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1、严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。工程数学工程数学线性代数目录线性代数目录第一章：行列式第一章：行列式第二章：矩阵及其运算第二章：矩阵及其运算第三章：矩阵的初等变换与线性方程组第三章：矩阵的初等变换与线性方程组第四章：向量组的线性相关性第四章：向量组的线性相关性第五章：相似矩阵及二次型第五章：相似矩阵及二次型第六章：线性空间与线性变换第六章：线性空间与线性变换严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关
2、规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。第二章第二章矩阵及其运算矩阵及其运算本章关键词：本章关键词：1.矩阵定义定义 相等相等 零矩阵零矩阵 对角矩阵对角矩阵 数量、单位矩阵数量、单位矩阵 矩阵举例矩阵举例2.矩阵的运算矩阵的加法矩阵的加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的转置矩阵的转置 方阵的行列式方阵的行列式 共轭矩阵共轭矩阵3.逆矩阵定义定义 性质性质 伴随矩阵伴随矩阵 求逆公式求逆公式 方阵的逆阵性质方阵的逆阵性质4.矩阵分
3、块法分块矩阵概念分块矩阵概念 分块矩阵的运算分块矩阵的运算本章知识结构严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。由由个数个数，把，把它们排成行列的数表。它们排成行列的数表。（1）称为称为m m行行n n列列矩阵矩阵简称简称矩阵（）也简记为矩阵（）也简记为,或或。矩阵的定义矩阵的定义严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度
4、、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。如果两个矩阵如果两个矩阵是同型矩阵，且各对是同型矩阵，且各对应元素也相等，即应元素也相等，即则称矩阵则称矩阵A A与与B B相等相等，记作，记作矩阵的相等矩阵的相等严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。零矩阵零矩阵对对矩阵而言，矩阵而言，零矩阵是指是指个元素全为个元素全为0的矩阵记作的矩阵记作注注不同型的零矩阵也是不同的。不
5、同型的零矩阵也是不同的。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。对角矩阵对角矩阵对对角角矩矩阵阵是是指指非非零零元元素素只只可可能能出出现现在在主主对对角角线线上上（或非主对角元皆为零）的方阵记作（或非主对角元皆为零）的方阵记作严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止
6、、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。数量、单位矩阵数量、单位矩阵数量矩数量矩阵是指主对角线元素都相等，等于某个数是指主对角线元素都相等，等于某个数的对角矩阵记作的对角矩阵记作 单位矩阵单位矩阵是指是指的数量矩阵记作的数量矩阵记作严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例（系数矩阵）由例（系数矩阵）由n n个未知量个未知量m m个方程组成的方程组为个方程组成的方程组为 方程个数与未知量个数不一定相等，方程的方程个数
7、与未知量个数不一定相等，方程的系数构成矩阵系数构成矩阵这个矩阵称为方程的这个矩阵称为方程的系数矩阵系数矩阵矩阵应用实例矩阵应用实例严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例（通路问题）例（通路问题）四四个个城城市市之之间间的的火火车车交交通通情情况况如如下下图图所所示示（图图中中单单箭箭头头代代表表只只有有单单向向车车，双双箭箭头头表示有双向车）表示有双向车）严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制
8、度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。两个两个 矩阵矩阵 的和记作的和记作 注注 只有同型矩阵才可以相加例如只有同型矩阵才可以相加例如对任一矩阵对任一矩阵，规定，规定 ，显然，显然，称称负矩阵负矩阵定义矩阵的减法运算为定义矩阵的减法运算为 矩阵的加法矩阵的加法严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪
