第三章--多维随机变量及其分布.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第三章-多维随机变量及其分布第三章-多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其分布3.1 多随机变量及其联合分布内容概要1. 随机变量 如果是定义在同一个样本空间上的个随机变量,则称为随机变量,或元随机变量,或随机向量.2.联合分布函数 对任意的个实数,称为维随机变量的联合分布函数.二维随机变量的联合分布函数具有如下四条基本性质:(1) 单调性 分别对或是单调不减的

2、.(2) 有界性 对任意的和,有,且 (3) 右连续性 对每个变量都是右连续的,即 .(4) 非负性 对任意的有.可以证明:具有上述四条性质的二元函数一定是某个二维随机变量的分布函数.3.联合分布列 如果只取有限个或可列个数对,则称为二维离散随机变量,称为的联合分布列,联合分布列也可用如下表格形式表示:联合分布列的基本性质:(1)非负性: (2) 正则性:4.联合密度函数 如果存在二元非负函数,使得二维随机变量的分布函数可表示为 则称为二维连续随机变量,称为的联合密度函数.联合密度函数的基本性质:(1)非负性: , (2)正则性: (3)在偏导数存在的点上有 (4)为平面上的一个区域,则有 5

3、. 多项分布 在次独立重复试验中,如果每次试验有个可能结果:,且每次试验中发生的概率为记为次独立重复试验中出现的次数,则服从多项分布,又称项分布,记为,其联合分布为其中.当时,即为二项分布.6.多维超几何分布 有个对象,共分类,其中第类对象有个,N=N1+N2+Nr,从中随机取出个,若记为取出的个对象中第类对象的个数,则服从维超几何分布,其联合分布列为其中7. 多维均匀分布 设D为R中的一个有界区域，其度量(平面上为面积，空间为体积等)为SD，如果多维随机变量(X，X，X)的联合密度函数为则称(X,X,X)服从D上的多维均匀分布，记为(X，X，X)U(D).8. 二元正态分布 如果二维随机变量

4、(X,Y)的联合密度函数为则称(X,Y)服从二元正态分布,记为(X,Y)N其中E(X)=E(Y)=Var(X)=Var(Y)=-1习题与解答3.11. 一批产品中有一等品50%,二等品30%,三等品20%.从中有放回地抽取5件,以X、Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数,求(X,Y)联合分布列.解 这是一个三 项分布,若取出的5件中有件一等品、件二等品,则有件三等品,所以当时,有用表格形式表示如下：X Y012345行和00.000320.002400.00720.01080.008100.002430.0312510.004000.024000.05400.05400.020250.0

5、00000.1562520.020000.090000.13500.06750.000000.000000.3125030.050000.150000.11250.00000.000000.000000.3125040.062500.093750.00000.00000.000000.000000.1562550.031250.000000.00000.00000.000000.000000.03125列和0.168070.360150.30870.13230.028350.002431.00000注：行和就是X的分布B(5,0.5), 列和就是Y的分布B(5,0.3)4. 设随机变量Xi,i

6、=1,2的分布列如下，且满足P(X1X2=0)=1,试求P(X1=X2) Xi-101P0.250.50.25解 记(X1,X2)的联合分布为X2 X1-101-1p11p12p130p21p22p231P31p32P33由P(X=0)=1知： , .即X2 X1-101-10p1200p21p22p2310p320又因为0.25=P()=P()+P(=同理由 ,X2 X1-101-100.25000.25p220.25100.250又有分布列的规范性得 p22=0，于是(X1,X2)的联合分布列为X2 X1-101-100.25000.2500.25100.250从而 P(X1=X2)= p

7、11 +p22 +p33=05. 设随机变量(X,Y)的 联合密度函数为试求：(1)常数k; (2) (3) (4)解 (1)由dx=8k=1,解得xOx+y=4y422图 3.1(2)(3)(4)由图3.1可得6.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 试求：(1) 常数；(2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0X)解 (1)由=12,所以 7设二维随机变量的联合密度函数为 试求=8设二维随机变量解 解得 k=6y=x2O11yxy=x(a)y=x2O1yx(b)y=x0.5y=x2O1yx(c)0.5y=x图 3.2又因为9.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为解：

8、=6yx0.50.5O(a)11yx0.5O(b)11yx0.5O(c)11yxO(d)110.5x+y=1y=x图 3.3又因为P(x,y)的非零区域与y0.5的交集为图3.3(c)阴影部分，所以(3)p(x,y)非零区域与x+y1的交集为图3.3(d)阴影部分，所以P(X+Y1)=10.设随机变量Y服从参数为=1的指数分布，定义随机变量如下:求X1和X2的联合分布列。解 (X，Y)的联合分布列共有如下4种情况：=所以()的联合分布列为X2X10100.632120.0000010.232540.1353411.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为求yx11O图 3.42x+y=1yxO

