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1、第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布阜师院数科院第1页，共74页，编辑于2022年，星期二第2页，共74页，编辑于2022年，星期二1 二维离散型随机变量二维离散型随机变量1.1 二维离散型随机变量及联合分布律二维离散型随机变量及联合分布律 第3页，共74页，编辑于2022年，星期二二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表第4页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 (X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),则(X,Y)的联合分布律为第5页，共74页，编辑于2022年，星期二1.2二维离散型随机变量联合分布律的性质二维离散型随机变量联合分布律的性质性
2、性质质1 证证 因为,所以 性性质质2 证证 第6页，共74页，编辑于2022年，星期二证证 第7页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i)(ij),于是(X,Y)的分布律为第8页，共74页，编辑于2022年，星期二2 二维连续性随机变量二维连续性随机变量 2.1二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数 第9页，共74页，编辑于2022年，星期二 设二维离散型随机变量X和Y具有分布律PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2,.)，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布函数为 其中和式是对一切满足xix,yjy
3、的来求和的.第10页，共74页，编辑于2022年，星期二(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oxy第11页，共74页，编辑于2022年，星期二2.2二维随机变量联合分布函数的性质二维随机变量联合分布函数的性质 性质性质1 F(x,y)分别关于分别关于x和和y单调不减单调不减.证证 对任意的 因为 所以即 同理可证,对任意的 有第12页，共74页，编辑于2022年，星期二性质性质3 F(x,y)分别关于分别关于x和和y右连续右连续.第13页，共74页，编辑于2022年，星期二2.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 第14页，共74页，编辑于2022年，星期二第15页，共
4、74页，编辑于2022年，星期二解解 (1)由 得所以 k=6(2)第16页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 由 则 当x1,y1时,所以(X,Y)的联合分布函数第17页，共74页，编辑于2022年，星期二 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度 (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率PYX.解:(1)(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.第18页，共74页，编辑于2022年，星期二 关于二维随机向量的讨论,可以推广到n(n2)维随机向量的情况.设(X1,X2,Xn)为n维随机向量,对于任意n个实数x1,x2,xn,n元函数F(x1,x2
5、,xn)=PX1x1,X2 x2,Xn xn称为n维随机向量(X1,X2,Xn)的分布函数或随机变量X1,X2,Xn的联合分布函数.它具有类似于二维随机向量的分布函数的性质.第19页，共74页，编辑于2022年，星期二2.4 常用的二维连续型随机变量常用的二维连续型随机变量 第20页，共74页，编辑于2022年，星期二第21页，共74页，编辑于2022年，星期二3 边缘分布边缘分布 第22页，共74页，编辑于2022年，星期二3.1 边缘分布函数边缘分布函数 第23页，共74页，编辑于2022年，星期二边缘分布函数完全由联合分布函数确定.第24页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 (X,
6、Y)关于X的边缘分布函数 第25页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数 第26页，共74页，编辑于2022年，星期二3.2 边缘分布律边缘分布律 第27页，共74页，编辑于2022年，星期二(1)(X,Y)关于X的边缘分布律(2)(X,Y)关于Y的边缘分布律第28页，共74页，编辑于2022年，星期二第29页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 PX=i,Y=j=PY=j|X=iPX=i=(1/i)(1/4),(ij)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为第30页，共74页，编辑于2022年，星期二例例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1
7、,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.解解 显然有又因为事件X=i与事件Y=j相互独立,所以有第31页，共74页，编辑于2022年，星期二用表格可如下表示第32页，共74页，编辑于2022年，星期二例例:设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度pX(x)和pY(y).解解第33页，共74页，编辑于2022年，星期二3.3 边缘密度函数边缘密度函数 边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.第34页，共74页，编辑于2022年，星期二 设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则从而得到
