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1、线段的垂直平分线定理第1页，共13页，编辑于2022年，星期一动动手，你也会有发现！动动手，你也会有发现！动动手，你也会有发现！动动手，你也会有发现！画线段画线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线L L，在，在L L上取任意点上取任意点P P，量一量一量点量点P P到到A A与与B B的距离，你有什么发现？再取几个点试试。的距离，你有什么发现？再取几个点试试。由此你有何发现或猜想？由此你有何发现或猜想？结论：结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等离相等你能证明你的发现或猜想吗？你能证明你的发现或猜想吗？ACBPMN第2页，共13页，编辑于
2、2022年，星期一 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等相等.这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN定理应用格式：定理应用格式：如图如图,AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任上任意一点意一点(已知已知),),PA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距的点与这条线段两个端点距离相等离相等).).线段垂直平分线定理：第3页，共13页，编辑于2022年，星期一 反过来反过来,如果如果如果如果AP=BPAP=BPAP=BPAP=BP，那么，那么，那么，那么P P P
3、 P点是否在线段点是否在线段点是否在线段点是否在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上呢？呢？呢？呢？若若AP=BP，则，则P P在线段在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线上。上。结论：结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。第4页，共13页，编辑于2022年，星期一与一条线段两个端点距离相等的点与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线在这条线段的垂直平分线上段的垂直平分线上.ACBPMNw定理应用格式：定理应用格式：w如图如图,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P
4、P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(与一与一条线段两个端点距离相等的点条线段两个端点距离相等的点,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上).).这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明点在直线上点在直线上(或或直线直线经过经过某一某一点点)的根据之一的根据之一.线段垂直平分线的逆定理：第5页，共13页，编辑于2022年，星期一结论:线段垂直平分线线段垂直平分线上的点上的点 与这条线段两个端点的与这条线段两个端点的距离相等。距离相等。反之，与线段两个端点的距离相等的点反之，与线段两个端点的距离相等的点在这条在这条线段垂直平分线线段垂直平分线上。上。所以，线段垂直平分线可以看
5、作到线段两端的距所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的离相等的所有点的集合集合。第6页，共13页，编辑于2022年，星期一1 1、因为、因为 ，所以，所以，所以，所以ABABABABACACACAC。理由：理由：2 2、因为、因为、因为、因为 ，所以，所以A A A A在线段在线段在线段在线段BCBC的中垂线上的中垂线上的中垂线上的中垂线上 理由：理由：ADADADAD为为为为BCBCBCBC的中垂线的中垂线的中垂线的中垂线ABABABABACACACAC线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线段两个端
6、点的距离相等段两个端点的距离相等段两个端点的距离相等段两个端点的距离相等与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。B B B BC C C CA A A AD D D D3 3、如图，、如图，NMNMNMNM是线段是线段是线段是线段ABAB的中垂线的中垂线,下列说法正确的有下列说法正确的有：。ABMN,AD=DBABMN,AD=DB，MNABMNAB，MD=DNMD=DNMD=DNMD=DN，ABAB是是M
7、NMNMNMN的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线ABMND第7页，共13页，编辑于2022年，星期一 4 4 4 4、下列说法：、下列说法：若直线若直线PEPEPEPE是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，则则EAEAEAEA=EBEB，PAPAPAPA=PBPB；若若若若PAPAPAPA=PBPB，EAEA=EBEB，则直线，则直线，则直线，则直线PEPEPEPE垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分线段线段线段线段ABABABAB；若若若若PAPA=PBPBPBPB，则点，则点P P必是线段必是线段必是线段必是线段ABABABAB的垂直平分线上的的垂直平分线上的的垂直平分
8、线上的的垂直平分线上的点；点；点；点；若若若若EAEA=EBEBEBEB，则过点，则过点，则过点，则过点E E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段ABAB其中其中正确的个数有（）正确的个数有（）A A1 1个个个个 B B2 2 2 2个个 C C3 3个个个个 D D D D4 4个个个个C C第8页，共13页，编辑于2022年，星期一如图，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BCDBCD的周长。的周长。DCBEA解：解：EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 BCDBCD的周
9、长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC BCD BCD的周长的周长=BD=ADBD=ADAD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=1912+7=19第9页，共13页，编辑于2022年，星期一1、如图，如图，AD BC，BD=DC，点，点C在在AE的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB、AC、CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+BD 与与DE有什么关系？有什么关系？AB=AC=CEAB+BD=DE第10页，共13页，编辑于2022年，星期一2、如图，、如图，AB=AC，MB=MC，直线，直线AM是线段是线段BC的垂直的垂直平分线吗？平分线吗？AB=AC MB=
10、MC直线直线AM垂直平分线段垂直平分线段BC（与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上）第11页，共13页，编辑于2022年，星期一已知：已知：ABC中，边中，边AB、BC的垂直平分的垂直平分线交于点线交于点P。求证：求证：PA=PB=PC.PABC结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。点到三个顶点的距离相等。第12页，共13页，编辑于2022年，星期一11.3 角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 在角的平分线上的点到这个角在角的平分线上的
11、点到这个角的两边的的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的的点，在这个角的平分线上。点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 12.1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和这条线段线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相等距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端两个端点点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线第13页，共13页，编辑于2022年，星期一