样本空间是一个随机试验，它的样本空间S=e，设，设X1=X1(e),X2=X2(e),Xn=Xn(e)是定义在是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个上的随机变量，由它们构成的一个n维维向量向量(X1,X2,Xn)叫做叫做n维随机变量或维随机变量或n维随机向量。维随机向量。二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数对于任意对于任意n n个实数个实数x x1,x2,xn，n n元函数：元函数：F(x F(x1,x2,xn)=P)=PX1 x x1,X2 x2,Xn xn,称为称为n n维随机变量维随机变量(X1
9、,X2,Xn)的分布函数，或称为随机变量的分布函数，或称为随机变量X1,X2,Xn的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数类似的性质。的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数类似的性质。n维随机变量维随机变量第17页，共82页，编辑于2022年，星期二2 边缘分布第18页，共82页，编辑于2022年，星期二n n二维随机变量(X,Y Y)作为一个整体作为一个整体,具有分布函数具有分布函数F F(X X,Y Y);n n但但X,Y Y也是随机变量,也分别有分布函数,记为:FX(x x)与FY Y(y y););分别它们为二维随机变量分别它们为二维随机变量(X,Y Y)关于X,Y Y的边缘
10、分布函数.n n分布函数，密度函数和分布律分别记为：分布函数，密度函数和分布律分别记为：F FX(x),F FY Y(y y););f fX X(x),f fY Y(y);p pi.p.jn n边缘分布函数可由边缘分布函数可由F F(X X,Y)确定确定;第19页，共82页，编辑于2022年，星期二 XY x1 x2 xn y1p11 p12 p1n ympm1 pm2 pmn 事件X=xi可以看成互不相容事件(X=xi,Y=yj)(j=1,2,)的和,因此,按概率的加法原理,得:第20页，共82页，编辑于2022年，星期二离散型随机变量的边缘分布函数为:二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型
11、随机变量的边缘分布第21页，共82页，编辑于2022年，星期二设(X,Y)为二维随机变量，则称随机变量X的概率分布为(X,Y)关于X的边缘分布；随机变量Y的概率分布为(X,Y)关于Y的边缘分布，其分布函数，密度函数和分布律分别记为：FX(x),FY(y);fX(x),fY(y);pi.p.j.二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布第22页，共82页，编辑于2022年，星期二二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布第23页，共82页，编辑于2022年，星期二第24页，共82页，编辑于2022年，星期二第25页，共82页，编辑于2022年，星期二例例2 设随机变量设随机变量X和和Y具有联
12、合概率密度具有联合概率密度求边缘概率密度求边缘概率密度fX(x),fY(y).解解第26页，共82页，编辑于2022年，星期二例例2 2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 试求二维正态随机变量的边缘概率密度试求二维正态随机变量的边缘概率密度.第27页，共82页，编辑于2022年，星期二第28页，共82页，编辑于2022年，星期二3 条件分布条件分布第29页，共82页，编辑于2022年，星期二 对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。随机变量也可以讨论它们的条件
13、分布。先从二维离散型随机变量开始讨论。先从二维离散型随机变量开始讨论。设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布率为是二维离散型随机变量，其分布率为考虑二维离散型随机变量的条件概率考虑二维离散型随机变量的条件概率第30页，共82页，编辑于2022年，星期二上述条件概率具有如下性质:第31页，共82页，编辑于2022年，星期二定义定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若二维离散型随机变量的条件概率二维离散型随机变量的条件概率第32页，共82页，编辑于2022年，星期二例1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固3只螺栓，其二是焊接2处焊点。以X表示由机器人
