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1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量关键词：二维随机变量 联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 条件分布条件分布 随机变量的独立性随机变量的独立性 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1二维随机变量二维随机变量 例例1 1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身究身高高H H的分布或仅研究体重的分布或仅研究体重W W的分布是不够的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随
2、机变量。在同一样本空间的两个随机变量。问题的提出问题的提出2例例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。变量。3定义：定义：设设E E是一个随机试验，样本空间是一个随机试验，样本空间S=eS=e；设；设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在是定义在S S上的随机变量，由它上的随机变量，由它们构成的向量们构成的向量(X,Y)(X,Y)叫做叫做二维随机向量二维随机向量或或二维随二
3、维随机变量机变量。Se41 1 二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义：若二维随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)(X,Y)全部可能取到的全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)(X,Y)是是离散型随机变量。离散型随机变量。（一）联合概率分布（一）联合概率分布5y1y2 yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率分布律。的联合概率分布律。可以用如右表格表示：可以用如右表格表示：离散型随机变量的离散型随机变量的联合概率分布律联合概率分布律：6分布律的性质7
4、例例1：设随机变量：设随机变量X X在在1 1、2 2、3 3、4 4四个整数四个整数中等可能地取中等可能地取 一个值，另一个随机变量一个值，另一个随机变量Y Y在在1 1X X中等可能地取一中等可能地取一 整数值，试求整数值，试求(X,Y)(X,Y)的联合概率分布。的联合概率分布。8 解：解：(X=i,Y=j)(X=i,Y=j)的取值情况为：的取值情况为：i=1,2,3,4i=1,2,3,4；j j取不大于取不大于i i的正整数。的正整数。9YX12344000120300即即(X,Y)(X,Y)的联合概率分布为：的联合概率分布为：10对于离散型随机变量对于离散型随机变量(X,Y)(X,Y)
5、，分布律为分布律为X,Y的边际（边缘）分布律边际（边缘）分布律为：（二）边际分布（二）边际分布11p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1注意：注意：1213X0210.050.800.15p 0 1 0120.76 0.040.1125 0.03750.015 0.035 0.800.150.050.8875 0.112511415（三）条件分布（三）条件分布16由条件概率公式可得：当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。17 定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对对于固定的于固定的 ，1
6、8同样，对于固定的 ，19求：求：(1)a,b的值；的值；(2)X=2条件下条件下Y的条件分布律；的条件分布律；(3)X+Y=2条件下条件下X的条件分布律。的条件分布律。YX-1 1 0 0.2 a0.2120.1 0.1 b例4：(X,Y)的联合分布律为20解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.42122例例5：盒子里装有：盒子里装有3只黑球，只黑球，2只红球，只红球，1只白球，在其中只白球，在其中不放回任取不放回任取2球，以球，以X表示取到黑球的数目，表示取到黑球的数目，Y表示取到表示取到红球的只数。求红球的只数。求:(1)X，Y的联合分布律；的联合分布律；(2)X=
7、1时时Y的条件分布律；的条件分布律；(3)Y=0时时X的条件分布律。若采用放回抽样呢？的条件分布律。若采用放回抽样呢？23解：采用不放回抽样，解：采用不放回抽样，X,YX,Y的联合分布律为的联合分布律为X Y 0 1 2 012 0 2/15 1/153/15 6/15 03/15 0 01/53/51/5 6/15 8/15 1/151 Y 0 1 1/3 2/3 X0 1 201/2 1/224采用放回抽样，采用放回抽样，X,YX,Y的联合分布律为的联合分布律为X Y 0 1 2 0121/36 4/36 4/366/36 12/36 09/36 0 01/41/21/4 4/9 4/9
8、1/91 Y 0 1 1/3 2/3 X0 1 21/16 6/16 9/1625例6：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。26解：解：2728290称为称为二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数。2 2 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数（一）（一）分布函数分布函数定义：设定义：设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,对于任意实对于任意实数数x,y，二元函数，二元函数30分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(
9、x,y1)(x,y2)31x2y1x1y232二维随机变量二维随机变量(X,Y)(X,Y)作为整体，有分布函数作为整体，有分布函数 其中其中X X和和Y Y都是随机变量，它们的都是随机变量，它们的分布函数分布函数,记为：记为：称为称为边缘分边缘分布函数。布函数。（二）（二）边际（边缘）边际（边缘）分布函数分布函数33事实上，事实上，34 定义：条件分布函数定义：条件分布函数（三）（三）条件条件分布函数分布函数35363 二维连续型随机变量（一）（一）联合概率密度联合概率密度373839例例1：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：40414243例例2：
