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1、线段垂直平分线的性质与判定第1页，共13页，编辑于2022年，星期一w线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等端点距离相等.w你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗?回顾思考已知已知:如图如图,AC=BC,MNAB,AC=BC,MNAB于点于点C,PC,P是是MNMN上任意一点上任意一点.求证求证:PA=PB.:PA=PB.ACBPMN第2页，共13页，编辑于2022年，星期一证明证明:MNAB(:MNAB(已知已知)所以所以 1 1=2 2=90(=90(垂直的定义垂直的定义)在在PCAPCA和和PCBPCB中中,因为因为 AC=BC,(AC=BC,(已
2、知已知)1 1=2 2,(已证已证)PC=PC,(PC=PC,(公共边公共边)所以所以 PCAPCB(SAS)PCAPCB(SAS)因此因此 PA=PB(PA=PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).).ACBPMN于是就有定理：于是就有定理：线段的垂直平分线上的点到这线段的垂直平分线上的点到这 条线段的两个端点的距离相等条线段的两个端点的距离相等.过程再现过程再现过程再现第3页，共13页，编辑于2022年，星期一 基础闯关基础闯关如图如图,已知已知AB是线段是线段CD的垂直平分的垂直平分线线,E是是AB上的一点上的一点,如果如果EC=7cm,那那么么ED=cm;如果如果ECD=
3、600,那么那么EDC=0.EDABC760第4页，共13页，编辑于2022年，星期一w反过来反过来:到一条线段两个端到一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的点,在这条线段在这条线段的垂直平分线上吗的垂直平分线上吗?ABP已知已知:如图如图,PA=PB.,PA=PB.求证求证:点点P P在在ABAB的垂直平的垂直平分线上分线上.思考分析?第5页，共13页，编辑于2022年，星期一w定理定理 :到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等的点的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.ACBPMNw如图如图,PA=PB(,PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB
4、的垂直平分线上的垂直平分线上w(到一条线段两个端点距离相到一条线段两个端点距离相等的点等的点,在这条线段的垂在这条线段的垂w直平分线上直平分线上).).要证明一条直线是线段的垂直平分线必须证明两个点都在这条线段的垂直平分线上.因为两点确定一条直线.第6页，共13页，编辑于2022年，星期一NABPMPA=PBPA=PB点点P P在线段在线段ABAB的垂直平的垂直平分线分线MNMN上上定理：定理：到一条线段两个端点距离相等的到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上.定理：定理：线段垂直平分线上的点和这条线段线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相
5、等两个端点的距离相等.第7页，共13页，编辑于2022年，星期一为什么三角形三边的垂直平分线必交为什么三角形三边的垂直平分线必交于同一点？会证明吗于同一点？会证明吗?MNEF从这里可以看到从这里可以看到,要想证明三角形三条垂直平分线交于一点要想证明三角形三条垂直平分线交于一点,只需证明其中的只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了上就可以了.ABC第8页，共13页，编辑于2022年，星期一练习1 如图，已知点A、点B以及直线l，在直线l上求作一点P，使PAPB提示：连结AB,作AB的垂直平分线，交直垂直平分线，交直线线L于于P
6、,点点P即为即为所求所求.第9页，共13页，编辑于2022年，星期一2 如图，已知AECE，BDAC求证：ABCDADBC 证明：AECE，BDACBA=BC DA=DC(线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的的点到这条线段的两个端点的距离相等距离相等)BA+DC=BC+DA 第10页，共13页，编辑于2022年，星期一3 如图，在ABC上，已知点D在BC上，且BDADBC求证：点D在AC的垂直平分线上证明：BDADBC BDCDBC AD=CD点点D在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分
7、线上在这条线段的垂直平分线上)第11页，共13页，编辑于2022年，星期一 鹤壁市淇滨区政府为了方便居鹤壁市淇滨区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区民的生活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间修建一个购物中心，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相才能使得它到三个小区的距离相等等.ABC生活中的数学生活中的数学第12页，共13页，编辑于2022年，星期一角的平分线角的平分线ODEABPC定理定理1 1 角的平分线上的点到这角的平分线上的点到这个角的两边的个角的两边的距离相等距离相等.定理定理2 2 到一个角的
8、两边的到一个角的两边的距离相距离相等等的点，在这个角的平分线上的点，在这个角的平分线上.角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距距离离相等相等的所有点的集合的所有点的集合 线段的垂直平分线线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到到这条这条线段两个端点的线段两个端点的距离相等距离相等.逆定理逆定理 到到一条线段两个端点一条线段两个端点距离距离相等相等的点，在这条线段的垂直平分的点，在这条线段的垂直平分线上线上.线段的垂直平分线可以看作是线段的垂直平分线可以看作是到到线线段段两上端点两上端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线第13页，共13页，编辑于2022年，星期一