9、行为或突发事件。数与数与矩阵矩阵相乘相乘 数数 与矩阵与矩阵 的的数量乘积数量乘积记作记作矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算满足以下规律：矩阵的线性运算满足以下规律：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设设的乘积的乘积 是指是指一个一个的矩阵的矩阵 其中其中 是是 的第的第 行第行第 列的元素，它是列的元素，它是 的第的第 行与行与 的第的第 列的元
10、素对应乘积的和即列的元素对应乘积的和即 注注 只有当只有当 的列数等于的列数等于 的行数时，才能进行的行数时，才能进行 的乘法运算，这就是两个矩阵可进行乘法运算的条件的乘法运算，这就是两个矩阵可进行乘法运算的条件其结果其结果 的行数等于的行数等于 的行数，列数等于的行数，列数等于 的列的列数数矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。把把 矩阵矩阵 的行列依次互换得到的一个的行列依次互换
11、得到的一个矩阵，称为矩阵，称为的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 或或，即，即 则则矩阵的转置矩阵的转置严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。转置矩阵具有下面性质：转置矩阵具有下面性质：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。方阵的
12、行列式方阵的行列式 阶方阵阶方阵 的各元素按原位置排列构成的行列的各元素按原位置排列构成的行列式称为方阵的行列式，记作式称为方阵的行列式，记作 或或方阵的行列式有下列性质（设方阵的行列式有下列性质（设都是都是 阶阶方阵）方阵）:严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。当当A=为复矩阵时，用为复矩阵时，用表示表示的共轭复数，的共轭复数，记记称为称为A的共轭矩阵的共轭矩阵.共轭矩阵满足下述运算规律共轭矩阵满足下述运算
13、规律(设设A，为复矩阵，为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）为复数，且运算都是可行的）共轭矩阵共轭矩阵严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设设 是是 阶矩阵，若存在阶矩阵，若存在阶矩阵阶矩阵，使，使则称则称为为可逆矩阵可逆矩阵，矩阵，矩阵称为矩阵称为矩阵 的的逆矩逆矩阵阵，简称，简称逆阵逆阵注注 （1 1）由由矩矩阵阵定定义义可可知知，可可逆逆矩矩阵阵及及其其逆逆矩矩阵阵是是同同阶阶的的方方阵阵矩矩阵阵若若不
14、不是是方方阵阵则则没没有有逆逆矩阵矩阵（2 2）与与的地位是平等的，故也可的地位是平等的，故也可以称以称是是的逆矩阵的逆矩阵逆矩阵的定义逆矩阵的定义严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定理定理1 1 如果矩阵如果矩阵逆矩阵的性质逆矩阵的性质可逆，那么可逆，那么的逆矩阵是唯的逆矩阵是唯一的一的伴随矩阵伴随矩阵 设有设有 阶矩阵阶矩阵是是 中元素中元素 的代的代数余子式，数余子式，即用即用 的行列式中每个元素的代
15、数余子式构成的行列式中每个元素的代数余子式构成的矩阵，称为矩阵的矩阵，称为矩阵的的伴随矩阵伴随矩阵，简称为，简称为伴随阵，伴随阵，记作记作定理定理2 2 阶矩阵阶矩阵 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 且：且：，严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。方阵的逆阵性质方阵的逆阵性质方阵的逆阵有以下性质：方阵的逆阵有以下性质：定理定理3 3 设设 都是都是 阶方阵，则阶方阵，则（1 1）若若 可逆，则可逆，则
16、 也可逆，且也可逆，且 ；（2 2）若若 可逆，可逆，则，则 可逆，且可逆，且 ；（3 3）若若 都是都是 阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则 也是可逆也是可逆；（4 4）若）若 可逆，则可逆，则 可逆，且；可逆，且；（5 5）若）若 可逆，则可逆，则 矩阵，且矩阵，且严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。分块矩阵的概念分块矩阵的概念 对对 矩阵矩阵 ，把，把 行分成行分成 组，组，列分成列分成 组，每组中的行数或列
17、数可以不同，组，每组中的行数或列数可以不同，把矩阵把矩阵 分割成分割成 个小块，就得到个小块，就得到 的一个的一个 分块矩阵，分块矩阵，写成写成 其中，其中，（）称为）称为的子的子块块严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。注：同一个矩阵，根据需要可以采用多种分块方注：同一个矩阵，根据需要可以采用多种分块方 法，构成形式不同的分块矩阵例如法，构成形式不同的分块矩阵例如 分成子块的分成子块的分法有很多，下分法有很多