10、设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 444546对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为（二）（二）边际（边缘）概率密度边际（边缘）概率密度X,Y的边际概率密度为的边际概率密度为：对于对于连续型连续型随机变量随机变量(X,Y)，概率密度为，概率密度为47事实上，事实上，同理：同理：48 例例3：(续上例续上例)设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 4950 定义：条件概率密度定义：条件概率密度（三）（三）条件概率密度条件概率密度5152事实上，53例例4：设有一件工作需要甲乙两人接力
11、完成，：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成时间不能超过完成时间不能超过30分钟。设甲先干了分钟。设甲先干了X分分钟，再由乙完成，加起来共用钟，再由乙完成，加起来共用Y分钟。若分钟。若XU(0,30)，在，在X=x条件下，条件下，YU(x,30)。(1)求求(X,Y)的联合概率密度以及条件概率密的联合概率密度以及条件概率密度度 ；(2)当已知两人共花了当已知两人共花了25分钟完成工作时，分钟完成工作时，求甲的工作时间不超过求甲的工作时间不超过10分钟的概率。分钟的概率。54555657二维均匀分布与二维正态分布二维均匀分布与二维正态分布（1）若二维随机变量）若二维随机变量(X,Y)在二维有界
12、区域在二维有界区域D上取值，且具有概率密度上取值，且具有概率密度则称则称(X,Y)(X,Y)在在D D上服从上服从均匀分布均匀分布。5859例例5 5：设二维随机变量：设二维随机变量(X,Y)(X,Y)在区域在区域 内均匀分布，求条件概率密度内均匀分布，求条件概率密度60解：解：根据题意，根据题意，(X,Y)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：Y Y的边缘概率密度为：的边缘概率密度为：61于是给定于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：的条件概率密度为：二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布6263646566676869704 随机变量的独立性7172 例
13、例1 1：33例例1 1中中X X和和Y Y是否相互独立？即是否相互独立？即(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度73解：计算得，解：计算得，X X和和Y Y的边缘概率密度分别为：的边缘概率密度分别为：74 请问：连续型随机变量请问：连续型随机变量X,YX,Y相互独立，其密相互独立，其密度函数有何特征？度函数有何特征？75XY01P(X=j)12P(Y=i)76XY01P(X=j)12P(Y=i)77787980818283一般一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 84 85 边缘分布边缘分布86 87相互独立相互独立88 89 定理1：定理2：905 5 两个
14、随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布919293949596979899100101102例例4 4：设：设X X和和Y Y是相互独立的标准正态随机变量，是相互独立的标准正态随机变量，求求 的概率密度。的概率密度。103解：由卷积公式：解：由卷积公式：104一般：设一般：设X,YX,Y相互独立，相互独立，105 例例5 5：X,YX,Y相互独立，同时服从相互独立，同时服从0,10,1上的均上的均匀分布，求匀分布，求 的概率密度。的概率密度。106xx=zz120 x=z-1 1解：根据卷积公式：解：根据卷积公式：易知仅当易知仅当参考图得：参考图得：107例例6 6：设随机变量（：设随机
15、变量（X,YX,Y）的联合概率密度为）的联合概率密度为记记Z=X+Y，求，求Z的概率密度。的概率密度。108x x=z x=z/20 1 2 z参考图得：参考图得：109例例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬：某人一天做两份工作，一份工作的酬金金X为为10元、元、20元、元、30元的概率各为元的概率各为1/3,另一另一份工作的酬金份工作的酬金YN(15,4).设设X,Y相互独立，相互独立，记一天的酬金总数为记一天的酬金总数为Z，Z=X+Y。求。求(1)Z的概率密度；的概率密度；(2)求一天酬金多于求一天酬金多于30元的概率。元的概率。110解解:(:(1)1)先求先求Z Z的分布函数，利用全
16、概率公式的分布函数，利用全概率公式111112113114 设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：则：推广到推广到n个相互独立的随机变量的情况个相互独立的随机变量的情况115116117118119例例9 9：设系统：设系统L L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L L1 1,L,L2 2联结而成，联结而成，联结的方式分别为：联结的方式分别为：(1)(1)串联；串联；(2)(2)并联；并联；(3)(3)备用备用(当当系统系统L L1 1损坏时，系统损坏时，系统L L2 2开始工作开始工作)。如图，设。如图，设L L1 1,L,L2 2的寿的寿命分别为命分别
17、为X,YX,Y，已知它们的概率密度分别为：，已知它们的概率密度分别为：120试分别就以上三种联结方式写出试分别就以上三种联结方式写出L的寿命的寿命Z的的概率密度。概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L1121(1)串联的情况串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：L1L2122故故Z Z的分布函数为：的分布函数为：即即Z Z仍服从指数分布仍服从指数分布Z的概率密度为：的概率密度为：123(2)(2)并联的情况并联的情况 由于当且仅当由于当且仅当L L1 1,L,L2 2都损坏时，系统都损坏时，系统L L才停才停止工作，所以这时止工作，所以这时L L的寿命为的寿命为Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)，Z Z的分布函数为：的分布函数为：L1L2Z的概率密度为：的概率密度为：124(3)(3)备用的情况备用的情况由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y；因此：L1L2125126127课件待续!1/9/2023