14、紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知(X,Y)具有分布律：XY0 1 2 3PY=j0120.840 0.030 0.020 0.0100.060 0.010 0.008 0.0020.010 0.005 0.004 0.0010.9000.0800.020PX=i0.910 0.045 0.032 0.0131.000求在X=1的条件下，Y的条件分布律；求在Y=0的条件下，X的条件分布律。第33页，共82页，编辑于2022年，星期二解解 在在X=1的条件下，的条件下，Y的分布律为的分布律为在在Y=0的条件下，的条件下，X的分布律为的分布律为第34页
15、，共82页，编辑于2022年，星期二例例2 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为p(0p0,m m00是常数是常数.引入随机变量引入随机变量(1)求条件概率密度(2)求Z的分布律和分布函数.第59页，共82页，编辑于2022年，星期二解:(1)由独立性知(2)(2)Z是离散型随机变量是离散型随机变量,其分布函数为其分布函数为:第60页，共82页，编辑于2022年，星期二5 两个随机两个随机变变量的函数分布量的函数分布第61页，共82页，编辑于2022年，星期二Z=X+Y的分布的分布考虑离散型随机变量考虑离散型随机变量X与Y的和的和,显然显然,它也是离散随机它也是离散
16、随机变量变量,记作记作Z Z:Z=X+Y Y.变量变量Z的任一可能值的任一可能值zk是变量是变量X X的可能取值x xi与变量Y的的可能取值可能取值yj的和的和:z zk=x xi+y yj j.但是但是,对于不同的对于不同的x xi i及y yj,它们的和xi i+yj j可能是相等的.所以按概率加法定理,有:第62页，共82页，编辑于2022年，星期二这里求和的范围是一切使xi+yj=zk的i及j的值;或者也可以写成:这时的求和的范围是一切i值;若对于某个i,数zk-xi不是Y的可能取值,则规定p(xi,zk-xi)=0第63页，共82页，编辑于2022年，星期二同理可得若X X与Y独立独
17、立,则则第64页，共82页，编辑于2022年，星期二例:设随机变量X与Y独立,并且都服从二项分布:求它们的和Z=X+Y的概率分布.解:X与Y的分布律分别是:X012Y012pi1/42/41/4pj1/94/94/0第65页，共82页，编辑于2022年，星期二显然,随机变量Z=X+Y的所有可能取值为:0,1,2,3,4.由上述公式得:所以所以,Z=X X+Y Y的分布律为:Z01234pk1/366/3613/3612/364/36第66页，共82页，编辑于2022年，星期二Z=X+Y的分布的分布上式两边对z微分,得z的概率密度为:同理可得第67页，共82页，编辑于2022年，星期二Z=X+Y
18、的分布的分布第68页，共82页，编辑于2022年，星期二例例1 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)分布，其分布，其概率密度为概率密度为求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。第69页，共82页，编辑于2022年，星期二例例2 在一简单电路中，两电阻在一简单电路中，两电阻R1和和R2串联连接，设串联连接，设R1，R2相互独立，相互独立，它们的概率密度均为它们的概率密度均为求总电阻求总电阻R=R1+R2的概率密度。的概率密度。第70页，共82页，编辑于2022年，星期二第71页，共82页，编辑于2022年，星期二例:设随机变量X与Y独立,
19、并且都在区间-a,a上服从均匀分布,求它们的和Z=X+Y的分布.解:X与Y的概率密度分别是:由公式得:作积分变换:z-x=t,得:第72页，共82页，编辑于2022年，星期二分四种情况讨论分四种情况讨论:(1)(1)当当z-2z 2 2a a 时时,积积分限分限z z-a a及及z z+a a都大于都大于a a;被被积积函数在函数在积积分区分区间间上等于上等于零零,所以所以积积分等于零分等于零,因而因而f fZ Z(z(z)=0.)=0.综综上所述上所述,Z,Z的概率密度的概率密度为为:第74页，共82页，编辑于2022年，星期二第75页，共82页，编辑于2022年，星期二第76页，共82页，编辑于2022年，星期二第77页，共82页，编辑于2022年，星期二M=max(X,Y)与与N=min(X,Y)的分布的分布第78页，共82页，编辑于2022年，星期二第79页，共82页，编辑于2022年，星期二第80页，共82页，编辑于2022年，星期二第81页，共82页，编辑于2022年，星期二第82页，共82页，编辑于2022年，星期二