8、X和Y的概率密度函数分别为第35页，共74页，编辑于2022年，星期二第36页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 （X，Y）的联合密度函数 则（X，Y）关于X的边缘密度函数（X，Y）关于Y的边缘密度函数 第37页，共74页，编辑于2022年，星期二（1）（X,Y）关于X的边缘密度函数（2）（X，Y）关于Y的边缘密度函数 第38页，共74页，编辑于2022年，星期二4 条件分布条件分布条件分布是条件概率的推广条件分布是条件概率的推广.本节主要讨本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关于二维连续型随机变量的条件密律和关于二维连续型随机变量的条件密度
9、函数度函数.第39页，共74页，编辑于2022年，星期二4.1 条件分布律条件分布律第40页，共74页，编辑于2022年，星期二第41页，共74页，编辑于2022年，星期二第42页，共74页，编辑于2022年，星期二则在X=3的条件下Y的条件分布律其中如同理在Y=1的条件下X的条件分布律第43页，共74页，编辑于2022年，星期二4.2 条件密度函数条件密度函数 第44页，共74页，编辑于2022年，星期二第45页，共74页，编辑于2022年，星期二第46页，共74页，编辑于2022年，星期二5 随机变量的独立性随机变量的独立性 随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的
10、推广.本节主要讨论两个随机变量相互独立的一般性定义,然后对两个离散性随机变量和两个连续性随机变量相互独立进行不同的处理.第47页，共74页，编辑于2022年，星期二第48页，共74页，编辑于2022年，星期二第49页，共74页，编辑于2022年，星期二第50页，共74页，编辑于2022年，星期二证证 X与Y的联合分布律与边缘分布律如表所示:第51页，共74页，编辑于2022年，星期二 例例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律,并判断随机变量X和Y是否相互独立.解解 显然有 又因为事件X
11、=i与事件Y=j相互独立,所以X和Y是相互独立,且有第52页，共74页，编辑于2022年，星期二用表格可如下表示第53页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 (1)第54页，共74页，编辑于2022年，星期二例例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为试证X和Y相互独立.解解于是有 p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互独立.第55页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 (1)X与Y的密度函数分别为 因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数第56页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 (2)因为 所以第57页，共74页，编辑于2022年，星期二证证 关于X与Y的边缘
12、密度函数分别为 则X与Y相互独立的充分必要条件是 即 第58页，共74页，编辑于2022年，星期二第59页，共74页，编辑于2022年，星期二6 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 解决两个随机变量函数的分布的方法与一个随机变量函数的分布的方法是一样的,只是前者要比后者复杂得多.有鉴于此,我们仅仅对几种特殊的情形加以讨论.第60页，共74页，编辑于2022年，星期二6.1 Z=X+Y的分布的分布 解解 Z为离散型随机变量,其可能取值是0,1,2,3，则 Z0123PZ=k0.100.400.350.15第61页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 (1)求Z的分布函数(2)求Z的
13、密度函数 由X与Y的对称性,得如果X与Y相互独立则有 第62页，共74页，编辑于2022年，星期二解法一解法一:(1)求Z的分布函数(2)求Z的密度函数 第63页，共74页，编辑于2022年，星期二解法二解法二:因为X与Y相互独立 显然ZN(0,2).第64页，共74页，编辑于2022年，星期二定理表明：定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布.第65页，共74页，编辑于2022年，星期二6.2 Z1=maxX,Y和和Z2=minX,Y的分布的分布 解解 即Z1=maxX,Y的分布函数为第66页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 即Z2=minX,Y的分布函数
14、为第67页，共74页，编辑于2022年，星期二第68页，共74页，编辑于2022年，星期二解解 系统寿命Z=minX,Y(1)求Z的分布函数 当z0时,第69页，共74页，编辑于2022年，星期二(2)求Z的密度函数 因为X与Y都服从U(0,1000),则 所以第70页，共74页，编辑于2022年，星期二例例:设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为（1）串联；（2）并联；（3）备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作）.设L1，L2的寿命X和Y的概率密度分别为其中0,0,且.试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.第71页，共74页，编辑于2022年，星期二
15、解解 X和Y的分布函数分别为由于当L1，L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为Z=minX,Y,其分布函数为于是Z=minX,Y的概率密度为（1）串联的情况:第72页，共74页，编辑于2022年，星期二(2)并联的情况:由于当且仅当L1，L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命为Z=maxX,Y,其分布函数为于是Z=maxX,Y的概率密度为第73页，共74页，编辑于2022年，星期二(3)备用的情况:由于这时只有当L1损坏时,L2才开始工作,所以整个系统L的寿命为Z=X+Y,于是，当z0时，Z=X+Y的概率密度为当z0时，pX+Y(z)=0.于是的概率密度为第74页，共74页，编辑于2022年，星期二