18、，下面举出三种分块面举出三种分块形式：形式：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。分块矩阵的运算分块矩阵的运算（1 1）分块矩阵的加法分块矩阵的加法设分块矩阵，如果与设分块矩阵，如果与对应的子块对应的子块与与都是同型矩阵，则都是同型矩阵，则（2 2）分分块块矩矩阵阵的的数数量量乘乘法法 设分块矩阵设分块矩阵 ，是数，则是数，则（3 3）分块矩阵的乘法运算）分块矩阵的乘法运算 设设 ，如果矩阵，如果矩阵 与矩阵与
19、矩阵 的的 分块方法是分块方法是“恰当恰当”的，亦即的的，亦即的 列的分法与的列的分法与的 行的行的 分法完全相同分法完全相同严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。其中其中 ，的列数等于的列数等于 ，的的行数，那末行数，那末其中（其中（）（4 4）分块矩阵的转置）分块矩阵的转置 设矩阵设矩阵 分块为分块为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事
20、件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。则则 注注 分块矩阵转置时，不仅整个分块矩阵按块分块矩阵转置时，不仅整个分块矩阵按块 转置，而且其中每一块都要同时转置转置，而且其中每一块都要同时转置例如例如 ，则则 (5)(5)分块对角矩阵分块对角矩阵 设设 阶矩阵阶矩阵 适当分块后得分块矩阵适当分块后得分块矩阵 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突
21、发事件。其中其中 各为各为 阶方阵，这种分块矩阶方阵，这种分块矩 阵称为分块阵称为分块对角矩阵对角矩阵 对于分块对角矩阵有以下结论：对于分块对角矩阵有以下结论：（1 1）（2 2）分块对角矩阵）分块对角矩阵 可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 均均 可逆可逆 ，这时，这时严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩矩阵阵矩阵的定义矩阵的定义矩阵的运算性质矩阵的运算性质矩阵的加法矩阵的加法 相等相等数与矩阵相乘
22、数与矩阵相乘 矩阵的转置矩阵的转置 方阵的行列式方阵的行列式 共轭矩阵共轭矩阵特殊矩阵特殊矩阵零矩阵零矩阵 对角矩阵对角矩阵 数量、单位矩阵数量、单位矩阵 逆矩阵逆矩阵定义定义性质性质伴随矩阵伴随矩阵 求逆公式求逆公式 方阵的逆阵性质方阵的逆阵性质矩阵分块法矩阵分块法分块矩阵概念分块矩阵概念 分块矩阵的运算分块矩阵的运算严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.1.设设f(x)f(x)=3-7x-x=3-7x-
23、x2 2，A=A=，求，求f(A)f(A)解解 由由得得严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2 2设设P P ，Q Q（4 42 23 3），），A APQPQ，求，求A A100100 解解 因因 12124 415151 1故故 由由 ,得得严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制
24、度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.3.求矩阵方程中的矩阵：求矩阵方程中的矩阵：X X=解：解：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4.4.求矩阵的逆阵求矩阵的逆阵解：解：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或
25、突发事件。.讨论对角矩阵讨论对角矩阵 的可逆性的可逆性 解解 当当 时，时，此时，矩阵此时，矩阵 可逆，可逆，且且:当当 时，矩阵时，矩阵 不可逆不可逆 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。6.6.设设 ，其中、各为阶和阶可逆方阵，其中、各为阶和阶可逆方阵，证明可逆，并求证明可逆，并求-1-1 证明证明 由由 因为、可逆，因为、可逆，所以，所以，从从而是可逆方阵而是可逆方阵 设设 ，得得比较最后一个等式的两边
26、得比较最后一个等式的两边得在在CQ=ECQ=E两边左乘两边左乘C C-1-1得得Q=CQ=C-1-1 在在CS=OCS=O两边左乘两边左乘C C-1-1得得S=O S=O 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。在在BP=E两边左乘两边左乘B-1得得P=B-1，或，或，这个等式两边，这个等式两边左乘左乘B-1得得结果为结果为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各
