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1、第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小本讲稿第一页，共五十一页一、函数极限的定义 本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量函数的极限与自变量的变化过程有关的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同形式就不同.主要研究两种情形：主要研究两
2、种情形：本讲稿第二页，共五十一页函数的极限六种存在形式函数的极限六种存在形式即函数极限的两种主要形式如下即函数极限的两种主要形式如下本讲稿第三页，共五十一页1.自变量趋于有限值时函数的极限 考虑自变量考虑自变量 趋近于有限值趋近于有限值 ，记这一变，记这一变化过程为化过程为 仿照数列极限的定义，给出仿照数列极限的定义，给出 时函数时函数的极限的定义的极限的定义.本讲稿第四页，共五十一页则则本讲稿第五页，共五十一页讨论单侧极限2函数值无限接近于函数值无限接近于2.2.函数值无限接近于函数值无限接近于2.2.本讲稿第六页，共五十一页左极限右极限记作记作本讲稿第七页，共五十一页左右极限存在但不相等左
3、右极限存在但不相等,例1证结论：本讲稿第八页，共五十一页小结小结注：注：分段函数分点处的极限，分段函数分点处的极限，要分要分 别求左极限和右极限别求左极限和右极限.证明函数极限证明函数极限不存在不存在的方法是的方法是:(1)(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在；证明左极限与右极限至少有一个不存在；(2)或或证明左极限和右极限均存在证明左极限和右极限均存在,但不相等。但不相等。本讲稿第九页，共五十一页2.自变量趋于无穷大时函数的极限 自变量自变量 表示表示 及及 ，对正数对正数 ，表示表示 及及 .定义2 如果对于任意给定的正数（不论它多么如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数小
4、）总存在着正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 的一切的一切 ，所对应的函数值，所对应的函数值 都满足不等式都满足不等式那么常数那么常数 就叫函数就叫函数 当当 时的极限，时的极限，记作记作 本讲稿第十页，共五十一页另两种情形:结论结论：本讲稿第十一页，共五十一页二、函数极限的性质 1.局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.定理,2.唯一性 若)(limxf存在 则极限唯一.本讲稿第十二页，共五十一页定理定理(保号性保号性)推论推论3.局部保号性本讲稿第十三页，共五十一页定理定理1极限的四则运算法则三、极限的运算法则本讲稿第十四
5、页，共五十一页推论1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2推论推论3 3数数,则则本讲稿第十五页，共五十一页定理定理1 1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到给出了极限的四则运算法则，它可以推广到或或以及（以及（3）中的某些情形：）中的某些情形：（1）当时，而）当时，而时，（2 2）当时，而时，）当时，而时，（3 3）当时，而时，）当时，而时，（4 4）当时，而时，）当时，而时，（5 5）当时，而时，）当时，而时，本讲稿第十六页，共五十一页.,0)(0则商的法则不能应用可用推广的则商的法则不能应用可用推广的若若=xQ公式求公式求本讲稿第十七页，共五十一页例1
6、求解当时，分子、分母的极限都为零，此时当时，分子、分母的极限都为零，此时不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约去无穷小因子的方法将函数变形后求极限去无穷小因子的方法将函数变形后求极限本讲稿第十八页，共五十一页例2求极限求极限解当时，分子分母都趋于无穷大，当时，分子分母都趋于无穷大，用无穷大因子去除分子分母，然后再求极限用无穷大因子去除分子分母，然后再求极限本讲稿第十九页，共五十一页解：原式解：原式 例例3 求求解解:原式原式又例又例:求求本讲稿第二十页，共五十一页 极限存在准则极限存在准则 本讲稿第二十一页，共五十一页四、两个重要极限四、两个重
7、要极限(1)注注此结论可推广到此结论可推广到本讲稿第二十二页，共五十一页注意注意：解解本讲稿第二十三页，共五十一页例例2 求求xxx3sinlim0解解xxx3sinlim0解解例例4 4解解本讲稿第二十四页，共五十一页解解当当 n时时,因此因此例例6 6,有有例例5 5 求求 解解本讲稿第二十五页，共五十一页例例7 7 求求解解于是于是练习练习解解本讲稿第二十六页，共五十一页(2)利用数列公式利用数列公式本讲稿第二十七页，共五十一页用变量代换可求出用变量代换可求出本讲稿第二十八页，共五十一页此结论可推广到此结论可推广到注注本讲稿第二十九页，共五十一页 注意注意：本讲稿第三十页，共五十一页 例
8、例 1 解解本讲稿第三十一页，共五十一页例例2 2解解一般地一般地例例3 3 求求解一解一解二解二本讲稿第三十二页，共五十一页例例4 求求解解例5解本讲稿第三十三页，共五十一页解解解解解解练习练习本讲稿第三十四页，共五十一页解解.解解.4.本讲稿第三十五页，共五十一页思考题本讲稿第三十六页，共五十一页思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.本讲稿第三十七页，共五十一页思考题思考题求极限求极限思考题解答思考题解答本讲稿第三十八页，共五十一页 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量一、无穷小量 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不
9、仅具有实际意义，而且更具有理论价值，对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义值得我们单独给出定义定义定义1:在在x的某一变化过程中的某一变化过程中,函数函数f(x)极限为零极限为零,称称f(x)为该过程的为该过程的无穷小量无穷小量（简称（简称无穷小无穷小）.当当例如例如:函数函数 当当时为无穷小时为无穷小;函数函数 时为无穷小时为无穷小;本讲稿第三十九页，共五十一页注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可
10、以作为无穷小的唯一的数.无穷小无穷小本讲稿第四十页，共五十一页证证必要性必要性充分性充分性意义意义将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);本讲稿第四十一页，共五十一页无穷小的性质无穷小的性质（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.（3 3）在同一过程中）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小小.（4 4）常数与无穷小的乘积是无穷小）常数与无穷小的乘积是无穷小.例例1 1解解本讲稿第四十二页，共五十一页二、
11、无穷大量二、无穷大量记作记作 记作记作 注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量但是无界变量未必是无穷大未必是无穷大.本讲稿第四十三页，共五十一页三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系意义意义 据此定理，据此定理，关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于都可归结为关于无穷小的讨论无穷小的讨论.若若为无穷大为无穷大,为无穷小为无穷小;若若为无穷小为无穷小,且且则则为无穷大为无穷大.则则定理定理3 3 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,0C 型型再利用再利用无
12、穷无穷小小与无穷与无穷大大 之间的关系之间的关系,可得可得:解解本讲稿第四十四页，共五十一页例例3 3解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)【注】【注】对对 型型的有理式函数的的有理式函数的极限极限,由于分子分母极限由于分子分母极限为为 ,极限不存在极限不存在 ,不能用法则不能用法则 ,先对分子先对分子、分母同分母同除以除以x的最高次幂再求极限。的最高次幂再求极限。本讲稿第四十五页，共五十一页练习：练习：求求解解一般地一般地 ,设设0,000 ba ,nm,为正整数为正整数 ,则则解解本讲稿第四十七页，共五十一页2.3.3 极限的复合运算法则极限的复合运算法则定理定理5 5 （极限复合运算法
13、则极限复合运算法则变量代换法则变量代换法则）例例5 5解解本讲稿第四十八页，共五十一页三、小结函数极限的统一定义(见下表见下表)本讲稿第四十九页，共五十一页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 本讲稿第五十页，共五十一页4.无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理.2、几点注意、几点注意:（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;3.两个重要极限本讲稿第五十一页，共五十一页