9、图 3.511x+y=1y=x0.50.5解 p(x,y)的非零区域与的交集为图3.4阴影部分，所以12. 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求解：p(x,y)的非零区域与的交集为图3.5阴影部分。所以P(X+Y1)= =13.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为p(x,y) 求X与Y中至少有一个小于0.5的概率。解 两事件X0.5与Y0.5中至少有一个发生的概率为P(X0.5Y0.5)=1-P(X)=1-14. 从(0,1)中随机地取两个数,求其积不小于,且其和不大于1的概率.解 设取出的两个数分别为X和Y,则(X,Y)的联合密度函数为xy=3/161/43/4O11yx图 3.

10、6x+y=1因为p(x,y)的非零区域与xy3/16, x+y1的交集为图3.6阴影部分。所以PXY=15.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示下列概率：(1) P(aXb,cYd); (2) P (aXb,cYd); (3) P(aXb,Yb); (5) P(X).解 (1)P(aXb,cYd)=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c).(2) P(aXb,cYd)=P(Xb,Yd)+P(Xb,Yc)+P(Xa,Yd)+P(Xa,Yc)= F(b-0,d)-F(b-0,c-0 )-F(a-0,d)+F(a-0,c-0).(3) P(aXb,

11、Yc)=P(Xb,Yc)-P(Xa,Yb)=P(Xa,Y)-P(Xa,Yb)-P(xa,Y+)+P(Xa,Y)=F(a,+)-F(a,b)-F(a-0,+)+F(a-0,b)(5)P(X-,Y120,Y120)=1-P(X 120) (Y 120) =1-P(X 120)-P(Y 120)+P(X 120,Y 120) =1-F(120,+ )-F(+ ,120)+F(120,120) =1-(1- e -12)-(1- e -12)+(1-2 e -12 + e -24) = e -24=0.0907.这表明:两个主要部件的寿命都超过120h的概率为0.0907.-3.2 边际分布与随机变量

12、的独立性内容概要1. 边际分布函数 若二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),则称(x)=F(x,+)=F(x,y),为X的边际分布.称为Y的边际分布。2. 边际分布列 若二维离散随机变量的联合分布列为则称为X的边际分布列。称为Y的边际分布列。3. 边际密度函数 若二维连续随机变量的联合密度函数为，则称为X的边际密度函数。称为Y的边际密度函数。4. 一些注意点l 由高维联合分布可以获得低维的边际分布，反之不一定。l 不同的联合分布可以有相同边际分布l 多项分布的边际分布仍为低维的多项分布或二项分布。l 二维正态分布的边际分布为一维正态分布。5. 随机变量间的独立性(1)设二维随机变

13、量的联合分布函数为，且为的边际分布函数。如果对任意个实数有，则称相互独立。否则称不互相独立。(2)设维离散随机变量的联合分布列为且为的边际分布列。如果对其任意个取值，有 ，则称相互独立。否则称不相互独立。(3)设n维连续随机变量的联合密度函数为,且为的边际密度函数。如果对任意n个实数，有则称不相互独立。6. 一些注意点l 多维随机变量间相互独立，必导致其部分随机变量与另一部分随机变量相互独立。l 多维随机变量相互独立，其联合分布可由其边际分布唯一确定。l 多维随机变量间的相互独立性可从定义出发加以判别，也可以从实际背景加以判别。l 多维随机变量间的独立性假设，可给理论研究和实际运用带来很多方便

14、之处。习题与解答3.21. 设二维离散随机变量(X，Y)的可能取值为(0，0)，(-1，1)，(-1，2)，(1，0)，且取这些值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，试求X与Y各自的边际分布列。解 由题设条件知，(X，Y)的联合分布列为YX012-101/31/1201/60015/1200在上面表格中按行相加，得X的边际分布列；X-101P5/121/65/12按列相加，得Y的边际分布列：Y012P7/121/31/122. 如果二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为试求X和Y各自的边际分布函数。解 因为所以X和Y各自边际分布函数为FX()=F(,+ )=Fy()=F()=可见，