27、类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.矩阵的初等变换初等行，列变换初等行，列变换 初等变换初等变换 等价等价 性质性质 行最简型行最简型矩阵矩阵 等价类等价类 2.矩阵的秩矩阵矩阵A A的的k k阶子式阶子式最高阶最高阶k k阶子式阶子式 矩阵的秩矩阵的秩性质性质定理定理3.线性方程组的解齐次，非齐次线性方程组齐次，非齐次线性方程组定理定理增广矩阵增广矩阵定理定理线性方程组的解法线性方程组的解法4.初等矩阵初等矩阵初等矩阵 三种初等矩阵三种初等矩阵定理定理定理定理推论推论本章关键词：本章关键词：
28、第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。初等行，列变换初等行，列变换定义定义1 1下列三种变换称为矩阵的初等行变换：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：（）交换矩阵两行的位置，记作；（）交换矩阵两行的位置，记作；（）以数（）以数 ()()乘以矩阵某一行的所有元素，记乘以矩阵某一行的所有元素，记 作作 ；（）矩矩 阵阵 的的 第第 行行 各各 元元 素
29、素 的的 倍倍 加加 到到 第第 行行 各各 元元 素上，记作素上，记作 倍加变换倍加变换以上三种变换中的行改为列，称为矩阵的初等列变以上三种变换中的行改为列，称为矩阵的初等列变换，相应地记为换，相应地记为、和和 矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换等变换 通常称（通常称（1 1）为对换变换，（）为对换变换，（2 2）为倍乘变换，（）为倍乘变换，（3 3）为）为 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及
30、时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。等价等价 性质性质 若矩阵若矩阵经过有限次初等变换化成矩阵，则称矩阵与经过有限次初等变换化成矩阵，则称矩阵与矩阵等价，记作或矩阵等价，记作或矩阵的等价具有以下性质（矩阵的等价具有以下性质（都是都是 矩阵）矩阵）（1 1）反身性：）反身性：；（2 2）对称性：若）对称性：若 ，则，则 （3 3）传递性：若）传递性：若 、，则，则 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件
31、。行最简型矩阵行最简型矩阵 行最简形矩阵，其特点是：每个非零行左起第一个非零元行最简形矩阵，其特点是：每个非零行左起第一个非零元素都是素都是1 1，它所在列的其余元素均为，它所在列的其余元素均为0 0 例如例如:严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。等价类等价类任意矩阵和下面的矩阵等价：任意矩阵和下面的矩阵等价：其中其中 完全由完全由 ，确定，确定，是是 阶单位矩阵，阶单位矩阵，是阶梯形是阶梯形矩阵非零行的行数
32、矩阵非零行的行数.所有和矩阵所有和矩阵 等价的矩阵组成一个集合，成为一个等价等价的矩阵组成一个集合，成为一个等价类，而标准形类，而标准形 是这个等价类当中最简单的矩阵是这个等价类当中最简单的矩阵严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵矩阵A A的的k k阶子式阶子式 在在 矩阵矩阵 中，任取中，任取 行与行与 列列 ，位于这些行列交叉位置上的位于这些行列交叉位置上的 个元素，按它们在个元素，按它们在 中的相对
33、中的相对位置构造一个行列式，称为矩阵位置构造一个行列式，称为矩阵 的的 阶子式阶子式易知易知 矩阵矩阵 中有中有 个个 阶子式阶子式严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵的秩矩阵的秩 设在矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有设在矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于，那么称为矩阵的阶子式（如果存在的话）全等于，那么称为矩阵的最高最高阶非零子式阶非零子式，数称为，数称为矩阵的秩矩阵的秩，
34、记作，记作 .并规定零矩阵并规定零矩阵 的秩等于的秩等于严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质按定义，矩阵的秩有下述性质：按定义，矩阵的秩有下述性质：（1 1）设是矩阵，则，）设是矩阵，则，（2 2）；（3 3）（常数）；（常数）；（4 4）设是阶方阵，则的充分必要条件是）设是阶方阵，则的充分必要条件是 阶矩阵的秩为阶矩阵的秩为 时，该矩阵称为时，该矩阵称为满秩矩阵满秩矩阵，否则称，
