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1、第五节无穷小的比较本讲稿第一页，共十五页由由也是也是 的变形的变形.原因是这些形式的极限值可能是任意的实数原因是这些形式的极限值可能是任意的实数,也可能不存在也可能不存在.我们称上述四种形式的极限为未定式的极限我们称上述四种形式的极限为未定式的极限,例如例如,不存在不存在.本讲稿第二页，共十五页另外另外,对幂指函数对幂指函数 (且不恒等于且不恒等于1),由由及指数函数与对数函数的连续性及指数函数与对数函数的连续性,有有如果如果 为未定式的极限为未定式的极限,为为 型未定式型未定式,即即则则 也是未定式也是未定式,且有以下三种形式且有以下三种形式:本讲稿第三页，共十五页而且这三种形式经过函数的恒
2、等变形都可以化为而且这三种形式经过函数的恒等变形都可以化为的形式的形式.综上所述综上所述,两个无穷小之商的极限两个无穷小之商的极限,在极限的在极限的讨论中具有特别的地位讨论中具有特别的地位.实际上实际上,这样的极限是对两个无穷小趋于零的这样的极限是对两个无穷小趋于零的速度进行比较速度进行比较,简称无穷小的比较简称无穷小的比较.本讲稿第四页，共十五页例如例如,当当不可比不可比.下面我们对无穷小趋于零的速度进行量化比较下面我们对无穷小趋于零的速度进行量化比较.观观察察各各极极限限极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.不存在不存在,本讲稿第五页，共十五页定义
3、定义1.11 (无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较)记作记作记作记作注注:在不太关心无穷小具体表示时在不太关心无穷小具体表示时,也把无穷小也把无穷小 记作记作本讲稿第六页，共十五页例例1 证明当证明当 证证 (1)(2)令令故故(2)成立成立.本讲稿第七页，共十五页(3)由由(1)有有 再由再由(2)有有 本讲稿第八页，共十五页特别地特别地,如果当如果当 时时,是无穷小是无穷小,习惯将习惯将 同幂函数进行比较同幂函数进行比较.例例2 当当解解本讲稿第九页，共十五页常用等价无穷小常用等价无穷小:一个无穷小一个无穷小性质性质:例例如如,当当本讲稿第十页，共十五页证证定理定理1.22 (无穷小的等价代换无穷小的等价代换)意义意义:利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换,可以简化极限的计算可以简化极限的计算.本讲稿第十一页，共十五页解解注意注意:无穷小替换定理适用于乘、除情形无穷小替换定理适用于乘、除情形,无穷小代数和的情形需慎用无穷小代数和的情形需慎用.例例3 求求本讲稿第十二页，共十五页解解解解错错例例4 求求本讲稿第十三页，共十五页解解 例例5 求求本讲稿第十四页，共十五页解解故故求求本讲稿第十五页，共十五页