15、这两个边际分布都是指数分布，但两俩个分布对应的随机变量不相互独立。3试求以下二维均匀分布的边际分布：=解 因为在的非零区域内，当-1x0时，有，所以X的边际密度函数为这是指数分布Exp(1)而当时，有所以Y的边际密度函数为x1-1Oy=1-x2图 3.8y这是伽玛分布Ga(2,1)(2) 因为的非零区域为图3.8阴影部分，所以当时，有所以X的边际密度函数为又因为当时，有所以Y的边际密度函数为6设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为试求边际密度函数为 和.解 因为的非零区域如习题与解答3.1第8题图3.2(a)所示，所以当时，有 ，所以X的边际密度函数为这是贝塔分布Be(2,2)又因为当时，有

16、 所以X的边际密度函数为7.试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数.解 因为当时，有又因为当时，有所以与有相同的边际密度函数.8.设随机变量X和Y独立同分布，且.试求解 利用独立性可得 9,甲 乙两人独立进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y 分别表示甲和乙的命中率次数，试求P(XY)解 因为当I=0，1，2，j=0,1,2,时有P(X=i,Y=j)= P(X=i)P(Y=j)=,所以(X，Y)的联合分布列为YX01200.160.320.1610.080.160.0820.010.020.01由此得P(XY)=0.8910.设随机变量X

17、与Y相互独立，其联合分别列为YXx1a1/9cx21/9b1/3试求联合分布列中的a,b,c解 先对联合分布列按行按列求和，求出边际分布列如下：YXP(x=)x1a1/9ca+c+1/9x21/9b1/3b+4/9x3a+1/9b+1/9c+1/31由X与Y的独立性，从上表的第2行，第2列知b=( b+)( b+)，从中得b=, 又有=( b+)(a+)，得a=，又a+b+c=,由此得c=11设，分别是掷一枚色子两次先后出现的点数，试求有实根的概率p和有重根的概率q.解 由题设条件：，相互独立，又P(=i)=P(=j)=,I=1,2,6. P(X=i,Y=j)=,I,j=1,2,6所以q=P1

18、2.设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，XU(0，1)，YExp(1). 试求(1)X与Y的联合密度函数；(2)P(XY)；(3)P(x+y1)解 (1)因为X与Y的密度函数分别为 所以由X与Y 的独立性知，X与Y的联合密度函数为(2)P(YX)= (3) P(X+Y1)= 13.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为p(x,y)= 试求(1)边际密度函数和；(2)X与Y是否独立？解 (1) 因为当0x1时有 =所以密度函数为=这是贝塔分布Be(3，1)。又因为当0y1时，有 =，所以Y的边际密度函数为=(2)因为p(x,y) ,所以X 与Y独立。14.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为P(

19、x,y)=试求(1)边际密度函数和；(2)X和Y是否独立？解 (1)因为P(x.y)的非零区域为图3.9的阴影部分y1y=xy=xx-11图 3.9O所以，当-1x0时有=1+x,当0x1时有=1-x,因此X的边际密度函数为=又当0yY)=1-P(XY)=m/(m+l).3.设随机变量X和Y 的分布列为X-101Y01P1/41/21/4P1/21/2已知P(XY=0)=1，试求Z=max(X，Y)分布列解 记(X，Y ) 联合分布列及各自的边际分布为X Y0 1P(X=i)-101p11 p12p21 p22p31 p321/41/21/4P(Y=j)1/2 1/21由题设条件知所以得代入上

20、表得X Y0 1P(X=i)-1p11 01/40p21 p221/21P31 01/4P(Y=j)1/2 1/21此时从上表可得=1/2，由此又得=0，进而又=1/4，=1/4.即(X,Y)的联合分布列为X Y0 1-1011/4 0 0 1/21/4 0所以Z=max(X,Y)的分布列为Z0 1P1/4 3/44.设随机变量X,Y独立同分布，在以下情况下求随机变量Z=max(X,Y)的分布列.(1) X服从p=0.5的(01)分布.(2) X服从几何分布，即P(X=k)=p,.解 (1)因为X与Y的可能取值均为0或1，所以Z=max(X,Y)的可能取值也为0或1，因此P(Z=0)=P(X=

21、0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=0.50.5=0.25,P(Z=1)=1-P(Z=0)=0.75.(2) 因为X服从几何分布，所以P(Xi)=p=, .由此得P(Z=i)P(Z) 5.设X和Y为两个随机变量，且 试求解 因为由此得 同理由 可得1/7，再由得所以 6设X与Y的联合密度函数为试求以下随机变量的密度函数(1) (2). 解 (1)因为的非零区域为所以当时，0，而当时，y-x=zxOy-zy-x=zxOy-z(a)(b)图 3.11所以，当时，有而当时，有这是伽玛分布(2)当时，的非零区域与的交集为图3.11(a)阴影部分. 又因为当z0时，p(x,y)的非零区域与y-xz的

