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1、第一章 无穷小的比较本讲稿第一页，共十六页定义定义:本讲稿第二页，共十六页例例1 1解解例例2 2解解本讲稿第三页，共十六页常用等价无穷小常用等价无穷小:注注1.上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握三）必须熟练掌握本讲稿第四页，共十六页用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:一般地有一般地有即即与与等价等价 与与互为主要部分互为主要部分例如例如,本讲稿第五页，共十六页补充补充高阶无穷小的运算规律高阶无穷小的运算规律本讲稿第六页，共十六页二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无
2、穷小替换定理)证证意义意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。母，或者分子分母同时代换。本讲稿第七页，共十六页例例3 3解解注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.等价关系具有：自反性，对称性，传递性等价关系具有：自反性，对称性，传
3、递性本讲稿第八页，共十六页例例4 4解解错错解解本讲稿第九页，共十六页例例5 5解解本讲稿第十页，共十六页例例6 求求解一解一解二解二本讲稿第十一页，共十六页解三解三例例7 求求解解本讲稿第十二页，共十六页关于关于1 1型极限的求法型极限的求法本讲稿第十三页，共十六页本讲稿第十四页，共十六页三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快两无穷小趋于零的速度快慢慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.本讲稿第十五页，共十六页思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时本讲稿第十六页，共十六页