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1、第7节无穷小的比较本讲稿第一页，共十二页都是无穷小都是无穷小,第七节第七节引例引例.但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.无穷小的比较无穷小的比较本讲稿第二页，共十二页定义定义.若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,若若若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作本讲稿第三页，共十二页例如例如,当当时时又如又如，故故时
2、时是关于是关于 x 的二阶无穷小的二阶无穷小,且且本讲稿第四页，共十二页例例1.证明证明:当当时时,证证:本讲稿第五页，共十二页定理定理1.证证:即即例如例如,故本讲稿第六页，共十二页定理定理2.设设且且存在存在,则则证证:例如例如,本讲稿第七页，共十二页设对同一变化过程设对同一变化过程,为无穷小为无穷小,说明说明:无穷小的性质无穷小的性质,(1)和差取大规则和差取大规则:由等价由等价可得简化某些极限运算的下述规则可得简化某些极限运算的下述规则.若若 =o(),(2)和差代替规则和差代替规则:例如例如,例如例如,本讲稿第八页，共十二页(3)因式代替规则因式代替规则:界界,则则例如例如,例例1.求解解:原式 本讲稿第九页，共十二页例例2.求求解解:本讲稿第十页，共十二页内容小结内容小结1.无穷小的比较无穷小的比较设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k 阶阶无穷小无穷小本讲稿第十一页，共十二页2.等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理Th 2 作业作业 P59 3;4 (3),(4);常用等价无穷小常用等价无穷小:本讲稿第十二页，共十二页