22、交集为图3.11(b)阴影部分，所以由此得 7.设X与Y的联合密度函数为 试求Z=X-Y的密度函数.解 因为当0z1时，p(x,y)的非零区域与x-yz的交集为图3.12阴影部分，所以x-y=z图3.12xyy=x1zO=当z1时，FZ(z)=0当z1时，FZ(z)=1 8.某种商品一周的需求量是一个随机变量,其密度函数为设各周的需求量是相互独立的,试求(1)两周需求量的密度函数p2(x);(2)三周需求量的密度函数p3(x).解 记Xi为第i周的需求量,根据题意知相互独立，且密度函数都为.(1) 两周需求量X1+X2为,所以当x0时,p2(x)=0,而当x0时,利用卷积公式得所以(2) 三周

23、需求量为(X1+X2)+X3, 所以当x0时,p2(x)=0,而当x0时,利用卷积公式得所以9. 设随机变量X与Y相互独立,试在以下情况下求Z=X+Y的密度函数:(1). XU(0,1),YU(0,1); (2) . XU(0,1),YExp(1)解 Z=X+Y的密度函数可由卷积公式求得图3.13x1z21z=xz-x=1O(1) 因为XU(0,1),YU(0,1),所以Z=X+Y可在区间(0,2)上取值,且使卷积公式中的被积函数大于0的区域必须是与的交集,此即图3.13的阴影部分. 从图中可以看出:当时,有,当时,有当z2时,有 pZ(z)=0所以的密度函数如下:(2) 因为XU(0,1),

24、YExp(1),所以Z=X+Y可在上取值,且要使卷积公式中的被积函数大于0的区域必须是与的交集, 此即图3.14的阴影部分.zOx1z=x1图3.14从图中可以看出:当0z1时，有当1时，有所以得Z的密度函数如下：10设二维随机变量(X,Y)在矩形G=(x,y)|0上服从均匀分布，试求边长分别为X和Y的矩形面积Z的密度函数。解 因为(X,Y)服从矩形G上的均匀分布，所以(X,Y)的联合密度函数为vz1v=z/22O图3.15又因为边长分别为X和Y的矩形的面积Z=XY,所以，Z的密度函数可用积的公式求得要使以上被积函数大于0的区域必须是0z/v2与0v1的交集，此交集为z/2v0,所以当0z0,

25、v0时，即可分离变量，所以由上一节习题3.2第16题知：U，V相互独立，其中：U Vp(v)=V的分布又称为Fisher Z分布.3.4 多维随机变量的特征数内容概要1. 多维随机变量函数的数学期望 若二维随机变量(X，Y)的分布用联合分布列P(X=，Y=)或用联合密度函数p(x，y)表示，则Z=g(X，Y)的数学期望(假设存在)为Eg(X，Y)=对n维随机变量结论是类似的。2数学期望与方差的运算性质 以下均假定有关的期望和方差存在，(1)E()=(2)若相互独立，则E()=Var()=3协方差 若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称Cov(X，Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y) 为X与

26、Y的协方差。 当Cov(X，Y)0时，称X与Y正相关，即X与Y同时增加或同时减少， 当Cov(X，Y)0, Var(Y)0.则称Corr(x，y)=为X与Y的(线性)系数。7相关系数的性质(1)-1 Corr(x，y)1。(2)Corr(x，y)与Cov(X，Y)同号，或同为零。(3)Corr(x，y)=其中分别为X，Y的标准化随机变量。(4)Corr(x，y)=1的充要条件是X与Y间几乎处处有线性关系，即存在a(a0)与b，使得P(Y=aX+b)=1。其中当Corr(x，y)=1时，有a0;当Corr(x，y)=-1时，有a0。(5)在二维正态分布N(，)场合，比相关与独立是等价的。8. 随

27、机向量的数学期望与协方差阵记n维随机向量为，以下假设所涉及的数学期望、方差、协方差均存在。(1) 随机向量X的数学期望向量为(2) 随机向量X的协方差阵为也记以上的协方差阵为Cov(X),或记成(3) 随机向量X的协方差阵Cov(X)=是一个对称的非负定矩阵。(4) n元正态分布设n维随机向量的协方阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为n元正态分布，记为N(a,B).习题与解答3.41.掷一颗均匀的骰子2次，其最小点数记为X，求E(X).解 因为X123456P11/369/367/365/363/361/36所以E(X)=91/36.2.求掷n颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.解 记