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1、 24.7 24.7线段的垂直平线段的垂直平 分线分线 把把ABPABP沿直线沿直线MNMN对折，由对折，由AOP=BOP=90AOP=BOP=90，AO=BOAO=BO，则线段，则线段OAOA与与OBOB重合，因此点重合，因此点A A与点与点B B重合，所以重合，所以PAPA与与PBPB重合，即重合，即PA=PBPA=PB。ABNOMP把把ABPABP沿直线沿直线MNMN对折，由对折，由AOP=BOP=90AOP=BOP=90，AO=BOAO=BO，则线段，则线段OAOA与与OBOB重合，因此点重合，因此点A A与点与点B B重合，所以重合，所以PAPA与与PBPB重合，即重合，即PA=PB
2、PA=PB。P PBB把把ABPABP沿直线沿直线MNMN对折，由对折，由AOP=BOP=90AOP=BOP=90，AO=BOAO=BO，则线段，则线段OAOA与与OBOB重合，因此点重合，因此点A A与点与点B B重合，所以重合，所以PAPA与与PBPB重合，即重合，即PA=PBPA=PB。ABNOMP命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点点点到这条线段两个到这条线段两个到这条线段两个到这条线段两个端点端点端点端点的的的的距离相等。距离相等。距离相等。距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线PA=PBPA=PB 直线直线直线直线
3、MNAB,MNAB,MNAB,MNAB,垂足是垂足是垂足是垂足是C,C,C,C,且且且且AC=CB.PAC=CB.PAC=CB.PAC=CB.P是是是是MNMNMNMN上的任意一点上的任意一点上的任意一点上的任意一点 已知：如已知：如已知：如已知：如图，图，图，图，求证求证求证求证：P PAABBC CNNMM证明：证明：MNAB MNAB PCA=PCB=90 PCA=PCB=90 AC=BC AC=BC PC=PC PC=PC PAC PBCPAC PBCPA=PBPA=PB（全等三角形对（全等三角形对应边相等）应边相等）定理：定理：定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直
4、平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。点的距离相等。点的距离相等。线段的垂直平分线线段的垂直平分线线段的垂直平分线线段的垂直平分线PA=PBPA=PB点点点点P P P P在线段在线段在线段在线段ABABABAB的垂直的垂直的垂直的垂直平分线上平分线上平分线上平分线上 线段垂直平分线上线段垂直平分线上线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两的点到这条线段两的点到这条线段两的点到这条线段两个端点的距离相等个端点的距离相等个端点的距离相等个端点的距离相等P PAABBC CNNMM 线段的垂直平分线线
5、段的垂直平分线ABPC定理：定理：定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等。端点的距离相等。端点的距离相等。端点的距离相等。PA=PBPA=PB点点点点P P P P在线段在线段在线段在线段ABABABAB的垂直的垂直的垂直的垂直平分线上平分线上平分线上平分线上?到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上段的垂直平分线上段的垂直平分线上段的
6、垂直平分线上。逆命题逆命题逆命题逆命题:（1 1）转化为过）转化为过P P点画点画ABAB的垂线，就解的垂线，就解决了决了“在在”和和“垂线垂线”，然后再调动，然后再调动条件条件“PA=PB”“PA=PB”，利用等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一三线合一”证得证得OA=OBOA=OB，解决了，解决了“中中”；P PAABBOO（2 2）取）取ABAB中点中点O O，连结，连结POPO，证明：证明：PCABPCAB。P PAABBOO（3 3）作）作APBAPB的平分线的平分线PCPC，证明：证明：PCAB,PCAB,且且AC=BC.AC=BC.P PAABBC C定理：定理：到一条线段两个端
7、点距到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。直平分线上。1 1、如图直线、如图直线MNMN垂直平分垂直平分线段线段ABAB，则，则AE=AFAE=AF。2 2、如图线段、如图线段MNMN被直线被直线ABAB垂直平分，则垂直平分，则ME=NEME=NE。3 3、如图、如图PA=PBPA=PB，则，则直线直线MNMN是线段是线段ABAB的的垂直平分线。垂直平分线。小明说的正确吗？小明说的正确吗？小明说的正确吗？小明说的正确吗？“如果如果如果如果 CMCN CMCN CMCN CMCN，那么点，那么点，那么点，那么点C C C C不在直线不在直线不在直线不
8、在直线L L L L上。上。上。上。”假设假设假设假设CM=CNCM=CNCM=CNCM=CN点点点点C C C C在直线在直线在直线在直线L L L L上（上（上（上（）这与点这与点这与点这与点C C C C不在直线不在直线不在直线不在直线L L L L上矛盾。上矛盾。上矛盾。上矛盾。点点点点C C C C不在直线不在直线不在直线不在直线L L L L上。上。上。上。C CMMN N变式练习变式练习已知：如图，已知：如图，AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD，E E是是ADAD上的任意一点，上的任意一点，求证：求证：BE=CEBE=CEAEDBC沈阳市政府政府为了方便居民沈阳市政府政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区的生活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间修建一个购物中心，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离才能使得它到三个小区的距离相等。相等。A AB BC CBAC 求作一点求作一点P P，使它，使它和已和已ABCABC的三个的三个顶点距离相等顶点距离相等.实际问题实际问题数学化数学化pPA=PB=PC实际问题实际问题