35、否则称 为为降秩矩阵降秩矩阵严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定理定理若，则若，则 推论推论 矩阵的秩即为矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数。矩阵的秩即为矩阵的行阶梯形矩阵中非零行的行数。根据定理和推论，为求矩阵的秩，只要把用初等行变换根据定理和推论，为求矩阵的秩，只要把用初等行变换变为行阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵变为行阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。的秩。严格执行突发
36、事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。齐次，非齐次线性方程组齐次，非齐次线性方程组 个方程个方程 个未知数的线性方程组的一般形式为个未知数的线性方程组的一般形式为 当当不全为零时，方程组称为非齐次线性不全为零时，方程组称为非齐次线性方程组，方程组，否则称为齐次线性方程组否则称为齐次线性方程组严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制
37、度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定理定理元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩系数矩阵的秩本定理所述条件的必要性是克拉默定理的推广（本定理所述条件的必要性是克拉默定理的推广（克拉默定理只适用的情形），其充分性则包含了克拉默克拉默定理只适用的情形），其充分性则包含了克拉默定理的逆定理定理的逆定理严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报
38、并处理各类违纪行为或突发事件。增广矩阵定理增广矩阵定理方程组是否有解与系数矩阵和右端向量有关，而与未方程组是否有解与系数矩阵和右端向量有关，而与未知数本身的记法无关，所以考察和相当于考察方程组本身知数本身的记法无关，所以考察和相当于考察方程组本身，为此构造矩阵，为此构造矩阵这个矩阵称为方程组的这个矩阵称为方程组的增广矩阵增广矩阵严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定理：元非齐次线性方程组有解的充分必要定理：元
39、非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩的秩严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性方程组的解法线性方程组的解法解线性方程组的一般步骤是：解线性方程组的一般步骤是：第一步对方程组的增广矩阵施以初等行变换，使第一步对方程组的增广矩阵施以初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵，从中得到系数矩阵的秩和增广矩阵它变成行阶梯形矩阵，从中得到系数矩阵的秩和增广矩阵的秩；的秩
40、；第二步第二步 若若 ，则方程组无解，计算结束，则方程组无解，计算结束，否则转第三步；否则转第三步；第三步第三步继续对增广矩阵施以初等行变换使它变成行最简继续对增广矩阵施以初等行变换使它变成行最简 单矩阵单矩阵 若若 =（即系数矩阵秩等于未知数个数），则（即系数矩阵秩等于未知数个数），则写出方程组的唯一解写出方程组的唯一解严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。若若 ，则原方程组的解可写为（，则原方程组的解可写为
41、（3 3）式的）式的 形式，并可写成向量形式形式，并可写成向量形式 这里，这里，是解向量是解向量 严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。初等矩阵初等矩阵 单位矩阵单位矩阵 经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵：三种初等变换对应着三种初等矩阵：（1 1）交换矩阵：）交换矩阵：初等矩阵初等矩阵 由单位矩阵由单位矩阵 交换第交换第 行与第行与
42、第 行得到行得到严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。（2 2）倍乘矩阵：）倍乘矩阵：初等矩阵初等矩阵 由单位矩阵由单位矩阵 的第的第 行乘以非零数行乘以非零数 得出得出 （3 3）倍加矩阵：）倍加矩阵：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行
43、为或突发事件。倍加矩阵倍加矩阵由单位矩阵由单位矩阵的第的第行乘以非零数行乘以非零数以数加到第以数加到第行得出，或行得出，或的第的第列乘以非零数列乘以非零数加到第加到第列列得出得出严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定理定理对矩阵施行一次初等行变换，相当于用相应的对矩阵施行一次初等行变换，相当于用相应的阶初等矩阵左乘矩阵；对矩阵施行一次初等列变换，相当阶初等矩阵左乘矩阵；对矩阵施行一次初等列变换，相当于用相应的
44、阶初等矩阵右乘矩阵于用相应的阶初等矩阵右乘矩阵注注 注意定理说法中注意定理说法中“相应的相应的”含义，具体说来是含义，具体说来是 的第行与第行互换；的第行与第行互换；的第行乘；的第行乘；的第列乘；的第列乘；的第列乘加到的第列上的第列乘加到的第列上严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定理及推论定理及推论定理设为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵定理设为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵使使推论矩阵的充分必要条件是：存在
45、推论矩阵的充分必要条件是：存在阶可逆矩阵，使阶可逆矩阵，使严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。设设A A是任意矩阵，判断下列关于秩的命题是否正确？是任意矩阵，判断下列关于秩的命题是否正确？(1)(1)若若r(A)=rr(A)=r，则，则A A的所有的所有r r阶子式都不等于零阶子式都不等于零.(2)(2)若若r(A)=r1,r(A)=r1,则则A A至少有一个至少有一个r-1r-1阶子式不等于零阶子式不等于零
46、.(3)(3)若若A A的所有的所有r+1r+1阶子式全为零，则阶子式全为零，则r(A)=r.r(A)=r.(4)(4)若若r(Ar(Amnmn)=n,)=n,则则m n.m n.(5)(5)若若A A是非零矩阵，则是非零矩阵，则r(A)=r0.r(A)=r0.(6)(6)若若A A是是n n阶满秩方阵，则的阶满秩方阵，则的(A(A2 2)=r(A)=r(A)2 2.(7)(7)若四阶方阵若四阶方阵A A的秩为的秩为2 2，则，则A*A*的秩为的秩为0.0.(8)(8)若若r(A)=r,r(A)=r,则拼接矩阵则拼接矩阵(A|A)(A|A)的秩为的秩为2r.2r.解答解答严格执行突发事件上报制
47、度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。(1)(1)否。否。A A只需存在一个只需存在一个r r阶子式不为零即可阶子式不为零即可.(2)(2)是，若是，若A A的所有的所有r-1r-1阶子式全为零，则阶子式全为零，则A A的的r r 阶子式也一定全阶子式也一定全 为零为零.(3)(3)否，此时有否，此时有r(A)r.r(A)r.(4)(4)是，由是，由r(A)=n,r(A)min(m,n)r(A)=n,r(A)min(m,n)，知，知
48、n min(m,n),n min(m,n),即即n m.n m.(5)(5)是，是，A A至少有一个元素不为零，所以至少有一个元素不为零，所以r(A)0.r(A)0.(6)(6)否，否，r(Ar(A2 2)=r(A)r(A)=r(A)r(A)2 2.(7)(7)是，此时是，此时A A的所有三阶子式全为零，的所有三阶子式全为零，A A*为零矩阵，所以为零矩阵，所以 r(Ar(A*)=0.)=0.(8)(8)否，按初等行变换化为行阶梯形，知否，按初等行变换化为行阶梯形，知r(A|A)=r.r(A|A)=r.上页上页严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并
49、处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.1.设设 ，求，求 ，和和 ，这里，这里，和和 是是3 3阶矩阵，而阶矩阵，而 和和 是是4 4阶矩阵阶矩阵解解 容易求得容易求得:=:=，严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2.2.用初等变换方法求矩阵用初等变换方法求矩阵 的逆矩阵：的逆矩阵：解解所以所以严格执行突
50、发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3.3.求矩阵求矩阵 的秩的秩 解：解：,r(D)=r(D)=3.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4.4.求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 解：解：严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度